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2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時集訓(xùn):44 平行關(guān)系 Word版含解析

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1、 平行關(guān)系 建議用時:45分鐘 一、選擇題 1.若直線l不平行于平面α,且lα,則(  ) A.α內(nèi)的所有直線與l異面 B.α內(nèi)不存在與l平行的直線 C.α與直線l至少有兩個公共點 D.α內(nèi)的直線與l都相交 B [∵lα,且l與α不平行,∴l(xiāng)∩α=P,故α內(nèi)不存在與l平行的直線.故選B.] 2.如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1中,過A1B1的平面與平面ABC交于DE,則DE與AB的位置關(guān)系是(  ) A.異面     B.平行 C.相交 D.以上均有可能 B [由面面平行的性質(zhì)可得DE∥A1B1,又A1B1∥AB, 故DE∥AB.所以選B.] 3.已知m

2、,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,下列命題中正確的是(  ) A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若m∥α,m∥β,則α∥β C.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β D.若m⊥α,n⊥α,則m∥n D [選項A中,兩直線可能平行,相交或異面,故選項A錯誤;選項B中,兩平面可能平行或相交,故選項B錯誤;選項C中,兩平面可能平行或相交,故選項C錯誤;選項D中,由線面垂直的性質(zhì)定理可知結(jié)論正確.故選D.] 4.如圖,AB∥平面α∥平面β,過A,B的直線m,n分別交α,β于C,E和D,F(xiàn),若AC=2,CE=3,BF=4,則BD的長為(  ) A. B. C. D. C [

3、由AB∥α∥β,易證=, 即=, 所以BD===.] 5.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐與平面α平行的棱有(  ) A.0條 B.1條 C.2條 D.0條或2條 C [如圖,設(shè)平面α截三棱錐所得的四邊形EFGH是平行四邊形,則EF∥GH,EF平面BCD,GH平面BCD,所以EF∥平面BCD,又EF平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,則EF∥CD,EF平面EFGH,CD平面EFGH,則CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH,所以該三棱錐與平面α平行的棱有2條,故選C.] 二、填空題 6.設(shè)α,β,γ是三個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,在命題

4、“α∩β=m,nγ,且________,則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組,使該命題為真命題. ①α∥γ,nβ;②m∥γ,n∥β;③n∥β,mγ. 可以填入的條件有________. ①和③ [由面面平行的性質(zhì)定理可知,①正確;當(dāng)n∥β,mγ時,n和m在同一平面內(nèi),且沒有公共點,所以平行,③正確.] 7.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度等于________.  [在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2, ∴AC=2. 又E為AD中點,EF∥平面AB1C,EF平面A

5、DC, 平面ADC∩平面AB1C=AC, ∴EF∥AC,∴F為DC中點,∴EF=AC=.] 8.如圖所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn),G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動,則M只需滿足條件________時,就有MN∥平面B1BDD1.(注:請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可,不必考慮全部可能情況) 點M在線段FH上(或點M與點H重合) [連接HN,F(xiàn)H,F(xiàn)N,則FH∥DD1,HN∥BD, ∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH, 則MN平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.] 三、解答題 9

6、.如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3AF=3. 證明:平面ABF∥平面DCE. [證明] 法一:(應(yīng)用面面平行的判定定理證明)因為DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD, 所以DE∥AF,因為AF平面DCE,DE平面DCE,所以AF∥平面DCE, 因為四邊形ABCD是正方形,所以AB∥CD,因為AB平面DCE,所以AB∥平面DCE, 因為AB∩AF=A,AB平面ABF,AF平面ABF,所以平面ABF∥平面DCE. 法二:(利用兩個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行證明): 因為DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD, 所以DE∥A

7、F, 因為四邊形ABCD為正方形,所以AB∥CD. 又AF∩AB=A,DE∩DC=D, 所以平面ABF∥平面DCE. 法三:(利用垂直于同一條直線的兩個平面平行證明)因為DE⊥平面ABCD, 所以DE⊥AD,在正方形ABCD中,AD⊥DC, 又DE∩DC=D, 所以AD⊥平面DEC. 同理AD⊥平面ABF. 所以平面ABF∥平面DCE. 10.如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,P為平面ABC外一點,E、F分別是PA、PC的中點.記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明. [解] 直線l∥平面PAC,證明如下:

