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魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)的多目標(biāo)遺傳算法 摘要： 現(xiàn)實(shí) 世界中的多目標(biāo)工程 的優(yōu)化 設(shè)計(jì)問(wèn)題往往 存在著不可控制的 參數(shù)變化。解決這些問(wèn)題的目的是為了獲得 良好的 解決方案 ,并就目的和可行性而言，這些解決方案應(yīng)該盡量的好，與此同時(shí)對(duì)于參數(shù)的變化 是 不敏感 的 。這樣的解決方法可以被稱為 魯棒最優(yōu)解決方案 。為了調(diào)查研究最優(yōu)方案的性能和 魯棒性 之間的權(quán)衡關(guān)系，我們提出了一個(gè)新的健全的多目標(biāo)的遺傳算法來(lái)優(yōu)化兩個(gè)目標(biāo)：一個(gè)是適應(yīng) 度 值，另外一個(gè)是 魯棒性 指數(shù)， 在多目標(biāo)和原始優(yōu)化問(wèn)題 的 可行性方面 ，適應(yīng)度值是 一種評(píng)定設(shè)計(jì)的解決方案性能的 數(shù)值 ，而 魯棒性 指數(shù)，基 于非梯度為基礎(chǔ)的參數(shù)靈敏度估計(jì)的方法，是一種在數(shù)量上評(píng)估設(shè)計(jì)方案 魯棒 性的措施。這種多目標(biāo)的遺傳算法并不需要一個(gè)假設(shè)的無(wú)法控制的參數(shù)概率分布，也不利用這些參數(shù)的梯度信息，三個(gè)距離度量可用于獲得系統(tǒng)的 魯棒性 指標(biāo)和有效的解決辦法。為了能夠更好的說(shuō)明它的應(yīng)用， 多目標(biāo)遺傳算法可以應(yīng)用于來(lái)自 文獻(xiàn) 中的兩個(gè)研究深入的工程設(shè)計(jì)的問(wèn)題。 類別和學(xué)科的描述 ： 化非線性程序 關(guān)鍵詞：多目標(biāo)遺傳算法， 魯棒性 設(shè)計(jì)優(yōu)化， 魯棒性 和性能的權(quán)衡 一 在現(xiàn)實(shí)世界中，有許多的工程優(yōu)化的問(wèn)題，由于其他不確定性，使得這些問(wèn)題的參數(shù) 有著無(wú)法控制的變化，這些變化可以顯著的降低這優(yōu)化的方案的性能，甚至還能改變所獲得方案的可行性，這些變化的意義 在工程設(shè)計(jì)問(wèn)題上尤為 重要 ，這往往在有界可行域或者在最優(yōu)解的邊界所處的可行的領(lǐng)域范圍內(nèi)。在文獻(xiàn)中已經(jīng)有很多的方法和方案來(lái)獲得穩(wěn)健的設(shè)計(jì)解決方法，這就是說(shuō)， 這些 可行的設(shè)計(jì)方案 在他們的目標(biāo)中很 適應(yīng) ，并且這些方案的客觀的表現(xiàn)或者可行性（或者兩者）對(duì)于參數(shù)的變化不敏感，一般而言，這些方法可以被分為兩類：隨機(jī)的方法和確定性的方法，隨機(jī)的方法使用變量參數(shù)的概率信息，例如，他們的期望值和方差 ,以最大限度降低解決方案的 靈敏度。 (如帕金森疾病學(xué)組 ，可 進(jìn)行可行性魯棒性 優(yōu)化 —— 也稱為可靠性優(yōu)化。 同時(shí)，金和森得霍夫提出 了 一個(gè)進(jìn)化性的 的方案來(lái)處理在使用偏差信息時(shí)的性能和 魯棒性 的權(quán)衡問(wèn)題。 隨機(jī)方法的主要缺點(diǎn)是對(duì)于無(wú)法控制的參數(shù)的概率分布是已知的或者是假設(shè)的，但是在現(xiàn)實(shí)的工程設(shè)計(jì)的問(wèn)題中，事先獲得這樣的信息是很困難（甚至是不可能的事情）。 