2019年高考數(shù)學二輪復習 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).doc
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2019年高考數(shù)學二輪復習 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.(xx陜西高考)函數(shù)f(x)=cos的最小正周期是( ) A. B.π C.2π D.4π 【解析】 ∵T=,∴T==π,故選B. 【答案】 B 2.(xx全國大綱高考)設(shè)a=sin 33,b=cos 55,c=tan 35,則( ) A.a(chǎn)>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 【解析】 b=cos 55=sin 35>a=sin 33,c=tan 35=>b=sin 35. ∴c>b>a. 【答案】 C 3.(xx四川高考)為了得到函數(shù)y=sin(2x+1)的圖象,只需把函數(shù)y=sin 2x的圖象上所有的點( ) A.向左平行移動個單位長度 B.向右平行移動個單位長度 C.向左平行移動1個單位長度 D.向右平行移動1個單位長度 【解析】 ∵y=sin(2x+1)=sin [2(x+)],∴只需將y=sin 2x的圖象向左平移個單位即可,故選A. 【答案】 A 4.(xx四川高考)已知函數(shù)f(x)=sin. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若α是第二象限角,f=coscos 2α,求cos α-sin α的值. 【解】 (1)因為函數(shù)y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z, 由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z, 得-+≤x≤+,k∈Z. 所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,k∈Z. (2)由已知,有sin =cos(cos 2α-sin 2α), 所以sin αcos+cos αsin =(cos 2α-sin 2α), 即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α). 當sin α+cos α=0時,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z. 此時,cos α-sin α=-. 當sin α+cos α≠0時,有(cos α-sin α)2=. 由α是第二象限角,知cos α-sin α<0, 此時cos α-sin α=-. 綜上所述,cos α-sin α=-或-. 從近三年高考來看,該部分高考命題的熱點考向為: 1.三角函數(shù)的概念、誘導公式及基本關(guān)系 ①本考向主要涉及三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式及誘導公式.該類問題出題背景選擇面廣,易形成知識交匯題,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力. ②試題多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),屬于中低檔題. 2.三角函數(shù)的圖象、解析式與變換 ①三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象解析式與變換,年年都會在高考中出現(xiàn).試題背景大多是給出圖象或解析式中某些量滿足的一些條件,求解析式或另外一些量.多數(shù)考查周期、頻率、振幅、最值、對稱中心、對稱軸等概念以及圖象的變換. ②試題主要以選擇題、填空題為主,屬低、中檔題;有時也出現(xiàn)在解答題的某一問中,考查學生的圖象變換的表述能力,屬于中檔題. 3.三角函數(shù)的性質(zhì) ①有關(guān)三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及最值問題(特別y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì))在歷年高考中都會考查,是高考考查的重點內(nèi)容.試題背景呈現(xiàn)多樣性、選擇面廣,往往與三角恒等變換、圖象性質(zhì)、平面向量等交匯命題. ②三種題型都有可能出現(xiàn),屬中、低檔題. 三角函數(shù)的概念、誘導公式及基本關(guān)系 【例1】 (1)(xx全國大綱高考)已知角α的終邊經(jīng)過點(-4,3),則cos α=( ) A. B. C.- D.- (2)(xx遼寧五校第二次聯(lián)考)若θ∈(,π),則=( ) A.sin θ-cos θ B.cos θ-sin θ C.(sin θ-cos θ) D.sin θ+cos θ 【解析】 (1)由定義cos α===-. 故選D. (2) ==|sin θ-cos θ|,又θ∈(,π), ∴sin θ-cos θ>0, 故原式=sin θ-cos θ. 【答案】 (1)D (2)A 【規(guī)律感悟】 三角函數(shù)的定義是求三角函數(shù)值的基礎(chǔ),同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導公式以及三角函數(shù)式的化簡在運算中起著重要的作用,解題要時注意依據(jù)已知條件正確地選擇公式,并注意應用公式所具備的條件. (1)當角的終邊經(jīng)過的點不固定時,需要進行分類討論,特別是當角的終邊在過坐標原點的一條直線上時,根據(jù)定義求三角函數(shù)值時,要把這條直線看做兩條射線,分別求解. (2)在利用誘導公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式時,一定要特別注意符號.一定要理解“奇變偶不變,符號看象限”的意思;同角三角函數(shù)的平方關(guān)系中,開方后的符號要根據(jù)角所在的象限確定. [創(chuàng)新預測] 1.(1)(xx河南三市三模)已知角θ的頂點與坐標原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊落在直線y=3x上,則cos 2θ= ( ) A. B. C.