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1、有限元分析中的材料性能單位 鄒正剛 (上海航天局第八設(shè)計(jì)部) 摘要： 本文對(duì)使用有限元軟件分析工程問(wèn)題時(shí)的材料性能單位問(wèn)題作了一些探討，通過(guò)實(shí)例說(shuō)明了如何統(tǒng)一各物理量的單位，以保證分析結(jié)果的正確。 關(guān)鍵詞：有限元、材料性能、單位 大多數(shù)有限元計(jì)算程序都不規(guī)定所使用的物理量的單位，不同問(wèn)題可以使用不同的單位，只要在一個(gè)問(wèn)題中各物理量的單位統(tǒng)一就可以。但是，由于在實(shí)際工程問(wèn)題中可能用到多種不同單位的物理量，如果只是按照習(xí)慣采用常用的單位，表面上看單位是統(tǒng)一的，實(shí)際上單位卻不統(tǒng)一，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果。 比如，在結(jié)構(gòu)分析中分別用如下單位：長(zhǎng)度 – m；時(shí)間 – s；質(zhì)量

2、– kg；力 - N；壓力、應(yīng)力、彈性模量等 – Pa，此時(shí)單位是統(tǒng)一的。但是如果將壓力單位改為 MPa，保持其余單位不變，單位就是不統(tǒng)一的；或者同時(shí)將長(zhǎng)度單位改為 mm，壓力單位改為 MPa，保持其余單位不變，單位也是不統(tǒng)一的。由此可見(jiàn)，對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題，我們不能按照手工計(jì)算時(shí)的習(xí)慣來(lái)選擇各物理量的單位，而是必須遵循一定的原則。 物理量的單位與所采用的單位制有關(guān)。所有物理量可分為基本物理量和導(dǎo)出物理量，在結(jié)構(gòu)和熱計(jì)算中的基本物理量有：質(zhì)量、長(zhǎng)度、時(shí)間和溫度。導(dǎo)出物理量的種類很多，如面積、體積、速度、加速度、彈性模量、壓力、應(yīng)力、導(dǎo)熱率、比熱、熱交換系數(shù)、能量、熱量、功等等，都與基本物理量之

3、間有確定的關(guān)系。基本物理量的單位確定了所用的單位制，然后可根據(jù)相應(yīng)的公式得到各導(dǎo)出物理量的單位。具體做法是：首先確定各物理量的量綱，再根據(jù)基本物理量單位制的不同得到各物理量的具體單位。 基本物理量及其量綱： n 質(zhì)量 m; n 長(zhǎng)度 L; n 時(shí)間 t; n 溫度 T。 導(dǎo)出物理量及其量綱： u 速度：v = L / t; u 加速度： a = L / t 2; u 面積： A = L 2; u 體積： V = L 3; u 密度：ρ= m / L 3; u 力： f = m a

4、 = m L / t 2; u 力矩、能量、熱量、焓等： e = f L = m L 2 / t 2; u 壓力、應(yīng)力、彈性模量等： p = f / A = m / (t 2 L) ; u 熱流量、功率：ψ= e / t = m L 2 / t 3; u 導(dǎo)熱率： k =ψ/ (L T) = m L / (t 3 T); u 比熱： c = e / (m T) = L 2 / (t 2 T); u 熱交換系數(shù)： Cv = e / (L 2 T t) = m / (t 3 T) u 粘性系數(shù)： Kv = p t = m / (t L) ; u 熵：

5、S = e / T = m l 2 / (t 2 T); u 質(zhì)量熵、比熵： s = S / m = l 2 / (t 2 T); 在選定基本物理量的單位后，可導(dǎo)出其余物理量的單位，可以選用的單位制很多，下面舉兩個(gè)常用的例子。 1 基本物理量采用如下單位制： n 質(zhì)量 m – kg； n 長(zhǎng)度 L – mm； n 時(shí)間 – S； n 溫度 – K (溫度 K與 C 等價(jià))。 各導(dǎo)出物理量的單位可推導(dǎo)如下，同時(shí)還列出了與 kg-m-S 單位制或一些常用單位的關(guān)系： u 速度： v = L / t = mm / S = 10-3 m / S;