另一方面，確定性方法使用參數(shù)的梯度信息獲得了 魯棒性 的最佳的設(shè)計(jì)方案， 方法的目的在于獲得最佳的解決方案來(lái)滿足額外的 魯棒性 規(guī)定的約束，這往往由決策者規(guī)定 的 。 在這論文中，我們 提出了一個(gè)新的確定性的方法來(lái)調(diào)查研究最佳解決方法的性能和 魯棒性 的權(quán)衡關(guān)系，是基于多目標(biāo)的遺傳算法。我們追求的目標(biāo)是同時(shí)優(yōu)化： 1）最佳解決方法的 性能的 度量，比如，適應(yīng)度的價(jià)值，這解釋了原來(lái)的優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束的價(jià)值。 2） 最佳解決方法的 魯棒性 的度量， 魯棒性 指數(shù)，最初是由 出來(lái)的， 它的推廣使用是通過(guò)使用 兩種額外的距離規(guī)范 。這種確定性的方法是用非梯度基礎(chǔ)來(lái)對(duì)參數(shù)敏感度進(jìn)行估計(jì)， 對(duì)于參數(shù)， 這可以應(yīng)用于 無(wú)法分辨的 目標(biāo)函數(shù)或者約束函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題 ，任何的多目標(biāo)遺傳算法都可以在文獻(xiàn)中應(yīng)用到這 種方法。 在 者試圖獲得對(duì)參數(shù)變化不敏感最佳解決方案 ,換言之， 魯棒性 的要求在他們的方法中被認(rèn)為是一種約束，相反，我們把 魯棒性 視為我們的目標(biāo)之一，并且形成了一個(gè)新的雙目標(biāo)的 魯棒性 優(yōu)化問(wèn)題（這個(gè)問(wèn)題不管這個(gè)原始的問(wèn)題有多少目的），來(lái)調(diào)查研究解決方案的 魯棒性 和性能的關(guān)系，這個(gè)穩(wěn)健的多目標(biāo)遺傳算法旨在同時(shí)最大化的提高性能和 魯棒性 ，本論文的其他的組織文本如下：在第二部分，我們將展示最初的優(yōu)化問(wèn)題并且解釋一些定義和專業(yè)術(shù)語(yǔ)，基于 對(duì)于目標(biāo)和可行性的描述，我們將在第三節(jié)展示出我們的新方法 ，在第四節(jié)我們將展示解決兩個(gè)測(cè)試問(wèn)題的應(yīng)用，隨后將討論其結(jié)果，本文將以對(duì)于第五節(jié)的總結(jié)來(lái)結(jié)束。 二 在這部分中，我們將正式的定義問(wèn)題并且在這篇論文中解釋一些文中有使用的定義和專有名詞。 多目標(biāo)問(wèn)題的一般的公式如下所示： 的下標(biāo)表示 變形的行向量 ） ， ?注意的是，本身具有無(wú)法控制的設(shè)計(jì)變量可以包括在 x 和 ?p 中，大寫(xiě)和小寫(xiě)的 個(gè)問(wèn)題有 們認(rèn)為所有的約束可以代表不平等 的函數(shù)，在這論文中，我們把 1中所示的優(yōu)化問(wèn)題叫做原始問(wèn)題。 在 常這個(gè)原始的問(wèn)題有更多的最優(yōu)解決方案， 這些最優(yōu)的解決方案組成起來(lái)叫做 ?，在 都有討論到。 在下面，我們將簡(jiǎn)單的描述在論文中所遇到的專業(yè)詞匯。 標(biāo)稱參數(shù)數(shù)值 是參數(shù)向量值， ?中的問(wèn)題，參數(shù)變量記作 ?p。 標(biāo)稱 的 ?p=?1中涉及到的優(yōu)化問(wèn)題的 ? 讓 棒性 中想要分析的設(shè)計(jì)解決方案， f=fm=數(shù)的 標(biāo)稱 數(shù)值，并且 g=gl=稱 數(shù)值。 容忍 區(qū)域是 在 ?通過(guò)一組 ?