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2019年高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)17 正弦定理和余弦定理（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題 1.（xx北京高考文科Ｔ5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,則sinB=( ) A. B. C. D.1 【解題指南】已知兩邊及一邊的對(duì)角利用正弦定理求解。 【解析】選B。由正弦定理得。 2.（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考文科Ｔ4）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，，則的面積為（ ） A. B. C. D. 【解題指南】利用正弦定理和三角形的面積公式可得 【解析】選B.因?yàn)?所以.由正弦定理得，解得。所以三角形的面積為. 因?yàn)椋? 所以，選B. 3.（xx新課標(biāo)Ⅰ高考文科Ｔ10）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，，，c=6，則（ ） A.10 B.9 C.8 D.5 【解題指南】由，利用倍角公式求出的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得的值. 【解析】選D.因?yàn)?，所以，解得? 方法一:因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以,. 由正弦定理得，. ，.又， 所以， .由正弦定理得, ，解得. 方法二:由余弦定理，，則，解得 4.（xx陜西高考文科Ｔ9）【備注：（xx陜西高考理科Ｔ7）與之題干相同】 設(shè)△ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c, 若, 則△ABC的形狀為 ( ) A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不確定 【解題指南】在含有邊角關(guān)系式的三角函數(shù)恒等變形中,利用正弦定理將邊的關(guān)系式化為角的正弦式或利用余弦定理將余弦式化為邊的關(guān)系式,這是判斷三角形形狀的兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向. 【解析】選A.因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A, sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形. 5.（xx安徽高考文科Ｔ9）【備注：（xx安徽高考理科Ｔ12）與之題干相同】 設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.若b+c=2a,則3sinA=5sinB,則角C=　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】 根據(jù)正弦定理、余弦定理進(jìn)行解三角形計(jì)算。 【解析】選B.由題設(shè)條件可得，由余弦定理得 ，所以。 6. （xx山東高考文科Ｔ7）的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，，，則（ ） A. B. 2 C. D.1　 【解析】選B.由,則，由正弦定理知,即,所以cosA=，所以A=，，所以，所以，c=2. 7.（xx湖南高考理科Ｔ3）在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.若（ ） A． B． C． D． 【解題指南】本題先利用正弦定理化簡(jiǎn)條件等式，注意條件“銳角三角形” . 【解析】選D.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=. 8. （xx天津高考理科Ｔ6）在△ABC中, 則 = (　　) A. B. C. D. 【解題指南】先由余弦定理求AC邊長(zhǎng)，然后根據(jù)正弦定理求值. 【解析】選C. 在△ABC中，由余弦定理得， 所以由正弦定理得即所以. 9. （xx湖南高考文科Ｔ5）在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b. 若2asinB=b，則角A等于（ ） A. B. C. D. 【解題指南】本題先利用正弦定理化簡(jiǎn)條件等式，注意條件“銳角三角形” . 【解析】選A.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=. 二、填空題 10.(xx浙江高考理科T16)在△ABC中,∠C=90,M是BC的中點(diǎn).若,則sin∠BAC=　　　　. 【解題指南】分別在Rt△ABC和△ABM中應(yīng)用勾股定理和正弦定理. 【解析】設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM中由正弦定理得 ①, 因?yàn)? 又,,所以. 又由①得,兩邊平方化簡(jiǎn)得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0, 所以. 【答案】 11.（xx上海高考理科T4）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,則角C的大小是　　　　(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示). 【解析】3a2+2ab+3b2-3c2=0?c2=a2+b2+ab,故． 【答案】 12.（xx上海高考文科T5）已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，則角C的大小是 . 【解析】 【答案】 三、解答題 13. （xx大綱版全國(guó)卷高考文科Ｔ18）與（xx大綱版全國(guó)卷高考理科Ｔ18）相同 設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為， （I）求; （II）若,求. 【解題指南】（I）由條件確定求應(yīng)采用余弦定理. （II）應(yīng)用三角恒等變換求出及的值，列出方程組確定的值. 【解析】（I）因?yàn)?所以. 由余弦定理得，因此. （II）由（I）知，所以 . 故或，因此或 14. （xx新課標(biāo)Ⅰ高考理科Ｔ17）如圖，在中，，，，為內(nèi)一點(diǎn)，. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，求. 【解析】由已知得，， 所以. 在，由余弦定理得 ,故. （Ⅱ）設(shè)，由已知得， 在中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，所以，即. 15. （xx天津高考文科Ｔ16）在△ABC中, 內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c. 已知, a = 3, . (Ⅰ) 求b的值; (Ⅱ) 求的值. 【解題指南】(Ⅰ)根據(jù)正弦定理及, a = 3求出a,c的值，再由余弦定理求b的值； (Ⅱ)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式求出，，再由兩角差的正弦公式求值. 【解析】(Ⅰ) 在△ABC中，由正弦定理得，即，又由，可得，,又 a = 3，故c=1，由且可得 (Ⅱ)由，得，進(jìn)而得到 所以 16.(xx浙江高考文科T18)與(xx浙江高考理科T18)相同 在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2asinB=b. (1)求角A的大小. (2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面積. 【解題指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根據(jù)余弦定理,借助三角形的面積公式求解. 【解析】(1)由2asinB=b及正弦定理,得sinA=, 因?yàn)锳是銳角,所以. (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以, 由三角形面積公式S=bcsinA,得△ABC的面積為. 17.（xx江西高考理科Ｔ16）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知. (1)求角B的大??； (2)若，求b的取值范圍. 【解題指南】(1)借助三角形內(nèi)角和為，結(jié)合三角恒等變換將條件中的等式轉(zhuǎn)化為只含B的方程，求出B的三角函數(shù)值，進(jìn)而可求出角B.（2）根據(jù)（1）求出的B與，由余弦定理可得b2關(guān)于a的函數(shù)，注意到可知，進(jìn)而可求出b的范圍. 【解析】（1）由已知得，即.因?yàn)椋?又,所以,又，所以. （2）由余弦定理，有，因?yàn)椋?所以，又因?yàn)椋?，? 18. （xx江西高考文科Ｔ17）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. （1）求證：a，b，c成等差數(shù)列； （2）若C=，求的值. 【解題指南】（1）先利用二倍角公式把角2B化為角B，再進(jìn)行角化邊的處理；（2）借助第（1）問的結(jié)果結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解. 【解析】(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因?yàn)閟inB,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可知a+c=2b，即a，b，c成等差數(shù)列. (2) 由C=，c=2b-a及余弦定理得，即有，所以. 19.（xx北京高考理科Ｔ15）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A. (I)求cosA的值， (II)求c的值 【解題指南】（1）由條件可以看出，已知兩角關(guān)系求角，可以利用正弦定理解決問題；（2）由已知兩邊和角求第三邊，所以應(yīng)用余弦定理求解。 【解析】（1）由正弦定理得，所以，， 即. （2）由余弦定理得，所以， 即，解得或（舍）。 20.(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考理科T17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B. (2)若b=2,求△ABC面積的最大值. 【解題指南】(1)將a=bcosC+csinB“邊化角”,化簡(jiǎn)求得B. (2)利用角B、邊b將△ABC面積表示出來,借助均值不等式求最大值. 【解析】(1)因?yàn)閍=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因?yàn)閟inC≠0, 所以tanB=1,解得B= (2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos,即4=a2+c2-ac,由不等式得a2+c2≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),取等號(hào),所以4≥(2-)ac,解得ac≤4+2,所以△ABC的面積為acsin≤(4+2)=+1.所以△ABC面積的最大值為+1.