6、 u 加速度： a = L / t 2 = mm / S 2 = 10-3 m / S 2; u 面積：A = L 2 = mm 2 = 10-6 m 2; u 體積：V = L 3 = mm 3 = 10-9 m 3; u 密度：ρ= m / L 3 = kg / mm 3 = 10-9 kg / m 3 = 10-6 g / cm 3; u 力： f = m L / t 2 = kg mm / S 2 = 10 –3 kg m / S 2 = mN (牛); u 力矩、能量、熱量、焓等：e = m L 2 / t 2

7、 = kg mm 2 / S 2 = 10 –6 kg m 2 / S 2 = J (焦耳); u 壓力、應(yīng)力、彈性模量等：p = m / (t 2 L) = kg / (S 2 mm) = 10 3 kg / (S 2 m) = kPa (帕); u 熱流量、功率：ψ= m L 2 / t 3 = kg mm 2 / S 3 = 10 –6 kg m 2 / S 3 = w (瓦); u 導(dǎo)熱率：k = m L / (t 3 T) = kg mm / (S 3 K) = 10 –3 kg m / (S 3 K); u 比熱：c = L 2

8、/ (t 2 T) = mm 2 / (S 2 K) = 10 –6 m 2 / (S 2 K); u 熱交換系數(shù)：Cv = m / (t 3 T) = kg / (S 3 K); u 粘性系數(shù)：Kv = m / (t L) = kg / (S mm) = 10 3 kg / (S mm); u 熵：S = m L 2 / (t 2 T) = kg mm 2 / (S 2 K ) = 10 -6 kg m 2 / (S 2 K ); u 質(zhì)量熵、比熵：s= L2 / (t 2 T) = mm 2 / (S 2 K ) = 10 -6 m 2 /

9、 (S 2 K ); 2 基本物理量采用如下單位制： n 質(zhì)量 m – g； n 長(zhǎng)度 L – m (10 6 m)； n 時(shí)間 – mS (10 –3 S)； n 溫度 – K (K與 C 等價(jià))。 各導(dǎo)出物理量的單位可推導(dǎo)如下，同時(shí)還列出了與 kg-m-S 單位制或一些常用單位的關(guān)系： u 速度：v = L / t = m / mS = 10-3 m / S; u 加速度：a = L / t 2 = m / mS 2 = m / S 2; u 面積：A = L 2 = m 2 = 10-12 m 2;

10、 u 體積：V = L 3 = m 3 = 10-18 m 3; u 密度：ρ= m / L 3 = g / m 3 = 10-21 kg / m 3 = 10-12 g / cm 3; u 力： f = m L / t 2 = g m / mS 2 = 10 –3 kg m / S 2 = mN (牛); u 力矩、能量、熱量、焓等：e = m L 2 / t 2 = g m 2 / mS 2 = 10 –9 kg m 2 / S 2 = 10 –9 J (焦耳); u 壓力、應(yīng)力、彈性模量等： p = m / (t 2 L) = g / (mS 2 m

11、) = 10 9 kg / (S 2 m) = 10 9 Pa (帕) = GPa; u 熱流量、功率：ψ= m L 2 / t 3 = g m 2 / mS 3 = 10 –6 kg m 2 / S 3 = 10 –6 w (瓦); u 導(dǎo)熱率：k = m L / (t 3 T) = g m / (mS 3 K) = kg m / (S 3 K); u 比熱：c = L 2 / (t 2 T) = m 2 / (mS 2 K) = 10 –6 m 2 / (S 2 K); u 熱交換系數(shù)： Cv = m / (t 3 T) = g / (mS 3

12、 K) = 10 3 kg / (S 3 K); u 粘性系數(shù)： Kv = m / (t L) = g / (mS m) = 10 6 kg / (S mm); u 熵： S = m L 2 / (t 2 T) = g m 2 / (mS 2 K ) = 10 -9 kg m 2 / (S 2 K ); u 質(zhì)量熵、比熵： s = L2 / (t 2 T) = m 2 / (mS 2 K ) = 10 -6 m 2 / (S 2 K ); 由此可見(jiàn)，掌握了單位之間變換的方法，就可以根據(jù)自己的需要來(lái)選擇合適的單位制。更多的例子見(jiàn)表1。表2給出了幾種單

13、位制與 kg-m-S 單位制之間的換算因子 1 不同單位制的物理量單位 序號(hào) 參數(shù)名 單位量綱 Kg-m-s 單 位 制 Kg-mm-s 單 位 制 T-mm-s 單 位 制 g-mm-s 單 位 制 1 長(zhǎng)度L L m Mm (10 -3 m) Mm (10 -3 m) Mm (10 -3 m) 2 質(zhì)量M M Kg Kg T (10 3 Kg) g (10 -3 Kg) 3 時(shí)間t t s s s s 4 溫度T T K K K K 5 面積A

