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二次函數(shù)與線段的和差問題 知識講解 知識點 二次函數(shù)綜合；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)； 教學(xué)目標(biāo) 1. 熟練運用所學(xué)知識解決二次函數(shù)綜合問題 2．靈活運用數(shù)形結(jié)合思想 教學(xué)重點 巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題； 教學(xué)難點 靈活運用技巧及方法解決綜合問題； 知識講解 線段的和的最小值： 此類問題歸結(jié)為對稱點問題，我們只需將其中的一個已知點關(guān)于直線的對稱點找到，同時連接該對稱點與另一已知的點，則該直線與已知直線的交點即為尋找的點； 線段的差的最大值： 此類問題歸結(jié)為三點共線問題，我們只需將兩個已知的點都轉(zhuǎn)換到直線的同一側(cè)，同時連接這兩個已知的點得到的直線與已知直線的交點即為尋找的點； 線段的最值問題： 我們可以將所需線段用所設(shè)的未知數(shù)表示出來，再根據(jù)函數(shù)最值的求解方式便可以得到線段的最值了； 圖形周長的最值問題： 此類問題可以歸結(jié)為線段的和的最值問題，我們可以借助線段和的最值求法來研究。 當(dāng)需要求解出線段的最值時，我們可以將線段放置于直角三角形中，運用勾股定理求解。 例題精析 例1已知：直線l：y=﹣2，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是y軸，且經(jīng)過點（0，﹣1），（2，0）．（1）求該拋物線的解析式； （2）如圖①，點P是拋物線上任意一點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，求證：PO=PQ． （3）請你參考（2）中結(jié)論解決下列問題： （i）如圖②，過原點作任意直線AB，交拋物線y=ax2+bx+c于點A、B，分別過A、B兩點作直線l的垂線，垂足分別是點M、N，連結(jié)ON、OM，求證：ON⊥OM． （ii）已知：如圖③，點D（1，1），試探究在該拋物線上是否存在點F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．  例2已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點A（-1，0），B（4，0），拋物線（）過點A、B，頂點為C．點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點． （1）求拋物線的解析式與頂點C的坐標(biāo)． （2）當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值范圍． （3）若，當(dāng)∠APB為直角時，將該拋物線向左或向右平移t（）個單位，點P、C移動后對應(yīng)的點分別記為、，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、、所構(gòu)成的多邊形的周長最短？若存在，求t值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由．  例3如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點M（﹣2，），頂點坐標(biāo)為N（﹣1，），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點． （1）求拋物線的解析式； （2）點P為拋物線對稱軸上的動點，當(dāng)△PBC為等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)； （3）在直線AC上是否存在一點Q，使△QBM的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．  例4如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2． （1）求A、B 兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式； （2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值； A （3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．  課程小結(jié) 有針對性的對勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與線段的和差問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與線段的和差問題時，抓住已有的信息及條件用所設(shè)未知數(shù)來表示出線段的長度，并能運用二次函數(shù)的最值來解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵，如遇到線段和最大及差最小問題可相應(yīng)的將其轉(zhuǎn)換為對稱點及三點共線的問題來解決。 例1【規(guī)范解答】 解：（1）由題意，得 ，解得：， ∴拋物線的解析式為：y= （2）如圖①，設(shè)P（a， a2﹣1），就有OE=a，PE=a2﹣1，∵PQ⊥l，∴EQ=2，∴QP=a2+1． 在Rt△POE中，由勾股定理，得PO==，∴PO=PQ； （3）①如圖②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM， ∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180． ∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180， ∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360 ∴2∠BON+2∠AOM=180，∴∠BON+∠AOM=90，∴∠MON=90，∴ON⊥OM； ②如圖③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E， ∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90，F(xiàn)O=FG，F(xiàn)′H=F′O， ∴四邊形GHF′E是矩形，F(xiàn)O+FD=FG+FD=DG，F(xiàn)′O+F′D=F′H+F′D ∴EG=F′H，∴DE＜DF′，∴DE+GE＜HF′+DF′，∴DG＜F′O+DF′，∴FO+FD＜F′O+DF′， ∴F是所求作的點．∵D（1，1）， ∴F的橫坐標(biāo)為1，∴F（1，）． 【總結(jié)與反思】 1. 由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是y軸，就可以得出﹣=0，由待定系數(shù)法求可以求出拋物線的解析式； 2. 