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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第六講 轉(zhuǎn)化—可化為一元二次方程的方程 數(shù)學(xué)(家)特有的思維方式是什么?若從量的方面考慮，通常運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行形式化抽象，在一個(gè)概念和公理體系內(nèi)實(shí)施推理計(jì)算，若從“轉(zhuǎn)化”這個(gè)側(cè)面又該如何回答?匈牙利女?dāng)?shù)學(xué)家路莎彼得在《無窮的玩藝》一書中寫道：“作為數(shù)學(xué)家的思維來說是很典型的，他們往往不對(duì)問題進(jìn)行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題．” 轉(zhuǎn)化與化歸是解分式方程和高次方程(次數(shù)高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通過去分母和換元；解高次方程，利用因式分解和換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程或一元一次方程去求解． 【例題求解】 【例1】 若，則的值為 ． 思路點(diǎn)撥 視為整體，令，用換元法求出即可． 【例2】 若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A． B． C． D． 思路點(diǎn)撥 通過平方有理化，將無理方程根的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為一元二次方程實(shí)根個(gè)數(shù)的討論，但需注意注的隱含制約． 注：轉(zhuǎn)化與化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解數(shù)學(xué)題中，我們常常用到下列不同途徑的轉(zhuǎn)化：實(shí)際問題轉(zhuǎn)化大為數(shù)學(xué)問題，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，常量與變量的轉(zhuǎn)化，一般與特殊的轉(zhuǎn)化等． 解下列方程： （1）； (2)； （3）． 按照常規(guī)思路求解繁難，應(yīng)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，對(duì)于(1)，利用倒數(shù)關(guān)系換元；對(duì)于(2)，從受到啟示；對(duì)于(3)，設(shè)，則可導(dǎo)出、的結(jié)果． 注：換元是建立在觀察基礎(chǔ)上的，換元不拘泥于一元代換，可根據(jù)問題的特點(diǎn)，進(jìn)行多元代換． 【例4】 若關(guān)于的方程只有一個(gè)解(相等的解也算作一個(gè))，試求的值與方程的解． 思路點(diǎn)撥 先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，“只有一個(gè)解”內(nèi)涵豐富，在全面分析的基礎(chǔ)上求出的值． 注：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價(jià)轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個(gè)解，可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個(gè)解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個(gè)解，而其中一個(gè)是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運(yùn)用判別式、增根等知識(shí)全面分析． 【例5】 已知關(guān)于的方程有兩個(gè)根相等，求的值． 思路點(diǎn)撥 通過換元可得到兩個(gè)關(guān)于的含參數(shù)的一元二次方程，利用判別式求出的值． 注：運(yùn)用根的判別式延伸到分式方程、高次方程根的情況的探討，是近年中考、競賽中一類新題型，盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎(chǔ)，但對(duì)轉(zhuǎn)換能力、思維周密提出了較高要求． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．若關(guān)于的方程有增根，則的值為 ；若關(guān)于的方程 曾＝一1的解為正數(shù)，則的取值范圍是 ． 2．解方程得 ． 3．已知方程有一個(gè)根是2，則= ． 4．方程的全體實(shí)數(shù)根的積為( ) A．60 B．一60 C．10 D．一10 5．解關(guān)于的方程不會(huì)產(chǎn)生增根，則是的值是( ) A．2 B．1 C．不為2或一2 D．無法確定 6．已知實(shí)數(shù)滿足，那么的值為( ) A．1或一2 B．一1或2 C．1 D．一2 7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定規(guī)律排列的一列方程，解方程1，并將它的解填在表中的空格處； (2)若方程()的解是=6，=10，求、的值．該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個(gè)方程?如果是，它是第幾個(gè)方程? (3)請(qǐng)寫出這列方程中的第個(gè)方程和它的解，并驗(yàn)證所寫出的解適合第個(gè)方程． 序號(hào) 方 程 方程的解 1 = = 2 =4 =6 3 =5 =8 … … … … 8．解下列方程： （1） ； （2）； (3)； (4)． 9．已知關(guān)于的方程，其中為實(shí)數(shù)，當(dāng)m為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根?求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根． 10．方程的解是 ． 11．解方程得 ． 12．方程的解是 ． 13．若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 14．解下列方程： (1)； (2)； （3）； （4）． 15．當(dāng)取何值時(shí)，方程有負(fù)數(shù)解? 16．已知，求的值． 17．已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，AF⊥上AD交BD于E點(diǎn)，交BC于點(diǎn)F． (1)求證：AD2= DEDB； (2)過點(diǎn)E作EG⊥AE交AB于點(diǎn)G，若線段BE、DE(BE0)的兩個(gè)根，且菱形ABCD的面積為，求EG的長． 參考答案