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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二十九講 由正難則反切入 人們習慣的思維方式是正向思維，即從條件手，進行正面的推導和論證，使問題得到解決．但有些數(shù)學問題，若直接從正面求解，則思維較易受阻，而“正難則反，順難則逆，直難則曲”是突破思維障礙的重要策略． 數(shù)學中存在著大量的正難則反的切入點．數(shù)學中的定義、公式、法則和等價關系都是雙向的，具有可逆性；對數(shù)學方法而言，特殊與一般、具體與抽象、分析與綜合、歸納與演繹，其思考方向也是可逆的；作為解題策略，當正向思考困難時可逆向思考，直接證明受阻時可間接證明，探索可能性失敗時轉向考察不可能性．由正難則反切入的具體途徑有： 1． 定義、公式、法則的逆用； 2．常量與變量的換位； 3．反客為主； 4．反證法等． 【例題求解】 【例1】 已知滿足，那么的值為 ． 思路點撥 視為整體，避免解高次方程求的值． 【例2】 已知實數(shù)、、滿足，且求的值． 思路點撥 顯然求、、的值或尋求、、的關系是困難的，令，則xx=，原等式就可變形為關于的一元二次方程，運用根與系數(shù)關系求解． 注：（1）人們總習慣于用凝固的眼光看待常量與變量，認為它們涇渭分明，更換不得，實際上將常量設為變量，或將變量暫時看作常量，都會給人以有益的啟示． （2）人的思維活動既有“求同”和“定勢”的方面，又有“求異”和“變通”的方面．求同與求異，定勢與變通是人的思維個性的兩極，充分利用知識和方法的雙向性，是培養(yǎng)思維能力的重要途徑． 正難則反在具體的解題中，還表現(xiàn)為下列各種形式： (1)不通分母通分子； (2)不求局部求整體； (3)不先開方先平方； (4)不用直接挖隱含； (5)不算相等算不等； (6)不求動態(tài)求靜態(tài)等． 【例3】 設、、為非零實數(shù)，且，，，試問：、、滿足什么條件時，三個二次方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根． 思路點撥 如從正面考慮，條件“三個方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根”所涉及的情況比較復雜，但從其反面考慮情況卻十分簡單，只有一種可能，即三個方程都沒有實數(shù)根，然后從全體實數(shù)中排除三個方程都無實數(shù)根的、、的取值即可． 注：受思維定勢的消極影響，人們在解決有幾個變量的問題時，總抓住主元不放，使有些問題的解決較為復雜，此時若變換主元，反客為主，問題常常能獲得簡解． 【例4】 已知一平面內的任意四點，其中任何三點都不在一條直線上，試問：是否一定能從這樣的四點中選出三點構成一個三角形，使得這個三角形至少有一內角不大于45?請證明你的結論． 思路點撥 結論是以疑問形式出現(xiàn)的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，則說明結論是否定的；若推不出矛盾，則可考慮去證明結論是肯定的． 【例5】 能夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與xx的和都是完全平方數(shù)嗎?若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由． 思路點撥 先假設存在正整數(shù)，，，滿足 (，=1，2，3，4，m為正整數(shù))．運用完全平方數(shù)性質、奇偶性分析、分類討論綜合推理，若推出矛盾，則原假設不成立． 注：反證法是從待證命題的結論的反面出發(fā)，進行推理，通過導出矛盾來判斷待證命題成立的方法，其證明的基本步驟是：否定待證命題的結論、推理導出矛盾、肯定原命題的結論． 宜用反證法的三題特征是： (1)結論涉及無限； (2)結論涉及唯一性； (3)結論為否定形式； (4)結論涉及“至多，至少”； (5)結論以疑問形式出現(xiàn)等． 學力訓練 1．由小到大排列各分數(shù)：，，，，，是 ． 2．分解因式= ． 3．解關于的方程：(≥)得= ． 4．的結果是 ． 5．若關于的三個方程，， ，中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是 ． 6．有甲、乙兩堆小球，如果第一次從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放到乙堆，第二次從乙堆拿出和甲堆剩下的同樣多的小球放到甲堆，如此挪動4次后，甲、乙兩堆小球恰好都是16個，那么，甲、乙兩堆最初各有多少個小球? 7．求這樣的正整數(shù)，使得方程至少有一個整數(shù)解． 8．某班參加運動會的19名運動員的運動服號碼恰是1～19號，這些運動員隨意地站成一個圓圈，則一定有順次相鄰的3名運動員，他們運動服號碼之和不小于32，請說明理由． 9．如正整數(shù)和之和是，則可變?yōu)椋瑔柲懿荒苡眠@種方法數(shù)次，將22變成xx？ 10．證明：如果整系數(shù)二次方程a ()有有理根，那么，，中至少有一個是偶數(shù)． 11．在ΔABC中是否存在一點P，使得過P點的任意一直線都將該ΔABC分成等面積的兩部分?為什么? 12．求證：形如4n+3的整數(shù)是(n為整數(shù))不能化為兩個整數(shù)的平方和． 13．13位小運動員，他們著裝的運動服號碼分別是1～13號．問：這13名運動員能否站成一個圓圈，使得任意相鄰的兩名運動員號碼數(shù)之差的絕對值都不小于3，且不大于5？如果能，試舉一例；如果不能，請說明理由． 14．有12位同學圍成一圈，其中有些同學手中持有鮮花，鮮花總數(shù)為13束，他們進行分花游戲，每次分花按如下規(guī)則進行：其中一位手中至少持有兩束鮮花的同學拿出兩束鮮花分給與其相鄰的左右兩位同學，每人一束．試證：在持續(xù)進行這種分花游戲的過程中，一定會出現(xiàn)至少有7位同學手中持有鮮花的情況． 參考答案