- D.- 【解析】 由已知條件知:①當終邊落在第一象限時,在直線y=3x上取一點P(1,3),則cos θ=,cos 2θ=2cos2θ-1=-. ②當終邊落在第三象限時,在直線y=3x上取一點P(-1,-3),則cos θ=-,此時cos 2θ=-.故選D. 【答案】 D (2)(xx遼寧五校聯(lián)考)已知cos(+α)=,且α∈(,),則tan α=( ) A. B. C.- D. 【解析】 因為cos(+α)=,所以sin α=-,顯然α在第三象限,所以cos α=-,故tan α=.故選B. 【答案】 B 【例2】 (1)(xx衡水中學二調(diào))已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示,為了得到g(x)=sin 2x的圖象,則只需將f(x)的圖象( ) A.向右平移個長度單位 B.向右平移個長度單位 C.向左平移個長度單位 D.向左平移個長度單位 (2)(xx福建高考)將函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)(-<θ<)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若f(x),g(x)的圖象都經(jīng)過點P(0,),則φ的值可以是( ) A. B. C. D. 【解析】 (1)由題中圖象可知A=1,T=4(-)=π,則ω=2.因為圖象過點(,-1),所以sin(2+φ)=-1.則+φ=2kπ-(k∈Z),φ=2kπ-(k∈Z),因為|φ|<,所以φ=.則f(x)=sin(2x+)=sin 2(x+),所以向右平移個長度單位.故選A. (2)先求出解析式中的字母的取值,再利用代入法確定答案. ∵P(0,)在f(x)的圖象上,∴f(0)=sin θ=. ∵θ∈(-,),∴θ=,∴f(x)=sin(2x+), ∴g(x)=sin[2(x-φ)+]. ∵g(0)=,∴sin(-2φ)=. 驗證,φ=π時, sin(-2φ)=sin(-π)=sin(-π)=成立. 【答案】 (1)A (2)B 【規(guī)律感悟】 1.確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B解析式的方法: (1)給出y=Asin(ωx+φ)的圖象求解析式,常根據(jù)“五點法”中的五個點求解,其中一般把第一個零點作為突破口,可以從圖象的升降找準第一個零點的位置. (2)給出y=Asin(ωx+φ)+B的圖象求解析式,參數(shù)A、B, A=,B=; 參數(shù)ω、φ的確定方式參照(1). 2.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的技巧及注意事項: (1)函數(shù)圖象的平移變換規(guī)則是“左加右減”. (2)在變換過程中務(wù)必分清先相位變換,還是先周期變換. (3)變換只是相對于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向. [創(chuàng)新預測] 2.(1)(xx江蘇高考)已知函數(shù)y=cosx與y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它們的圖象有一個橫坐標為的交點,則φ的值是________. 【解析】 根據(jù)題意,將x=代入可得 cos=sin, 即sin=,∴+φ=kπ(k∈Z).又∵φ∈[0,π),∴φ=. 【答案】 (2)(xx浙江高考)為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x的圖象,可以將函數(shù)y=cos 3x的圖象( ) A.向右平移個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個單位 D.向左平移個單位 【解析】 因為y=sin 3x+cos 3x=cos(3x-),所以將y=cos 3x的圖象向右平移個單位后可得到 y=cos(3x-)的圖象. 【答案】 A 【例3】 (1)(xx北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0).若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性,且f=f=-f,則f(x)的最小正周期為________. (2)(xx天津高考)已知函數(shù)f(x)=cos xsin-cos 2x+,x∈R. ①求f(x)的最小正周期; ②求f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值. 【解析】 (1)因為f(x)在區(qū)間上單調(diào)且f=f=-f, 所以f(x)的圖象與x軸的一個交點為且與其相鄰的最值點的橫坐標為, ∴=-=,∴T=π. 【答案】 π (2)【解】 ①由已知,有 f(x)=cos x-cos 2x+ =sin xcos x-cos 2x+ =sin 2x-(1+cos 2x)+ =sin 2x-cos 2x =sin. 所以,f(x)的最小正周期T==π. ②因為f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù). f=-,f=-,f=. 所以,函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為-. 【規(guī)律感悟】 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)及應用的求解思路: 第一步:先借助三角恒等變換及相應三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式; 第二步:把“ωx+φ”視為一個整體,借助復合函數(shù)性質(zhì)求y=Asin(ωx+φ)+B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題. [創(chuàng)新預測] 3.(1)(預測題)已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin(ωx+)在(,π)上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是( ) A.[,] B.[,] C.