8、因為E、F分別是PA、PC的中點, 所以EF∥AC. 又EF平面ABC,且AC平面ABC, 所以EF∥平面ABC. 而EF平面BEF, 且平面BEF∩平面ABC=l, 所以EF∥l. 因為l平面PAC,EF平面PAC, 所以l∥平面PAC. 1.下列四個正方體圖形中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的中點,則能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(  ) ①    ②   ?、邸   、? A.①③      B.②③ C.①④ D.②④ C [對于圖形①,易得平面MNP與AB所在的對角面平行,所以AB∥平面MNP;對于圖形④,易得AB∥P

9、N,又AB平面MNP,PN平面MNP,所以AB∥平面MNP;圖形②③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行.故選C.] 2.(2019安徽蚌埠模擬)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,E,F(xiàn)分別為AA1,AB的中點,M點是正方形ABB1A1內(nèi)的動點,若C1M∥平面CD1EF,則M點的軌跡長度為________.  [如圖所示,取A1B1的中點H,B1B的中點G,連接GH,C1H,C1G,EG,HF,可得 四邊形EGC1D1是平行四邊形,所以C1G∥D1E.同理可得C1H∥CF. 因為C1H∩C1G=C1,所以平面C1GH∥平面CD1EF. 由M點是正方形ABB1A

10、1內(nèi)的動點可知,若C1M∥平面CD1EF, 則點M在線段GH上,所以M點的軌跡長度GH==.] 3.已知A、B、C、D四點不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,則四邊形EFHG是________四邊形. 平行 [∵AB∥α,平面ABD∩α=FH,平面ABC∩α=EG, ∴AB∥FH,AB∥EG, ∴FH∥EG,同理EF∥GH, ∴四邊形EFHG是平行四邊形.] 4.如圖所示,四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面,若截面為平行四邊形. (1)求證:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH; (2)若AB=4,CD=6,求

11、四邊形EFGH周長的取值范圍. [解] (1)證明:∵四邊形EFGH為平行四邊形, ∴EF∥HG. ∵HG平面ABD,EF平面ABD, ∴EF∥平面ABD. 又∵EF平面ABC, 平面ABD∩平面ABC=AB, ∴EF∥AB,又∵AB平面EFGH, EF平面EFGH, ∴AB∥平面EFGH. 同理可證,CD∥平面EFGH. (2)設(shè)EF=x(0<x<4), ∵EF∥AB,F(xiàn)G∥CD, ∴=, 則===1-. ∴FG=6-x. ∵四邊形EFGH為平行四邊形, ∴四邊形EFGH的周長 l=2=12-x. 又∵0<x<4, ∴8<l<12, 即四邊形E

12、FGH周長的取值范圍是(8,12). 1.如圖所示,透明塑料制成的長方體容器ABCDA1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面四個命題: ①沒有水的部分始終呈棱柱形; ②水面EFGH所在四邊形的面積為定值; ③棱A1D1始終與水面所在平面平行; ④當(dāng)容器傾斜如圖所示時,BEBF是定值. 其中正確命題的個數(shù)是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 C [由題圖,顯然①正確,②錯誤; 對于③,∵A1D1∥BC,BC∥FG, ∴A1D1∥FG且A1D1平面EFGH,F(xiàn)G平面EFGH, ∴A1D1∥平面EFGH(

13、水面). ∴③正確; 對于④,∵水是定量的(定體積V), ∴S△BEFBC=V,即BEBFBC=V. ∴BEBF=(定值),即④正確,故選C.] 2.如圖,四棱錐PABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E為PB的中點. (1)求證:CE∥平面PAD. (2)在線段AB上是否存在一點F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在,證明你的結(jié)論,若不存在,請說明理由. [解] (1)證明:取PA的中點H,連接EH,DH, 因為E為PB的中點, 所以EH∥AB,EH=AB, 又AB∥CD,CD=AB, 所以EH∥CD,EH=CD, 因此四邊形DCEH為平行四邊形, 所以CE∥DH, 又DH平面PAD,CE平面PAD, 因此CE∥平面PAD. (2)存在點F為AB的中點,使平面PAD∥平面CEF, 證明如下: 取AB的中點F,連接CF,EF, 則AF=AB, 因為CD=AB, 所以AF=CD, 又AF∥CD,所以四邊形AFCD為平行四邊形, 因此CF∥AD. 又AD平面PAD,CF平面PAD, 所以CF∥平面PAD, 由(1)可知CE∥平面PAD, 又CE∩CF=C, 故平面CEF∥平面PAD, 故存在AB的中點F滿足要求.

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