2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十三講 圓與圓.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十三講 圓與圓 圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情形,判定兩圓的位置關(guān)系有如下三種方法: 1.通過兩圓交點(diǎn)的個數(shù)確定; 2.通過兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定; 3.通過兩圓的公切線的條數(shù)確定. 為了溝通兩圓,常常添加與兩圓都有聯(lián)系的一些線段,如公共弦、共切線、連心線,以及兩圓公共部分相關(guān)的角和線段,這是解圓與圓位置關(guān)系問題的常用輔助線. 熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論: 【例題求解】 【例1】 如圖,⊙Ol與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)A,⊙Ol經(jīng)過圓心O2,作⊙O2的直徑BC交⊙Ol于點(diǎn)D,EF為過點(diǎn)A的公切線,若O2D=,那么∠BAF= 度. 思路點(diǎn)撥 直徑、公切線、O2的特殊位置等,隱含豐富的信息,而連O2Ol必過A點(diǎn),先求出∠D O2A的度數(shù). 注:(1)兩圓相切或相交時,公切線或公共弦是重要的類似于“橋梁”的輔助線,它可以使弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以溝通.同時,又是生成圓冪定理的重要因素. (2)涉及兩圓位置關(guān)系的計(jì)算題,常作半徑、連心線,結(jié)合切線性質(zhì)等構(gòu)造直角三角形,將分散的條件集中,通過解直角三角形求解. 【例2】 如圖,⊙Ol與⊙O2外切于點(diǎn)A,兩圓的一條外公切線與⊙O1相切于點(diǎn)B,若AB與兩圓的另一條外公切線平行,則⊙Ol 與⊙O2的半徑之比為( ) A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3 思路點(diǎn)撥 添加輔助線,要探求兩半徑之間的關(guān)系,必須求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的度數(shù),為此需尋求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的關(guān)系. 【例3】 如圖,已知⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),P是⊙Ol上一點(diǎn),PB的延長線交⊙O2于點(diǎn)C,PA交⊙O2于點(diǎn)D,CD的延長線交⊙Ol于點(diǎn)N. (1)過點(diǎn)A作AE∥CN交⊙Oll于點(diǎn)E,求證:PA=PE; (2)連結(jié)PN,若PB=4,BC=2,求PN的長. 思路點(diǎn)撥 (1)連AB,充分運(yùn)用與圓相關(guān)的角,證明∠PAE=∠PEA;(2)PBPC=PDPA,探尋PN、PD、PA對應(yīng)三角形的聯(lián)系. 【例4】 如圖,兩個同心圓的圓心是O,AB是大圓的直徑,大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)D,連結(jié)OD并延長交大圓于點(diǎn)E,連結(jié)BE交AC于點(diǎn)F,已知AC=,大、小兩圓半徑差為2. (1)求大圓半徑長; (2)求線段BF的長; (3)求證:EC與過B、F、C三點(diǎn)的圓相切. 思路點(diǎn)撥 (1)設(shè)大圓半徑為R,則小圓半徑為R-2,建立R的方程;(2)證明△EBC∽△ECF;(3)過B、F、C三點(diǎn)的圓的圓心O′,必在BF上,連OˊC,證明∠O′CE=90. 注:本例以同心圓為背景,綜合了垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、切線的判定、勾股定理、相似三角形等豐富的知識.作出圓中基本輔助線、運(yùn)用與圓相關(guān)的角是解本例的關(guān)鍵. 【例5】 如圖,AOB是半徑為1的單位圓的四分之一,半圓O1的圓心O1在OA上,并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)A,半圓O2的圓心O2在OB上,并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)B,半圓O1與半圓O2相切,設(shè)兩半圓的半徑之和為,面積之和為. (1)試建立以為自變量的函數(shù)的解析式; (2)求函數(shù)的最小值. 思路點(diǎn)撥 設(shè)兩圓半徑分別為R、r,對于(1),,通過變形把R2+r2用“=R+r”的代數(shù)式表示,作出基本輔助線;對于(2),因=R+r,故是在約束條件下求的最小值,解題的關(guān)鍵是求出R+r的取值范圍. 注:如圖,半徑分別為r、R的⊙Ol 、⊙O2外切于C,AB,CM分別為兩圓的公切線,OlO2與AB交于P點(diǎn),則: (1)AB=2; (2) ∠ACB=∠Ol M O2=90; (3)PC2=PAPB; (4)sinP=; (5)設(shè)C到AB的距離為d,則. 學(xué)力訓(xùn)練 1.已知:⊙Ol和⊙O2交于A、B兩點(diǎn),且⊙Ol經(jīng)過點(diǎn)O2,若∠AOlB=90,則∠A O2B的度數(shù)是 . 2.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分別以A、C為圓心的兩圓相切,點(diǎn)D在圓C內(nèi),點(diǎn)B在圓C外,那么圓A的半徑r的取值范圍 . 3.如圖;⊙Ol 、⊙O2相交于點(diǎn)A、B,現(xiàn)給出4個命題: (1)若AC是⊙O2的切線且交⊙Ol于點(diǎn)C,AD是⊙Ol的切線且交⊙O2于點(diǎn)D,則AB2=BCBD; (2)連結(jié)AB、OlO2,若OlA=15cm,O2A=20cm,AB=24cm,則OlO2=25cm; (3)若CA是⊙Ol的直徑,DA是⊙O2 的一條非直徑的弦,且點(diǎn)D、B不重合,則C、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上, (4)若過點(diǎn)A作⊙Ol的切線交⊙O2于點(diǎn)D,直線DB交⊙Ol于點(diǎn)C,直線CA 交⊙O2于點(diǎn)E,連結(jié)DE,則DE2=DBDC,則正確命題的序號是 (寫出所有正確命題的序號) . 4.如圖,半圓O的直徑AB=4,與半圓O內(nèi)切的動圓Ol與AB切于點(diǎn)M,設(shè)⊙Ol的半徑為,AM的長為,則與的函數(shù)關(guān)系是 ,自變量的取值范圍是 . 5.