(0,] D.(0,2] 【解析】 ∵<x<π,∴<ωx<ωπ,+<ωx+<ωπ+.只須∴≤ω≤.故選A. 【答案】 A (2)(xx福建高考)已知函數(shù)f(x)=2cos x(sin x+cos x). ①求f()的值; ②求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 【解】 法一?、賔()=2cos (sin +cos ) =-2cos (-sin -cos ) =2. ②因為f(x)=2sin xcos x+2cos2 x =sin 2x+cos 2x+1 =sin(2x+)+1, 所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-,kπ+],k∈Z. 法二 f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 =sin(2x+)+1. ①f()=sin+1 =sin+1 =2. ②T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-,kπ+],k∈Z. [總結(jié)提升] 通過本節(jié)課的學習,需掌握以下三點 失分盲點 1.(1)忽視符號判斷:在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時,若開方,要特別注意判斷符號. (2)忽視化簡求值原則:利用誘導公式進行化簡求值時,先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其原則:負化正,大化小,化到銳角為終了. (3)忽視隱含條件:解題時容易忽視對條件的深刻挖掘,直接根據(jù)已知條件確定符號,擴大角的范圍致誤. (4)忽視函數(shù)名稱: 在平移變換中易忽視平移前后兩個函數(shù)的名稱變化,若不一致,應先利用誘導公式化為同名函數(shù). (5)錯誤理解平移單位數(shù): 由函數(shù)y=Asin ωx的圖象得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象時,需平移的單位數(shù)是,而不是|φ|. 2.求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時,注意以下幾點: (1)若ω<0,應先利用誘導公式將函數(shù)化為y=-Asin(-ωx-φ).再結(jié)合y=sin x的單調(diào)性求其單調(diào)區(qū)間. (2)別忘掉寫+2kπ,或+kπ等,別忘掉寫k∈Z. (3)書寫單調(diào)區(qū)間時,不要把弧度和度混在一起,如[0,90]應寫為[0,]. 3.y=sin |x|不是周期函數(shù),y=cos |x|是以2π為最小正周期的函數(shù),y=|sin x|與y=|cos x|都是以π為最小正周期的函數(shù). 4.研究三角函數(shù)的性質(zhì)或作三角函數(shù)圖象時,一定要將三角函數(shù)式化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式. 答題指導 (1)看到三角函數(shù)的化簡求值問題,想到同角三角函數(shù)關(guān)系式,誘導公式及兩角和與差及倍角的正弦、余弦、正切公式的應用,注意結(jié)合一些角的變換技巧,在變換中注意三角函數(shù)值符號的確定. (2)看到有關(guān)三角函數(shù)的問題時,想到三角函數(shù)的圖象及性質(zhì). (3)看到形如函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式的問題,想到整體思想方法的運用,清楚函數(shù)的平 移變換及伸縮變換規(guī)律. 三角函數(shù)圖象變換中的推理論證 1.在解答數(shù)學試題中起主要作用的數(shù)學能力是邏輯推理能力、空間想象能力和運算求解能力,運算求解實際是簡單的邏輯推理,邏輯推理能力在數(shù)學解題中占有重要地位.高考從不同的側(cè)面考查邏輯推理能力. 2.三角函數(shù)從解析式看是數(shù)的內(nèi)容,但畫出其圖象后又是形的內(nèi)容,三角函數(shù)的解析式和圖象從數(shù)與形兩個方面刻畫了同一種變化規(guī)律.在三角函數(shù)問題中有時要通過平移、伸縮變換由一個函數(shù)圖象得到另一個函數(shù)圖象,圖象變換的同時函數(shù)的解析式也隨之變化.在三角函數(shù)的圖象與解析式的變化中,從一個方面得到另一個方面不單純是運算,邏輯推理也占有重要成分. 方法規(guī)律 (1)利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求三角函數(shù)值域的方法.(2)利用公式求三角函數(shù)的周期的方法.(3)利用整體代換求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法.(4)利用平移變換與伸縮變換求函數(shù)的解析式的方法. 【典例】 函數(shù)f(x)=3sin(2x+)的部分圖象如圖所示. (1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0,y0的值; (2)求f(x)在區(qū)間[-,-]上的最大值和最小值. 【解】 (1)f(x)的最小正周期為π, x0=,y0=3. (2)因為x∈[-,-],所以2x+∈[-,0]. 于是,當2x+=0,即x=-時,f(x)取得最大值0; 當2x+=-,即x=-時,f(x)取得最小值-3. 【規(guī)律感悟】 三角函數(shù)的性質(zhì)是高考重點內(nèi)容之一,本試題圍繞圖象、周期性、單調(diào)性、最值等來考查,全面考查分析問題、解決問題的能力以及運算能力、推理論證能力.題目特點常表現(xiàn)為通過周期性、奇偶性、對稱性來判斷函數(shù)解析式,再依據(jù)解析式研究單調(diào)性和最值. 建議用時 實際用時 錯題檔案 45分鐘 一、選擇題 1.(原創(chuàng)題)下列各選項中,與sin 2 015最接近的數(shù)是( ) A.- B. C. D.- 【解析】 sin 2 015=sin(2 160-145)=-sin 145. ∵sin 145接近sin 150,∴sin 2 015最接近的數(shù)是-,故選A. 【答案】 A 2.已知sin α-cos α=,α∈(0,π),則tan α=( ) A.