是關(guān)于決策者所想要的魯棒最優(yōu)方案不要太敏感的程度 ， 并且 有一系列 ?p 的數(shù)值來(lái)形成 ?個(gè)區(qū)域通常被 ?個(gè)關(guān)系式中，分別是 ?p 的最大上限和最小下限，簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)，這個(gè) 容忍 區(qū)域是被認(rèn)為是對(duì)稱的，因?yàn)檫@可以有多于一個(gè)的無(wú)法控制的參數(shù)，并且這些參數(shù)有著不同的區(qū)間值，我們通常校正我們的公差區(qū)域來(lái)形成一個(gè)超正方形。 參數(shù)變化空間：一個(gè) 這個(gè)空間的 軸是參數(shù)的變化 ? 可以接受的性能變化區(qū)域 ?代表著最大的可接受的性能變化，并被 選擇，看圖表一的具體表示。 合適 度數(shù)值 一種結(jié)合目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的程度上，度量解決方法性能的數(shù)值，這個(gè) 合適 度數(shù)值從多目標(biāo)遺傳算法中獲得，比如 以在我們的方法中作為 適應(yīng) 度數(shù)值老用。 魯棒性 數(shù)值是計(jì)算關(guān)于 ?p 在半徑的外部超球狀的規(guī)范的公差區(qū)域的一個(gè)在最差敏感區(qū)域的半徑，在我們的方法中，這被用來(lái)作為我們 魯棒性 的測(cè)量方法，我們將在第三部分進(jìn)一步的討論它。 三 多目標(biāo)遺傳算法 首先我們討論了多目標(biāo)的優(yōu)化的方法，隨后我們討論了關(guān)于優(yōu)化的可行性方面和兩者相結(jié)合的方法。 考慮到可接受的性能變化區(qū)域（ A?解決方法 有一套的在目標(biāo)函數(shù)中的諸如 ?p 的變化量，因?yàn)??p 仍然在 f 的范圍之內(nèi)，一套的 ?p 在 ?p 的空間內(nèi)形成了一個(gè)超區(qū)域，叫做敏感性區(qū)域（ 這個(gè)區(qū)域的范圍如下可見(jiàn)： 圖表一所示的是 于解決方法 上可見(jiàn)，這 部的點(diǎn)和在邊界上的點(diǎn)分別的對(duì)應(yīng)著 部的， 和邊界上的點(diǎn)。 實(shí)質(zhì)上， 前 的 解決方案 們可以使用 個(gè)設(shè)計(jì)的 魯棒性 越好，但是在一般情況下， 對(duì)稱的，這就是意味著 設(shè)計(jì)在 ?正如在圖一的 但是在其他的方向（比如圖一的 相對(duì)不敏感的，為了克服不對(duì)稱的問(wèn)題，一個(gè)不太好敏感性的區(qū)域可以被用來(lái)估計(jì) 敏感度不太好的區(qū)域是對(duì)稱的超球形的接近 圖上，這個(gè)區(qū)域是可以最近的接觸原始 如在圖標(biāo) 2所示，是一個(gè) 雙參數(shù)的例子。 因?yàn)?么它的半徑 R 而不是它的大小可以被用來(lái)作為衡量其 魯棒性 的措施，它用來(lái)衡量設(shè)計(jì)的整體的 魯棒性 ，這個(gè)區(qū)域的半徑可以通過(guò)解決單目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題來(lái)計(jì)算，如下面所示： 在這個(gè)問(wèn)題上，設(shè)計(jì)的變量是 ?p，目標(biāo)函數(shù)是這個(gè)區(qū)域的半徑， 同等的約束函數(shù)是 相應(yīng)所 產(chǎn)生的矢量 ?f，它處在可接受性能變量的區(qū)域的邊界上，這個(gè)區(qū)域評(píng)估方法的具體的討論已經(jīng)在其他地方給出了。 一個(gè)類似的方法可以用在可行性的 魯棒性 優(yōu)化上，對(duì)于設(shè)計(jì) 說(shuō)，所有的 ?