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單元綜合檢測四　三角形 (80分鐘　　120分) 一、選擇題(每小題4分,滿分32分) 1.如圖,直線a∥b,∠1=50,∠2=28,則∠3的度數(shù)是 (A) A.22 B.28 C.50 D.30 【解析】如圖,∵a∥b,∴∠4=∠1=50,由三角形的外角性質(zhì)得∠3=∠4-∠2=50-28=22. 2.在△ABC中,∠ABC=30,AB邊長為10,AC邊的長度可以在3,5,7,9,11中取值,滿足這些條件的互不全等的三角形的個數(shù)是 (D) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】如圖,過點A作AD⊥BC于點D,∵∠ABC=30,AB=10,∴AD=12AB=5.當AC=3時,沒有符合條件的三角形;當AC=5時,可作1個三角形;當AC=7時,可作2個三角形;當AC=9時,可作2個三角形;當AC=11時,可作1個三角形.所以滿足條件的互不全等的三角形共有1+2+2+1=6個. 3.若一個角的補角比它余角的4倍還多15,則這個角的度數(shù)是 (C) A.45 B.55 C.65 D.75 【解析】設這個角的度數(shù)是x,根據(jù)題意得180-x=4(90-x)+15,解得x=65. 4.如圖,BC∥EF,AC∥DF,添加下列一個條件,仍不能判斷△ABC≌△DEF的是 (B) A.AD=BE B.∠C=∠F C.AC=DF D.BC=EF 【解析】∵BC∥EF,AC∥DF,∴∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF,根據(jù)全等三角形的判定方法,添加選項B中的∠C=∠F,不能判斷△ABC≌△DEF. 5.如圖,四邊形ABCD和ABCD是以點O為位似中心的位似圖形,若OA∶OA=2∶3,則四邊形ABCD和ABCD的面積比為 (A) A.4∶9 B.2∶5 C.2∶3 D.2∶3 【解析】四邊形ABCD和ABCD的相似比為2∶3,所以四邊形ABCD和ABCD的面積比為4∶9. 6.點D,E分別在等邊△ABC的邊BC,AC上,BD=CE,AD與BE相交于點O,則∠AOE的度數(shù)是 (C) A.30 B.45 C.60 D.75 【解析】由等邊△ABC得∠ABC=60,易證△ABD≌△BCE,得∠BAD=∠CBE,∴∠AOE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=60. 7.如圖,已知△ABC中,∠ACB=90,AC=BC=2,將直角邊AC繞點A逆時針旋轉至AC,連接BC,E為BC的中點,連接CE,則CE的最大值為 (B) A.5 B.2+1 C.22+1 D.52+1 【解析】取AB的中點M,連接CM,EM,∴當CE=CM+EM時,CE的值最大,∵將直角邊AC繞點A逆時針旋轉至AC,∴AC=AC=2,∵E為BC的中點,∴EM=12AC=1,∵∠ACB=90,AC=BC=2,∴AB=22,∴CM=12AB=2,∴CM+EM=2+1. 8.如圖,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,O是AB的中點,D,E分別是邊AC,BC上的動點.下列結論:①若∠DOE=90,則四邊形CDOE的面積是定值;②若AD=CE,則∠DOE=90;③若∠DOE=45,則△AOD與△BEO相似;④若△AOD與△BEO相似,則∠DOE=45.其中正確的是 (C) A.①② B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 【解析】連接OC.∵AC=BC,O是AB的中點,∴OC⊥AB,∵∠ACB=90,∴OC=AO=BO,∴∠A=∠ACO=∠BCO=∠B=45.∵∠DOE=90,∴∠AOD=∠COE,∴△AOD≌△COE,∴S四邊形CDOE=S△COE+S△COD=S△AOD+S△COD=S△AOC=12S△ABC,即四邊形CDOE的面積是定值,故①正確;∵AD=CE,易證△AOD≌△COE,由OC⊥AB可得∠DOE=90,故②正確;∵∠DOE=45,∴∠AOD+∠BOE=135,∵∠AOD+∠ADO=135,∴∠BOE=∠ADO,∵∠A=∠B,∴△AOD∽△BEO,故③正確;△AOD與△BEO相似分兩種情況:△AOD∽△BEO或△AOD∽△BOE,故④不正確. 二、填空題(每小題5分,滿分15分) 9.如圖,AB=AC,AB的垂直平分線ED交AC于點D,若∠CBD=30,則∠A的度數(shù)為　40　. 【解析】設∠A的度數(shù)為x,∵ED垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=x,又AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=x+30,根據(jù)題意得x+2(x+30)=180,解得x=40,即∠A=40. 10.如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上的一點,連接BE并延長,交CD的延長線于點F,若AE∶ED=2∶1且平行四邊形ABCD的面積為24,則△DEF的面積是　2　. 【解析】∵ED∶AE=1∶2,AB∥CD,∴△DEF∽△AEB,∴S△DEFS△AEB=14,∵AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△CBF,DEBC=13,∴S△DEFS△CBF=19,∴S△AEB=4S△DEF,S四邊形BCDE=8S△DEF,∴4S△DEF+8S△DEF=24,解得S△DEF=2. 11.如圖,D,E分別是△ABC的邊BC和AB上的點,△ABD與△ACD的周長相等,△CAE與△CBE的周長相等.