-1 B.- C. D.1 【解析】 ∴(cos α+1)2=0. ∴cos α=-,sin α=,∴tan α==-1. 【答案】 A 3.(xx山東高考)將函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則φ的一個可能取值為( ) A. B. C.0 D.- 【解析】 利用平移規(guī)律求得解析式,驗證得出答案. y=sin(2x+φ)y=sin[2(x+)+φ]= sin(2x++φ). 當φ=時,y=sin(2x+π)=-sin 2x,為奇函數(shù); 當φ=時,y=sin(2x+)=cos 2x,為偶函數(shù); 當φ=0時,y=sin(2x+),為非奇非偶函數(shù); 當φ=-時,y=sin 2x,為奇函數(shù).故選B. 【答案】 B 4.(xx遼寧高考)將函數(shù)y=3sin的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)( ) A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增 C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增 【解析】 y=3sin的圖象y=-3sin的圖象,由圖象知選B. 【答案】 B 5.(xx天津高考)已知函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲線y=f(x)與直線y=1的交點中,若相鄰交點距離的最小值為,則f(x)的最小正周期為( ) A. B. C.π D.2π 【解析】 f(x)=2sin(ωx+),由f(x)=1,得sin(ωx+)=, ∴ωx+=+2kπ或ωx+=+2mπ(k,m∈Z). ∴x1=,x2=+. ∴|x2-x1|min=. 取k=0,m=0,∴=. ∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+),∴T=π.故選C. 【答案】 C 二、填空題 6.(xx大慶質(zhì)檢)已知α∈(,π),sin α=,則tan 2α=________. 【解析】 ∵α∈(,π),sin α=,∴cos α=-,tan α=-2,tan 2α==. 【答案】 7.(xx重慶高考)將函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ<)圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半,縱坐標不變,再向右平移個單位長度得到y(tǒng)=sin x 的圖象,則f()=________. 【解析】 y=sin xy=sin(x+)y=sin(x+) ∴f()=sin(+)=sin=. 【答案】 8.(xx遼寧三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|cos x|sin x,給出下列五個說法: ①f()=;②若|f(x1)|=|f(x2)|,則x1=x2+kπ(k∈Z);③f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;④函數(shù)f(x)的周期為π;⑤f(x)的圖象關(guān)于點(-,0)成中心對稱.其中正確說法的序號是________. 【解析】?、賔()=f(671π+) =|cos(671π+)|sin(671π+) =cos (-sin )=-,正確. ②令x1=-,x2=,則|f(x1)|=|f(x2)|,但x1-x2=-=-,不滿足x1=x2+kπ(k∈Z),不正確. ③f(x)=, ∴f(x)在上單調(diào)遞增,正確. ④f(x)的周期為2π,不正確. ⑤∵f(-π+x)=-|cos x|sin x, f(-x)=-|cos x|sin x, ∴f(-π+x)+f(-x)≠0, ∴f(x)的圖象不關(guān)于點(-,0)成中心對稱,∴不正確. 綜上可知,正確說法的序號是①③. 【答案】?、佗? 三、解答題 9.(xx重慶高考)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象關(guān)于直線x=對稱,且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π. (1)求ω和φ的值; (2)若f=,求cos的值. 【解】 (1)因f(x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π,所以f(x)的最小正周期T=π,從而ω==2. 又因為f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,所以 2+φ=kπ+,k=0,1,2,….因-≤φ<得k=0, 所以φ=-=-. (2)由(1)得f=sin=, 所以sin=. 由<α<得0<α-<, 所以cos===. 因此cos=sin α =sin =sincos+cossin =+ =. 10. 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)求函數(shù)g(x)=f(x-)-f(x+)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【解】 (1)由題設(shè)圖象知,周期T=2(-)=π,所以ω==2. 因為點(,0)在函數(shù)圖象上,所以Asin(2+φ)=0, 即sin(+φ)=0. 又因為0<φ<,所以<+φ<. 從而+φ=π,即φ=. 又點(0,1)在函數(shù)圖象上,所以Asin=1,解得A=2. 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sin(2x+). (2)g(x)=2sin[2(x-)+]-2sin[2(x+)+] =2sin 2x-2sin(2x+)=2sin 2x-2(sin 2x+cos 2x) =sin 2x-cos 2x=2sin(2x-). 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-,kπ+],k∈Z.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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