成了可行性敏感區(qū)域，這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的約束函數(shù)值是 g。這就意味著這個(gè)可行性敏感區(qū)域內(nèi)的 ?變 設(shè)計(jì)可行性。 可行性的 因?yàn)? 相同的 ?最差情況下的估計(jì)的半徑，正如表2所示的 半徑 見(jiàn)下面： 比如，在圖 2 所示的例子中， 棒性 指數(shù) 半徑 棒性 ，但是不表示一個(gè)于設(shè)計(jì)解決方法有關(guān)的物理結(jié)構(gòu)， 對(duì)于 行性能和 魯棒性 的權(quán)衡分析師很困難的，比如，如果 R，那么一個(gè)人不會(huì)決定是否一個(gè)設(shè)計(jì)方案是穩(wěn)健還是不穩(wěn)健，為了解決這個(gè)困難，我們使用規(guī)范的公差區(qū)域的外部的球星空間的半徑， R，正如參照 魯棒性 要求。我們定義 魯棒性 指數(shù)為 η =R/并且使用這個(gè) 魯棒性 指數(shù)最為在我們多目標(biāo)遺傳算法中的兩個(gè)目標(biāo)中的一個(gè)， 中計(jì)算的優(yōu)化方法，因?yàn)?果 η =R/1，那么這個(gè)設(shè)計(jì)的 。 的值 記得我們?cè)诒酒撐牡哪繕?biāo)是最大限度地提高設(shè)計(jì)的性能和魯棒性。系統(tǒng)的魯棒性指數(shù)作為一種魯棒性設(shè)計(jì)解決方案的一種措施。因此我們還需要對(duì)于設(shè)計(jì)解決方案的整體性能有另一個(gè)措施。 在多目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題中，多目標(biāo)遺傳算法 是獲得 多數(shù)的多目標(biāo)遺傳算法把一個(gè)適應(yīng)度的值或者等級(jí)分配給在整體中的每一個(gè)可供選擇的解決方法，以表示一種相對(duì)好的東西，解釋了目標(biāo) 值 和約束函數(shù)，所以適應(yīng)度值可以從多目標(biāo)遺傳算法中獲得，比如來(lái)自 的等級(jí)數(shù)值，可以在我們的方法中被用來(lái) 作為性能的衡量措施，適應(yīng)度的值越小，解決方法的性能越好，更多關(guān)于如何獲得適應(yīng)度的數(shù)值的細(xì)節(jié)問(wèn)題可以參見(jiàn) 23. 注意到不同的多目標(biāo)遺傳算法的方法可以產(chǎn)生不同的解決方案，但是，這兒我們的目標(biāo)并不是闡述一個(gè)新的遺傳算法或者區(qū)分多目標(biāo)遺傳算法中的不同之處。 考慮到對(duì)于一個(gè)設(shè)計(jì)解決方案性能和魯棒性的兩個(gè)措施，正如我們之前所討論的，我們可以闡述我們的問(wèn)題，它有兩個(gè)目標(biāo)，一個(gè)是性能，一個(gè)是設(shè)計(jì)解決方法的魯棒性，對(duì)于穩(wěn)健的多目標(biāo)的優(yōu)化的問(wèn)題的公式如下所示： 這里的適應(yīng)度數(shù)值 數(shù)的一個(gè)函數(shù)，這可以在 1中被計(jì)算出來(lái)的，魯棒性η可以從 5中計(jì)算出來(lái)。 在圖 4中，一個(gè)優(yōu)化的方案，和一個(gè)內(nèi)外的結(jié)構(gòu)，可以被用來(lái)解決 6中的問(wèn)題，外部的子問(wèn)題可以同時(shí)的把適應(yīng)性的數(shù)值 可以把魯棒性指數(shù)變到最大，我們使用內(nèi)部的子問(wèn)題來(lái)計(jì)算關(guān)于 ?的值。 