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2019年高中數(shù)學 綜合檢測試題 新人教A版選修2-3 一、選擇題(每小題5分,共60分) 1.現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張.不同取法的種數(shù)為(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.232 B.252 C.472 D.484 答案:C 解析:完成這件事可分為兩類,第一類3張卡片顏色各不相同共有=256種;第二類3張卡片有兩張同色且不是紅色卡片共有=216種,由分類加法計數(shù)原理得共有472種,故選C. 2.(xx重慶高考)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(　　). A.72 B.120 C.144 D.168 答案:B 解析:解決該問題分為兩類:第一類分兩步,先排歌舞類,然后利用插空法將剩余3個節(jié)目排入左邊或右邊3個空,故不同排法有2=72.第二類也分兩步,先排歌舞類,然后將剩余3個節(jié)目放入中間兩空排法有,故不同的排法有=48,故共有120種不同的排法,故選B. 3.(x2+2)的展開式中的常數(shù)項是(　　). A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案:D 解析:的通項為Tr+1=(-1)r=(-1)rx2r-10.要使(x2+2)的展開式中存在常數(shù)項,須令2r-10=-2或0,此時r=4或5.故(x2+2)的展開式中的常數(shù)項是(-1)4+2(-1)5=3. 4.小明同學在網(wǎng)易上申請了一個電子信箱,密碼由4位數(shù)字組成,現(xiàn)在小明只記得密碼是由2個6,1個3,1個9組成,但忘記了它們的順序.那么小明試著輸入由這樣4個數(shù)組成的一個密碼,則他恰好能輸入正確進入郵箱的概率是(　　). A. B. C. D. 答案:C 解析:由2個6,1個3,1個9這4個數(shù)字一共可以組成=12種不同的密碼順序,因此小明試著輸入由這樣4個數(shù)組成的一個密碼,他恰好能輸入正確進入郵箱的概率是P=. 5.將三顆骰子各擲一次,設事件A=“三個點數(shù)都不相同”,B=“至少出現(xiàn)一個6點”,則概率P(A|B)等于(　　). A. B. C. D. 答案:A 解析:P(B)=1-P()=1-, P(AB)=, 故P(A|B)=. 6.已知隨機變量X服從二項分布,X~B,則P(X=2)等于(　　). A. B. C. D. 答案:D 解析:P(X=2)=. 7.6個電子產(chǎn)品中有2個次品,4個合格品,每次從中任取一個測試,測試完后不放回,直到兩個次品都找到為止,那么測試次數(shù)X的均值為(　　). A. B. C. D. 答案:D 解析:測試次數(shù)X為隨機變量,其可能的取值為2,3,4,5,6,其分布列如下: X 2 3 4 5 6 P ∴E(X)=2+3+4+5+6. 8.某次語文考試中考生的分數(shù)X~N(80,100),則分數(shù)在60~100分的考生占總考生數(shù)的百分比是(　　). A.68.26% B.95.44% C.99.74% D.31.74% 答案:B 解析:由題意得μ=80,σ=10,μ-2σ=60,μ+2σ=100, 故60~100分之間的考生占總考生數(shù)的百分比是95.44%. 9.已知x,y之間的一組數(shù)據(jù) x 1.08 1.12 1.19 1.28 y 2.25 2.37 2.40 2.55 x與y之間的線性回歸方程x必過(　　). A.(0,0) B.(1.167 5,0) C.(0,2.392 5) D.(1.167 5,2.392 5) 答案:D 解析:回歸直線過樣本中心點(). ∵=1.167 5,=2.392 5, ∴x必過點(1.167 5,2.392 5). 10.已知(x+)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2的值為 (　　). A.0 B.1 C.-1 D.2 答案:B 解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(1+)10. 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a9+a10=(-1)10. ∴(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2 =(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9+a10) =(1+)10(1-)10=1. 11.通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表: 男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計 60 50 110 由K2=算得,K2=≈7.8. 附表: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 參照附表,得到的正確結論是(　　). A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關” B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關” C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關” D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關” 答案:C 解析:∵K2≈7.8>6.635,∴有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”,即犯錯誤的概率不超過1%. 12.拋一枚均勻硬幣,正反面出現(xiàn)的概率都是,反復這樣投擲,數(shù)列{an}定義如下:an=若Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),則事件“S8=2”的概率,事件“S2≠0,S8=2”的概率分別是(　　). A. B. C. D. 答案:B 解析:根據(jù)定義事件“S8=2”是指8次投擲中5次正面3次反面,其概率為P=;事件“S2≠0,S8=2”是指:(1)前2次都是正面,后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正1反,故其概率為P=. 二、填空題(每小題4分,共16分) 13.5名男性驢友到某旅游風景區(qū)游玩,晚上入住一家賓館,賓館有3間客房可選,一間客房為3人間,其余為2人間,則5人入住兩間客房的不同方法有　　　種(用數(shù)字作答). 答案:20 解析:依題可知這5人只能入住一間3人間及一間2人間,第一步先確定在2個2人間中選擇哪一間有種;第二步確定哪三個人入住3人間有種,剩下的2人住2人間,故這5人入住兩間空房的不同方法有=20種. 14.