由（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，由勾股定理就可以求出PE和PQ的值而得出結(jié)論； 3. ①由（2）的結(jié)論就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的內(nèi)角和定理記平行線的性質(zhì)就可以求出∠MON=90而得出結(jié)論； ②如圖③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E，由（2）的結(jié)論根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得出結(jié)論． 例2【規(guī)范解答】(1)解:依題意把的坐標(biāo)代入得: ;解得: 拋物線解析式為 頂點橫坐標(biāo),將代入拋物線得 (2)如圖,當(dāng)時,設(shè),則 過作直線軸, (注意用整體代入法) 解得, 當(dāng)在之間時，或時，為鈍角. (3)依題意，且 設(shè)移動（向右，向左） 連接則又的長度不變 四邊形周長最小，只需最小即可，將沿軸向右平移5各單位到處沿軸對稱為 ∴當(dāng)且僅當(dāng)、B、三點共線時，最小，且最小為，此時 ，設(shè)過的直線為，代入 ∴ 即將代入，得：，解得： ∴當(dāng)，P、C向左移動單位時，此時四邊形ABP’C’周長最小。 【總結(jié)與反思】 1.二次函數(shù)待定系數(shù)法; 2.存在性問題,相似三角形; 3.最終問題,軸對稱,兩點之間線段最短 例3【規(guī)范解答】解：（1）由拋物線頂點坐標(biāo)為N（﹣1，），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+， 將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解得a=﹣， 故所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+； （2）∵y=﹣x2﹣x+，∴x=0時，y=，∴C（0，）．y=0時，﹣x2﹣x+=0， 解得x=1或x=﹣3，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴BC==2． 設(shè)P（﹣1，m），顯然PB≠PC，所以 當(dāng)CP=CB時，有CP==2，解得m=； 當(dāng)BP=BC時，有BP==2，解得m=2． 綜上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時， 點P的坐標(biāo)為（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）； （3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC． 連結(jié)BC并延長至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點Q，∵B、B′關(guān)于直線AC對稱， ∴QB=QB′，∴QB+QM=QB′+QM=MB′，又BM=2，所以此時△QBM的周長最小． 由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．設(shè)直線MB′的解析式為y=kx+n， 將M（﹣2，），B′（3，2）代入，得，解得，即直線MB′的解析式為y=x+． 同理可求得直線AC的解析式為y=﹣x+．由，解得，即Q（﹣，）． 所以在直線AC上存在一點Q（﹣，），使△QBM的周長最小． 【總結(jié)與反思】 （1）先由拋物線的頂點坐標(biāo)為N（﹣1，），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+，再將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式； （2）先求出拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交點A、B，與y軸交點C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC==2．設(shè)P（﹣1，m），顯然PB≠PC，所以當(dāng)△PBC為等腰三角形時分兩種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC； （3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，連結(jié)BC并延長至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點Q，由軸對稱的性質(zhì)可知此時△QBM的周長最小，由B（﹣3，0），C（0，），根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出B′（3，2），再運用待定系數(shù)法求出直線MB′的解析式為y=x+，直線AC的解析式為y=﹣x+，然后解方程組，即可求出Q點的坐標(biāo)． 例4【規(guī)范解答】解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），將C點的橫坐標(biāo)x=2， 代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直線AC的函數(shù)解析式是：y=﹣x﹣1； （2）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）， ∵P點在E點的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時，PE的最大值=； （3）存在4個這樣的點F，分別是：F1（1，0），F(xiàn)2（﹣3，0），F(xiàn)3（4+，0），F(xiàn)4（4﹣，0）． ①如圖1， 連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標(biāo)是（﹣3，0）； ②如圖2， AF=CG=2，A點的坐標(biāo)為（﹣1，0），因此F點的坐標(biāo)為（1，0）；因此F點的坐標(biāo)為（1，0）； ③如圖3， 此時C，G兩點的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱，因此G點的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中，即可得出G點的坐標(biāo)為（1，3）， 由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為：y=﹣x+h，將G點代入后， 可得出直線的解析式為：y=﹣x+7．因此直線GF與x軸的交點F的坐標(biāo)為：（4+，0）； ④如圖4， 同③可求出F的坐標(biāo)為：（4﹣，0）；綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點． 【總結(jié)與反思】 1. 拋物線與x軸的交點即為A和B，再將A和C帶入求解直線方程。 2. 將點P和點E坐標(biāo)設(shè)出后，求解最大值。 3. 將已知AC邊作為邊或者對角線分類討論求出點坐標(biāo)。