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第二十七章 相似 一、選擇題 1．xx內(nèi)江已知△ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1∶3，則△ABC與△A1B1C1的面積比為(　　) A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9 2．xx紹興學校門口的欄桿如圖1所示，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為(　　) 圖1 A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m 3．xx臨沂如圖2，利用標桿BE測量建筑物的高度．已知標桿BE高1.2 m，測得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，則建筑物CD的高是(　　) 　 圖2 A．9.3 m B．10.5 m C．12.4 m D．14 m 4．xx濰坊在平面直角坐標系中，P(m，n)是線段AB上一點，以原點O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，則點P的對應(yīng)點的坐標為(　　) A．(2m，2n) B．(2m，2n)或(－2m，－2n) C．(m，n) D．(m，n)或(－m，－n) 5．xx宜賓如圖3，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面積為9，陰影部分三角形的面積為4.若AA′＝1，則A′D等于(　　) 圖3 A．2 B．3 C. D. 6．xx泰州如圖4，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(9，6)，AB⊥y軸，垂足為B，點P從原點O出發(fā)向x軸正方向運動，同時，點Q從點A出發(fā)向點B運動，當點Q到達點B時，點P，Q同時停止運動，若點P與點Q的速度之比為1∶2，則下列說法正確的是(　　) 圖4 A．線段PQ始終經(jīng)過點(2，3) B．線段PQ始終經(jīng)過點(3，2) C．線段PQ始終經(jīng)過點(2，2) D．線段PQ不可能始終經(jīng)過某一定點 二、填空題 7．xx嘉興如圖5，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)，已知＝，則＝________． 圖5 8．xx南充如圖6，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延長線于點F，若AD＝1，BD＝2，BC＝4，則EF＝________． 　 圖6 9．xx岳陽《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“如圖7，今有直角三角形，勾(短直角邊)長為5步，股(長直角邊)長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是________步． 圖7 三、解答題 10．xx杭州如圖8，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點E. (1)求證：△BDE∽△CAD； (2)若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長． 圖8 11．xx安徽如圖9，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的1010網(wǎng)格中，已知點O，A，B均為網(wǎng)格線的交點． (1)在給定的網(wǎng)格中，以點O為位似中心，將線段AB放大為原來的2倍，得到線段A1B1(點A，B的對應(yīng)點分別為A1，B1)，畫出線段A1B1； (2)將線段A1B1繞點B1逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段A2B1，畫出線段A2B1； (3)以A，A1，B1，A2為頂點的四邊形AA1B1A2的面積是________個平方單位． 圖9 12．xx衢州如圖10，已知AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接BC交⊙O于點F，取的中點D，連接AD交BC于點E，過點E作EH⊥AB于點H. (1)求證：△HBE∽△ABC； (2)若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的長． 圖10 13．xx寧波若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形． (1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，請直接寫出所有滿足條件的AC的長； (2)如圖11①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求證：△ABC是比例三角形； (3)如圖②，在(2)的條件下，當∠ADC＝90時，求的值． 圖11  詳解詳析 1．[解析] D　∵△ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1∶3，∴＝()2＝.故選D. 2．