14、 L 2 m 2 mm 2 (10 -6 m 2) mm 2 (10 -6 m 2) mm 2 (10 -6 m 2) 6 體積V L 3 m 3 mm 3 (10 -9 m 3) mm 3 (10 -9 m 3) mm 3 (10 -9 m 3) 7 力F M L / t 2 N (牛) =Kg m / s 2 Kg mm / s 2 (10 -3 N) T mm / s 2 (N) g mm / s 2 (10 -6 N) 8 密度r M / L 3 Kg / m 3 (10 -3 g / cm 3) Kg /

15、mm 3 (10 6 g / cm 3) T / mm 3 (10 9 g / cm 3) g / mm 3 (10 3 g / cm 3) 9 能量、焓、 熱量 M L 2 / t 2 J (焦耳) = N m = Kg m 2 / S 2 Kg mm 2 / S 2 (10 -6 J) T mm 2 / S 2 (10 -3 J) g mm 2 / S 2 (10 -9 J) 10 功率、熱流量 m L 2 / t 3 w (瓦) = J / S = kg m 2 / S 3 kg mm 2 / S 3 (10 –6 w)

16、 T mm 2 / S 3 (10 –3 w) g mm 2 / S 3 (10 –9 w) 11 壓力、應(yīng)力、模量 M / (t 2 L) Pa = N / m 2 = Kg / (s 2 m) Kg / (s 2 mm) (kPa) T / (s 2 mm) (MPa) g / (s 2 mm) (Pa) 12 導(dǎo)熱率k M L / (t 3 K) J / (m s K) = (Kg m / (s 3 K)) Kg mm / (s 3 K) (10 -3 Kg m / (s 3 K)) T mm /

17、 (s 3 K) (Kg m / (s 3 K)) g mm / (s 3 K) (10 -6 Kg m / (s 3 K)) 13 比熱c L 2 / (t 2 K) J / (Kg K) = (m 2 / (s 2 K)) mm 2 / (s 2 K ) (10 -6 m 2 / (s 2 K ) ) mm 2 / (s 2 K ) (10 -6 m 2 / (s 2 K ) ) mm 2 / (s 2 K ) (10 -6 m 2 / (s 2 K ) ) 14 體熱源h M / (t 2 L) J / m

18、3 = (Kg / (s 2 m)) Kg / (s 2 mm) (10 3 Kg / (s 2 m) ) T / (s 2 mm) (10 6 Kg / (s 2 m) ) g / (s 2 mm) (1.0 Kg / (s 2 m) ) 15 換熱系數(shù) Cv M / (t 3 K) J / (m 2 s K) = (Kg / (s 3 K)) Kg / (s 3 K) (Kg / (s 3 K)) T / (s 3 K) (10 3 Kg / (s 3 K)) g / (s 3 K) (10 -3 Kg / (s 3

19、K)) 16 粘性系數(shù) Kv M / (L t) Kg / (m s) Kg/(mm s) (10 3 Kg /(m s) ) T / (mm s) (10 6 g / (m s) ) g / (mm s) (1.0 g / (m s) ) 17 熵S M L 2 / (t 2 K) J / K = (Kg m 2 / S 2 K) Kg mm 2 / S 2 K (10 -6 Kg m 2 / S 2 K) T mm 2 / S 2 K (10 -3 Kg m 2 / S 2 K) g mm 2/S

20、 2 K (10 -9 Kg m 2 / S 2 K) 18 比熵s 質(zhì)量熵 L 2 / (t 2 K) J / (Kg K ) = (m 2 / S 2 K) mm 2 / S 2 K (10 -6 m 2 / S 2 K) mm 2 / S 2 K (10 -6 m 2 / S 2 K) mm 2 / S 2 K (10 -6 m 2 / S 2 K) 表2 不同單位制的物理量與Kg-m-s單位制的換算因子[注] 序號(hào) 參數(shù)名 公制單位 (Kg-m-s單位) 其它單位轉(zhuǎn)換到Kg-m-s 單位制 kg-m-s單位轉(zhuǎn)換到K