(xx大綱全國高考)的展開式中x2y2的系數(shù)為　　　　.(用數(shù)字作答) 答案:70 解析:設的第r+1項中含有x2y2,則Tr+1=(-1)r, 因此8-r-=2,r-=2,即r=4. 故x2y2的系數(shù)為(-1)4==70. 15.某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作.設三個電子元件的使用壽命(單位:h)均服從正態(tài)分布N(1 000,502),且各個元件能否正常工作相互獨立,那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為　　　　　. 答案: 解析:設元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時的事件分別記為A,B,C,顯然P(A)=P(B)=P(C)=, ∴該部件的使用壽命超過1 000的事件為(AB+AB)C. ∴該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為P=. 16.甲、乙兩隊進行排球比賽,已知在一局比賽中甲隊獲勝的概率是,沒有平局,若采用三局兩勝制比賽,即先勝兩局者獲勝且比賽結束,則甲隊獲勝的概率等于　　　　. 答案: 解析:甲隊2∶0獲勝的概率為,甲隊2∶1獲勝的概率為,故甲隊獲勝的概率為. 三、解答題(共6小題,共74分) 17.(12分)在研究某種新藥對小白兔的治療效果時,得到如下數(shù)據(jù): 存活數(shù) 死亡數(shù) 合計 未用新藥 101 38 139 用新藥 129 20 149 合計 230 58 288 試分析新藥對治療小白兔是否有效? 解:由公式計算得,隨機變量K2的觀測值 k=≈8.658,由于8.658>6.635,故有99%的把握可以判斷新藥對治療小白兔是有效的. 18.(12分)已知在的展開式中,第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56∶3. (1)求展開式中的所有有理項; (2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項; (3)求n+9+81+…+9n-1的值. 解:(1)由(-2)4∶(-2)2=56∶3,解得n=10. 因為通項Tr+1=)10-r=(-2)r, 當5-為整數(shù)時,r可取0,6, 于是有理項為T1=x5和T7=13 440. (2)設第r+1項系數(shù)絕對值最大,則 解得于是r=7. 所以系數(shù)絕對值最大的項為T8=-15 360. (3)10+9+81+…+910-1 = = =. 19.(12分)在一個盒子中,放有標號分別為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)從這個盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x,y,設O為坐標原點,點P的坐標為(x-2,x-y),記ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求隨機變量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率; (2)求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望. 解:(1)∵x,y可能的取值為1,2,3, ∴|x-2|≤1,|y-x|≤2. ∴ξ≤3,且當x=1,y=3或x=3,y=1時,ξ=3. 因此,隨機變量ξ的最大值為3. ∵有放回抽兩張卡片的所有情況有33=9種, 故P(ξ=3)=,即事件“ξ取最大值”的概率是. (2)隨機變量ξ可能取值為0,1,2,3, ∵當ξ=0時,x=2,y=2, ∴P(ξ=0)=; ∵當ξ=1時,x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3, ∴P(ξ=1)=; ∵當ξ=2時,x=1,y=2或x=3,y=2, ∴P(ξ=2)=; 由(2)知P(ξ=3)=, ∴隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 隨機變量ξ的數(shù)學期望E(ξ)=0+1+2+3. 20.(12分)假設關于某設備使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知,y對x呈線性相關關系,試求: (1)回歸直線方程; (2)估計使用年限為10年時,維修費用約是多少? 解:(1)依題列表如下: i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 =4,=5, =90,xiyi=112.3 =1.23. =5-1.234=0.08. ∴回歸直線方程為 =1.23x+0.08. (2)當x=10時,=1.2310+0.08=12.38(萬元). 即估計用10年時,維修費約為12.38萬元. 21.(12分)現(xiàn)在要對某個學校今年將要畢業(yè)的900名高三畢業(yè)生進行乙型肝炎病毒檢驗,可以利用兩種方法.①對每個人的血樣分別化驗,這時共需要化驗900次;②把每個人的血樣分成兩份,取其中m個人的血樣各一份混合在一起作為一組進行化驗,結果為陰性,那么對這m個人只需這一次檢驗就夠了;結果為陽性,那么再對這m個人的另一份血樣逐個化驗,這時對這m個人一共需要m+1次檢驗.據(jù)統(tǒng)計報道,對所有人來說,化驗結果為陽性的概率為0.1. (1)求當m=3時,一個小組經(jīng)過一次檢驗就能確定化驗結果的概率是多少? (2)試比較在第二種方法中,m=4和m=6哪種分組方法所需要的化驗次數(shù)更少一些? 解:(1)當m=3時,一個小組有3個人,經(jīng)過一次檢驗就能確定化驗結果是指經(jīng)過一次檢驗,結果為陰性,所以概率為P=(1-0.1)3=0.729. (2)當m=4時,一個小組有4個人,這時每個人需要檢驗的次數(shù)是一個隨機變量η1,其分布列為 η1 P 0.94 1-0.94 所以E(η1)=0.94+(1-0.94)≈0.59; 當m=6時,一個小組有6個人,這時需要檢驗的次數(shù)是一個隨機變量η2,其分布列為 η2 P 0.96 1-0.96 所以E(η2)=0.96+(1-0.96)≈0.64, 由于E(η2)>E(η1),因此當每4個人一組時所需要的化驗次數(shù)更少一些. 22.(14分)一次小測驗共有3道選擇題和2道填空題,每答對一道題得20分,答錯或不答得0分.某同學答對每道選擇題的概率均為0.8,答對每道填空題的概率均為0.5,各道題答對與否互不影響. (1)求該同學恰好答對2道選擇題和1道填空題的概率; (2)求該同學至多答對4道題的概率; (3)若該同學已經(jīng)答對了兩道填空題,把他這次測驗的得分記為X,求X的概率分布列及數(shù)學期望. 解:(1)P=. (2)該同學至多答對4道題的概率為1-. (3)X的可能取值為40,60,80,100. P(X=40)=, P(X=60)=, P(X=80)=, P(X=100)=. ∴X的概率分布列為 X 40 60 80 100 P E(X)=40+60+80+100 =88.