[解析] C　由題意可知△ABO∽△CDO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝，又AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，∴＝，解得CD＝0.4(m)．故選C. 3．[解析] B　由題意知BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，解得CD＝10.5(m)．故選B. 4．[解析] B　當放大后的△A′O′B′與△AOB在原點O的同側(cè)時，點P的對應(yīng)點的坐標為(2m，2n)；當放大后的△A′O′B′與△AOB在原點O的異側(cè)時，點P的對應(yīng)點的坐標為(－2m，－2n)．故選B. 5．[解析] A　如圖，∵S△ABC＝9，S△A′EF＝4，且AD為BC邊上的中線， ∴S△A′DE＝S△A′EF＝2，S△ABD＝S△ABC＝. ∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A′B′C′， ∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB，∴＝， 即＝， 解得A′D＝2或A′D＝－(舍去)．故選A. 6．[解析] B　解法一：如圖，連接AO交PQ于點C，過點C作CD⊥AB于點D， ∵AB⊥y軸， ∴AB∥x軸， ∴∠A＝∠COP，∠AQC＝∠OPC， ∴△AQC∽△OPC， ∴＝＝2， ∴＝. 同理可得CD＝BO＝4，AD＝AB＝6. ∵點A的坐標為(9，6)， ∴點C的坐標為(3，2)． 即線段PQ始終經(jīng)過點(3，2)．故選B. 解法二：當OP＝t時，點P的坐標為(t，0)，點Q的坐標為(9－2t，6)． 設(shè)直線PQ的解析式為y＝kx＋b(k≠0)， 將P(t，0)，Q(9－2t，6)代入y＝kx＋b， 得解得 ∴直線PQ的解析式為y＝x＋. 當x＝3時，y＝2， ∴直線PQ始終經(jīng)過點(3，2)． 故選B. 7．[答案] 2 [解析] 由＝得＝＝，則＝2. 因為直線l1∥l2∥l3，所以＝＝2. 故答案為2. 8．[答案] [解析] ∵DE∥BC，AD＝1，BD＝2，BC＝4，∴＝，即＝，解得DE＝.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC.又∵DE∥BC，∴∠FBC＝∠F，∴∠ABF＝∠F，∴BD＝DF＝2.∵DF＝DE＋EF，∴EF＝2－＝.故答案為：. 9．[答案] [解析] 如圖． 設(shè)該直角三角形能容納的正方形邊長為x，則AD＝12－x，F(xiàn)C＝5－x. 根據(jù)題意，得△ADE∽△EFC， ∴＝， 即＝，解得x＝. 故答案為. 10．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，AD⊥BC. 又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC， ∴△BDE∽△CAD. (2)∵BC＝10，∴BD＝BC＝5. 在Rt△ABD中，有AD2＋BD2＝AB2， ∴AD＝＝12. ∵△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，∴DE＝. 11．解：(1)如圖所示，線段A1B1即為所求． (2)如圖所示，線段A2B1即為所求． (3)由圖可得，四邊形AA1B1A2為正方形， ∴四邊形AA1B1A2的面積是()2＝()2＝20. 故答案為：20. 12．[解析] (1)根據(jù)切線的性質(zhì)可證明∠CAB＝∠EHB，由此即可解決問題； (2)連接AF.由△CAF∽△CBA，推出AC2＝CFCB＝36，可得AC＝6，AB＝＝3 ，AF＝＝2 ，由Rt△AEF≌Rt△AEH，推出AF＝AH＝2 .設(shè)EF＝EH＝x.在Rt△EHB中，可得(5－x)2＝x2＋()2，解方程即可解決問題． 解：(1)證明：∵AC是⊙O的切線，∴CA⊥AB. ∵EH⊥AB，∴∠EHB＝∠CAB. 又∵∠EBH＝∠CBA，∴△HBE∽△ABC. (2)如圖，連接AF. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90. ∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠AFC， ∴△CAF∽△CBA，∴＝， ∴AC2＝CFCB＝36， ∴AC＝6，AB＝＝3 ，AF＝＝2 . ∵＝，∴∠EAF＝∠EAH. ∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF＝EH. 又∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH， ∴AF＝AH＝2 .設(shè)EF＝EH＝x. 在Rt△EHB中，(5－x)2＝x2＋()2， ∴x＝2，∴EH＝2. 13．解：(1)AC的長為或或. (2)證明：∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD. 又∵∠BAC＝∠ADC， ∴△ABC∽△DCA， ∴＝，即CA2＝BCAD. ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴CA2＝BCAB， ∴△ABC是比例三角形． (3)如圖，過點A作AH⊥BD于點H. ∵AB＝AD， ∴BH＝BD. ∵AD∥BC，∠ADC＝90， ∴∠BCD＝90， ∴∠BHA＝∠BCD＝90. 又∵∠ABH＝∠DBC， ∴△ABH∽△DBC， ∴＝， ∴ABBC＝DBBH， ∴ABBC＝BD2. 又∵ABBC＝AC2， ∴BD2＝AC2， ∴＝.