21、g-mm-s單位制 kg-m-s單位轉(zhuǎn)換到T-mm-s單位制 kg-m-s單位轉(zhuǎn)換到g-mm-s單位制 1 長(zhǎng)度 L m Kg-mm-s數(shù)值 10 -3 Kg-m-s數(shù)值 10 3 Kg-m-s數(shù)值 10 3 Kg-m-s數(shù)值 10 3 2 質(zhì)量 M Kg g-cm-s數(shù)值 10 3 Kg-m-s數(shù)值 1.0 Kg-m-s數(shù)值 10 -3 Kg-m-s數(shù)值 10 3 3 時(shí)間 t s Kg-mm-s數(shù)值 1.0 Kg-m-s數(shù)值 1.0 Kg-m-s數(shù)值 1.0 Kg-m-s數(shù)值 1.0 4

22、 溫度 T K Kg-mm-s數(shù)值 1.0 Kg-m-s數(shù)值 1.0 Kg-m-s數(shù)值 1.0 Kg-m-s數(shù)值 1.0 5 面積 L 2 m 2 Kg-mm-s數(shù)值 10 -6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 6 體積 L 3 m 3 Kg-mm-s數(shù)值 10 -9 Kg-m-s數(shù)值 10 9 Kg-m-s數(shù)值 10 9 Kg-m-s數(shù)值 10 9 7 力 M L / t 2 N=Kg m / s 2 Kg-mm-s數(shù)值 10 -3

23、 Kg-m-s數(shù)值 10 3 Kg-m-s數(shù)值 1.0 Kg-m-s數(shù)值 10 6 8 密度 M / L 3 Kg / m 3 g-cm-s數(shù)值 10 3 g-cm-s數(shù)值 10 -6 g-cm-s數(shù)值 10 -9 g-cm-s數(shù)值 10 -3 9 能量、焓 熱流 M L 2 / t 2 J=Kg m 2 / s 2 Kg-mm-s數(shù)值 10 -6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 Kg-m-s數(shù)值 10 3 Kg-m-s數(shù)值 10 9 10 功率、熱流量 m L 2 / t 3 w = kg m 2

24、 /S 3 Kg-mm-s數(shù)值 10 -6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 Kg-m-s數(shù)值 10 3 Kg-m-s數(shù)值 10 9 11 壓力、應(yīng)力、模量 M / (t 2 L) Pa=Kg/(s 2 m) Kg-mm-s數(shù)值 10 6 Kg-m-s數(shù)值 10 -3 Kg-m-s數(shù)值 10 -6 Kg-m-s數(shù)值 1.0 12 導(dǎo)熱率 M L / (t 3 K) Kg m/ (s 3 K) Kg-m-s數(shù)值 10 -3 Kg-m-s數(shù)值 10 3 Kg-m-s數(shù)值 1.0 Kg-m-s數(shù)值 1

25、0 6 13 比熱 L 2 / (t 2 K) m 2 / (s 2 K) Kg-mm-s數(shù)值 10 -6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 14 體熱源 M / (t 2 L) Kg / (s 2 m) Kg-mm-s數(shù)值 10 3 Kg-m-s數(shù)值 10 -3 Kg-m-s數(shù)值 10 -6 Kg-m-s數(shù)值 1.0 15 換熱 系數(shù) M / (t 3 K) Kg / (s 2 K) Kg-mm-s數(shù)值 1.0 Kg-m-s數(shù)值 1.0 Kg

26、-m-s數(shù)值 10 -3 Kg-m-s數(shù)值 10 3 16 粘性 系數(shù) M / (L t) Kg / (m s) Kg-mm-s數(shù)值 10 3 Kg-m-s數(shù)值 10 -3 Kg-m-s數(shù)值 10 -6 Kg-m-s數(shù)值 1.0 17 熵 M L 2 / (K t 2) Kgm2 / (K s 2) Kg-mm-s數(shù)值 10 -6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 Kg-m-s數(shù)值 10 3 Kg-m-s數(shù)值 10 9 18 比熵、 質(zhì)量熵 L 2 / (t 2 T) m2 / (s2 K) Kg-mm-s數(shù)值 10 -6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 Kg-m-s數(shù)值 10 6 注：后三列中給出的是將kg-m-S 單位制中的數(shù)值轉(zhuǎn)換到其它單位制時(shí) (在準(zhǔn)備輸入數(shù)據(jù)時(shí)) 所乘的因子；如果需要將其它單位制中的數(shù)值轉(zhuǎn)換到kg-m-S 單位制 (在分析計(jì)算結(jié)果時(shí))，則應(yīng)該除以該因子。