我們以叫做 x 的數(shù)值開(kāi)始，在外部的子問(wèn)題上，并且把它送到內(nèi)部的子問(wèn)題中，這個(gè) 標(biāo)稱數(shù)值 在內(nèi)部的子問(wèn)題中 是確定的 ，然后我們優(yōu)化半徑 個(gè)最優(yōu)的數(shù)值 上面的思想中 ， 對(duì)于所有的設(shè)計(jì)變量這將反復(fù)的進(jìn)行 。 我們現(xiàn)在討論了應(yīng)用在魯棒的多目標(biāo)遺傳算法中的適應(yīng)性分配的步驟，簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)，多目標(biāo)遺傳算法的細(xì)節(jié)并沒(méi)有在這里討論，而關(guān)注的重點(diǎn)卻在魯棒的 多目標(biāo)遺傳算法上了，遺傳算法要求對(duì)于所有的候選的解決方法有一個(gè)梯度的適應(yīng)性的數(shù)值，在適應(yīng)性分配步驟上主要的步驟如下： 步驟一，評(píng)估原始 步驟二，計(jì)算每一個(gè)候選問(wèn)題的魯棒性指數(shù) η 。 步驟三， 基于原問(wèn)題的目標(biāo)之進(jìn)行非占優(yōu)排序 ，考慮到 它的 等級(jí)和約束的 違反程度 把適應(yīng)性 f 分配給候選的解決方法。 步驟四， 基于魯棒性指數(shù) η 和適應(yīng)性數(shù)值 f 作為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行 非占優(yōu)排序 選擇，在本質(zhì)上，這就是雙目標(biāo)的 非占優(yōu)排序 的分類。 步驟五，基于來(lái)自步驟四的非受控性等級(jí)，分配一個(gè)適應(yīng)性數(shù)值，并且繼續(xù)的強(qiáng)調(diào)遺傳 算法直到達(dá)成一致。 在 5中，我們可以使用三個(gè)不同的 ,2或者無(wú)窮大，不同的 會(huì)影響在設(shè)計(jì)解決方案中的魯棒性指數(shù)的數(shù)值，正如在 5中所示的那樣， A,B,1棒性的措施可以在某一個(gè)特定的距離標(biāo)準(zhǔn)中表示清楚。 在這部分，我們將要闡述對(duì)于兩個(gè)測(cè)試問(wèn)題在我們提出的解決方案中的應(yīng)用。 我們使用來(lái)描述 自工程設(shè)計(jì)優(yōu)化文獻(xiàn)中。 這個(gè)問(wèn)題在于設(shè)計(jì)一個(gè)雙條的構(gòu)架，可以用來(lái)在節(jié)點(diǎn) 個(gè)構(gòu)架在圖中所示由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)所組成，這個(gè)目標(biāo)函數(shù)就是最小的降低兩個(gè)連接的體積，并且最小的降低他們當(dāng)中的應(yīng)力，這個(gè)變量時(shí)跨區(qū)域的鏈接，這個(gè)約束函數(shù)是，最大的應(yīng)力是 100000kn/于 y 來(lái)說(shuō)的范圍是 個(gè)問(wèn)題的公式就是下面所示的： 在設(shè)計(jì)的變化量中的已知的變量以這樣的形式來(lái)設(shè)定， ?且 ?y=可接受的性能變化量 ? 圖 7所示的是 以看出適應(yīng)度值的所有解決方案都有最好的解適應(yīng)度值，比如它有一個(gè)魯棒指數(shù)η大于 1的數(shù)，在另一方面我們可以看到一個(gè)有較小適應(yīng)度數(shù)值的解決方案，決策者有可能不會(huì)選著來(lái)自 優(yōu)解決方案，因?yàn)檫@些解決方案可能是更加的有魯棒性而不是必要性。 