設BC=a,AC=b,AB=c,給出以下幾個結論: ①如果AD是BC邊中線,那么CE是AB邊中線;②AE的長度為c+a-b2;③BD的長度為b+a-c2;④若∠BAC=90,△ABC的面積為S,則S=AEBD. 其中正確的結論是?、冖邰堋?(將正確結論的序號都填上) 【解析】當AD是BC邊中線時,則BD=CD,∵△ABD與△ACD的周長相等,∴AB=AC,但此時不能得出AC=BC,即不能得出CE是AB的中線,故①不正確;∵△ABD與△ACD的周長相等,BC=a,AC=b,AB=c,∴AB+BD+AD=AC+CD+AD,∴AB+BD=AC+CD,∵AB+BD+CD+AC=a+b+c,∴AB+BD=AC+CD=a+b+c2,∴BD=a+b+c2-c=a+b-c2,同理AE=a+c-b2,故②③正確;當∠BAC=90時,則b2+c2=a2,∴AEBD=a+c-b2a+b-c2=14[a+(c-b)][a-(c-b)]=14[a2-(c-b)2]=14[a2-(c2+b2-2bc)]=142bc=12bc=S,故④正確. 三、解答題(滿分73分) 12.(8分)計算:sin2 45+3tan 30-3tan 60cos 30. 解:原式=222+333-3332 =12+3-92 =-4+3. 13.(12分)如圖1,直線l上有兩個點A,B,圖中有212=1條線段;如圖2,直線l上有三個點A,B,C,圖中有322=3條線段;如圖3,直線l上有四個點A,B,C,D,圖中有432=6條線段;…. (1)圖4中有多少條線段? (2)猜想:若直線l上有n個不同的點,則圖中有　　　　條線段.(用含n的代數(shù)式表示) (3)應用:春節(jié)期間,10位朋友之間互通電話問候,且每兩位朋友之間只通一次電話,則這10位朋友之間需通多少次電話? 解:(1)542=10(條). (2)n(n-1)2. (3)當n=10時,n(n-1)2=1092=45(次). ∴這10位朋友之間需通45次電話. 14.(12分)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線,DE⊥AB于點E. (1)求證:△BDE∽△CAD. (2)若AB=13,BC=10,求線段DE的長. 解:(1)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∠B=∠C, ∵DE⊥AB, ∴∠DEB=∠ADC, ∴△BDE∽△CAD. (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC, 在Rt△ADB中,AD=AB2-BD2=132-52=12, ∵12ADBD=12ABDE, ∴DE=6013. 15.(13分)《男生女生向前沖》是安徽衛(wèi)視重磅推出的大型戶外競技類真人秀節(jié)目,一經(jīng)推出就受到全國電視觀眾的青睞.體育愛好者小張站在200米高的樓房(CD)的頂端C處測得沖關賽道“亞洲一號”的起點A的俯角是45,測得終點B的俯角是30. (1)求沖關賽道“亞洲一號”AB的長度.(結果保留根號) (2)預計沖關時間在60秒之內(nèi)(含60秒)即可奪得xx年沖關王.小張在保證不落水的前提下,要想奪得xx年沖關王,他沖關的平均速度至少是多少米/秒?(結果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3≈1.73) 解:(1)在Rt△ACD中,∵tan 45=CDAD,∴AD=CD=200. 在Rt△BCD中,∵tan 30=CDBD,∴BD=CDtan30=2003. ∴AB=BD-AD=(2003-200)米. 答:沖關賽道“亞洲一號”AB的長度為(2003-200)米. (2)設小張沖關的平均速度為x米/秒,根據(jù)題意, 得60x≥2003-200,解得x≥2.4. 答:小張要想奪得xx年沖關王,他沖關的平均速度至少是2.4米/秒. 16.(14分)已知在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足為F,BF與AC交于點G,∠BGE=∠ADE. (1)如圖1,求證:AD=CD; (2)如圖2,BH是△ABE的中線,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中四個三角形,使寫出的每個三角形的面積都等于△ADE面積的2倍. 解:(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF, ∴∠ADE=∠CGF, ∵AC⊥BD,BF⊥CD, ∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF, ∴∠DAE=∠GCF, ∴AD=CD. (2)△ACD,△ABE,△BCE,△BHG. 17.(14分)已知在△ABC中,∠A=90,AB=AC,D為BC的中點. (1)如圖1,若點E,F分別為AB,AC上的點,且DE⊥DF,求證:BE=AF. (2)若點E,F分別為AB,CA延長線上的點,且DE⊥DF,那么BE=AF嗎?請利用圖2說明理由. 解:(1)連接AD. ∵∠A=90,AB=AC, ∴△ABC為等腰直角三角形,∠EBD=45. ∵D為BC的中點, ∴AD=12BC=BD,∠FAD=45. ∵∠BDE+∠EDA=90,∠EDA+∠ADF=90, ∴∠BDE=∠ADF. 在△BDE和△ADF中,∠EBD=∠FAD,BD=AD,∠BDE=∠ADF, ∴△BDE≌△ADF(ASA), ∴BE=AF. (2)BE=AF. 理由:連接AD,如圖所示. ∵∠ABD=∠BAD=∠CAD=45, ∴∠EBD=∠FAD=135. ∵∠EDB+∠BDF=90,∠BDF+∠FDA=90, ∴∠EDB=∠FDA. 在△EDB和△FDA中,∠EBD=∠FAD,BD=AD,∠EDB=∠FDA, ∴△EDB≌△FDA(ASA), ∴BE=AF.