如圖,施工工地的水平地面上,有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起,則其最高點(diǎn)到地面的距離是( ) A.2 B. C. D. 6.如圖,已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)Ol在⊙O2上,過A作⊙Oll的切線AC交B Ol的延長線于點(diǎn)P,交⊙O2于點(diǎn)C,BP交⊙Ol于點(diǎn)D,若PD=1,PA=,則AC的長為( ) A. B. C. D. 7.如圖,⊙Ol和⊙O2外切于A,PA是內(nèi)公切線,BC是外公切線,B、C是切點(diǎn)①PB=AB;②∠PBA=∠PAB;③△PAB∽△OlAB;④PBPC=OlAO2A. 上述結(jié)論,正確結(jié)論的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.兩圓的半徑分別是和r (R>r),圓心距為d,若關(guān)于的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,則兩圓的位置關(guān)系是( ) A.一定內(nèi)切 B.一定外切 C.相交 D.內(nèi)切或外切 9.如圖,⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線交⊙Ol于點(diǎn)D,交⊙O2于點(diǎn)E,DA與⊙O2相切,切點(diǎn)為C. (1)求證:PC平分∠APD; (2)求證:PDPA=PC2+ACDC; (3)若PE=3,PA=6,求PC的長. 10.如圖,已知⊙Ol和⊙O2外切于A,BC是⊙Ol和⊙O2的公切線,切點(diǎn)為B、C,連結(jié)BA并延長交⊙Ol于D,過D點(diǎn)作CB的平行線交⊙O2于E、F,求證:(1)CD是⊙Ol的直徑;(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 11.如圖,已知A是⊙Ol、⊙O2的一個交點(diǎn),點(diǎn)M是 OlO2的中點(diǎn),過點(diǎn)A的直線BC垂直于MA,分別交⊙Ol、⊙O2于B、C. (1)求證:AB=AC; (2)若Ol A切⊙O2于點(diǎn)A,弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2,求證:dl+d2=O1O2; (3)在(2)的條件下,若dld2=1,設(shè)⊙Ol、⊙O2的半徑分別為R、r,求證:R2+r2= R2r2. 12.已知半徑分別為1和2的兩個圓外切于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到兩圓外公切線的距離為 . 13.如圖,7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r,則捆扎這7根筷子一周的繩子的長度為 . 14.如圖,⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P,⊙O2的弦AB經(jīng)過⊙Ol的圓心Ol,交⊙Ol于C、D,若AC:CD:DB=3:4:2,則⊙Ol與⊙O2的直徑之比為( ) A.2:7 B.2:5 C.2:3 D. 1:3 15.如圖,⊙Ol與⊙O2相交,P是⊙Ol上的一點(diǎn),過P點(diǎn)作兩圓的切線,則切線的條數(shù)可能是( ) A.1,2 B.1,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4 16.如圖,相等兩圓交于A、B兩點(diǎn),過B任作一直線交兩圓于M、N,過M、N各引所在圓的切線相交于C,則四邊形AMCN有下面關(guān)系成立( ) A.有內(nèi)切圓無外接圓 B有外接圓無內(nèi)切圓 C.既有內(nèi)切圓,也有外接圓 D.以上情況都不對 17.已知:如圖,⊙O與相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在⊙O上,⊙O的弦AC切⊙P于點(diǎn)A,CP及其延長線交⊙P P于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)E作EF⊥CE交CB的延長線于F. (1)求證:BC是⊙P的切線; (2)若CD=2,CB=,求EF的長; (3)若k=PE:CE,是否存在實(shí)數(shù)k,使△PBD恰好是等邊三角形?若存在,求出是的值;若不存在,請說明理由. 18.如圖,⊙A和⊙B是外離兩圓,⊙A的半徑長為2,⊙B的半徑長為1,AB=4,P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點(diǎn),PC切⊙A于點(diǎn)C,PD切⊙B于點(diǎn)D. (1)若PC=PD,求PB的長; (2)試問線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使PC2+PD2=4?,如果存在,問這樣的P點(diǎn)有幾個?并求出PB的值;如果不存在,說明理由; (3)當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動到某處,使PC⊥PD時,就有△APC∽△PBD. 請問:除上述情況外,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動到何處(說明PB的長為多少,或PC、PD具有何種關(guān)系)時,這兩個三角形仍相似;并判斷此時直線CP與OB的位置關(guān)系,證明你的結(jié)論. 19.如圖,D、E是△ABC邊BC上的兩點(diǎn),F(xiàn)是BA延長線上一點(diǎn),∠DAE=∠CAF. (1)判斷△ABD的外接圓與△AEC的外接圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (2)若△ABD的外接圓半徑是△AEC的外接圓半徑的2倍,BC=6,AB=4,求BE的長. 20.問題:要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個圓柱的兩個底面和一個圓錐的底面. 操作:方案一:在圖甲中,設(shè)計(jì)一個使圓錐底面最大,半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求,畫示意圖) . 方案二;在圖乙中,設(shè)計(jì)一個使圓柱兩個底面最大,半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求:畫示意圖); , 探究:(1)求方案一中圓錐底面的半徑; (2)求方案二中圓錐底面及圓柱底面的半徑; (3)設(shè)方案二中半圓圓心為O,圓柱兩個底面的圓心為O1、O2,圓錐底面的圓心為O3,試判斷以O(shè)1、O2、O3、O為頂點(diǎn)的四邊形是什么樣的特殊四邊形,并加以證明. 參考答案- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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