圖 8通過(guò)比較 6中所示的和對(duì)于目標(biāo)函數(shù)來(lái)說(shuō)的定位的多目標(biāo)遺傳算法獲得的 優(yōu)解決方案，并且這些解決方案可以通過(guò)傳統(tǒng)的遺傳算法獲得，但是這些遺傳算法并不考慮魯棒 性，我們觀察到通過(guò) 得的 優(yōu)解決方案與最初的相差甚遠(yuǎn)，正如預(yù)料的那樣，這倒是我們得出結(jié)論，通過(guò)多目標(biāo)遺傳算法得來(lái)的名義 圖 9比較了魯棒性指數(shù)和使用不同的距離矩陣獲得的 如 9所示的，在關(guān)于魯棒性指數(shù)的解決方案中存在著一些的重復(fù)。 圖 10 比較了名義的 優(yōu)解決方案和通過(guò)使用 準(zhǔn)距離矩陣的多數(shù)的魯棒性設(shè)計(jì)和最初的解決方案差之甚遠(yuǎn)，這些原始的解決方案屬于名義的 的前面并 不是最有魯棒性的，最后注意到，并沒(méi)有魯棒性的解決方案可以獲得的。 從對(duì)于這個(gè)例子的模擬結(jié)果來(lái)看，我們可以得出結(jié)論的是計(jì)算出來(lái)的魯棒性指數(shù)在很多程度上取決于所用的距離矩陣，這也在說(shuō)明，使用 得的設(shè)計(jì)解決方案的魯棒性在很大程度上取決于所用來(lái)計(jì)算魯棒性指數(shù)的距離矩陣的種類。 本篇論文展示了確定性的魯棒性多目標(biāo)遺傳算法，這多目標(biāo)的遺傳算法提供了一套的解決方案，這些方案對(duì)于性能和魯棒性來(lái)說(shuō)是 優(yōu)解，適應(yīng)度數(shù)值解釋了原始問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的問(wèn)題，這魯棒性指數(shù)也解釋了在目標(biāo)函數(shù)和約束 函數(shù)中的變量，這展示了在性能和設(shè)計(jì)解決方案中的折中，多目標(biāo)遺傳 算法使用了一個(gè)內(nèi)外的優(yōu)化結(jié)構(gòu)來(lái)解決了整個(gè)問(wèn)題，并且內(nèi)外的優(yōu)化的子問(wèn)題可以使用雙重的遺傳算法來(lái)得以解決， 任何多目標(biāo)遺傳算法可以使用我們這個(gè)方法，這個(gè)方法并不要求一個(gè)假象的無(wú)法控制的參數(shù)的概率分布，也不需要使用這些參數(shù)的梯度信息，這三個(gè)不同的歐幾里得的距離矩陣在連接多目標(biāo)遺傳算法中可以被使用來(lái)計(jì)算魯棒性指數(shù)。 這個(gè)方法應(yīng)用到兩個(gè)工程測(cè)試 的 問(wèn)題上，魯棒性的多目標(biāo)遺傳算法的結(jié)果與名義的 決方法進(jìn)行了比較，通過(guò)多目標(biāo)遺傳算法的魯棒性設(shè)計(jì)解決方案在很大程度上在性能上比 標(biāo)稱的 案要差點(diǎn)，但是同時(shí)，它們兩個(gè)對(duì)于在設(shè)計(jì)參數(shù)的變化方面是不敏感的，在兩個(gè)測(cè)試問(wèn)題中，可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性能，最好的設(shè)計(jì)解決方案并不是最具有魯棒性的，魯棒性的多目標(biāo)遺傳算法可以用來(lái)弱化設(shè)計(jì)方案和魯棒性性能的權(quán)衡的問(wèn)題，因此可以在選擇具有魯棒性的最好的解決方案中幫助 于模擬的結(jié)果，我們可以得出結(jié)論，設(shè)計(jì)的魯棒性在很大程度上取決于所用來(lái)計(jì)算魯棒性指數(shù)的距離矩陣的類別。 這篇論文所展示的內(nèi)容一部分上得到了 印第安頭領(lǐng)師 的幫助，美國(guó)海軍研究辦公室 給與了這個(gè)組織資金上的幫助，這個(gè)工作部分上也得到了美國(guó)科學(xué)基金會(huì)的幫助和支持， 在本文所表達(dá)的關(guān)于基金會(huì)方面，他們的 支持并不能完全的 體現(xiàn)來(lái)自他們的幫助和支持。