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四邊形 一、選擇題 1.下列命題正確的是（ ） A.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 2.正十邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（ ） A.B.C.D. 3.在四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D度數(shù)之比為1：2：3：3，則∠B的度數(shù)為（ ） A.30B.40C.80D.120 4.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)D，若增加一個(gè)條件，使?ABCD成為菱形，下列給出的條件正確的是（ ） A.AB=ADB.AC=BDC.∠ABC=90D.∠ABC=∠ADC 5.如圖，三角板的直角頂點(diǎn)落在矩形紙片的一邊上，若∠1＝35，則∠2的度數(shù)是（ ）。 A.35 B.45 C.55 D.65 6.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是（ ）。 A.20 B.24 C.40 D.48 7.如圖，在矩形ACBO中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函數(shù)y＝kx的圖像經(jīng)過點(diǎn)C，則k的取值為（ ） A.－ B.C.－2D.2 8.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G，GH和HE，若EH＝2EF，則下列結(jié)論正確的是（ ） A.AB＝ EFB.AB＝2EFC.AB＝ EFD.AB＝ EF 9.如圖，菱形 的對(duì)角線 ， 相交于點(diǎn) ， ， ，則菱形 的周長(zhǎng)為（ ） A.52B.48C.40D.20 10.如圖，將一張含有 角的三角形紙片的兩個(gè)頂點(diǎn)疊放在矩形的兩條對(duì)邊上，若 ，則 的大小為（ ） A.B.C.D. 11.已知圖2是由圖1七巧板拼成的數(shù)字“0”，己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，則六邊形EFGHMN的周長(zhǎng)為（ ） A.B.C.D.12 12.如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊△ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為（ ） A.75B.60C.55D.45 二、填空題 13.四邊形的外角和是________度． 14.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠D=60，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上．將△BEF沿著直線EF翻折，點(diǎn)B恰好與邊AD的中點(diǎn)G重合，則BE的長(zhǎng)等于________ 15.如圖，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，則菱形ABCD的高AE為________cm． 16.如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=3，∠BAD=120，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AE，交AD于點(diǎn)F，則四邊形AECF的面積為________． 17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，且點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），BC在x軸正半軸上，點(diǎn)C在B點(diǎn)右側(cè)，反比例函數(shù) （x＞0）的圖象分別交邊AD，CD于E，F(xiàn)，連結(jié)BF，已知，BC=k，AE= CF，且S四邊形ABFD=20，則k=________． 18.如圖，在正五邊形ABCDE中，AC與BE相交于點(diǎn)F，則 AFE的度數(shù)為________ 19. 如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,AB=OB，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OD的中點(diǎn),連接EF,∠CEF=45EM⊥BC于點(diǎn)M,EM交BD于點(diǎn)N,FN= ,則線段BC的長(zhǎng)為________. 20.如圖，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，連接BD，則陰影部分的面積為________．（結(jié)果保留π） 三、解答題 21.如圖， ， ， ， 在一條直線上，已知 ， ， ，連接 .求證：四邊形 是平行四邊形. 22.如圖，等邊△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC，CD上，且∠CEF=45。 求證：矩形ABCD是正方形 23.已知：如圖，□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，求證：AE＝CF． 24.已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,給出下列四個(gè)論斷 ① OA＝OC ② AB＝CD ③ ∠BAD＝∠DCB ④ AD∥BC 請(qǐng)你從中選擇兩個(gè)論斷作為條件,以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結(jié)論,完成下列各題： （1）構(gòu)造一個(gè)真命題，畫圖并給出證明； （2）構(gòu)造一個(gè)假命題，舉反例加以說明. 25.如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE． （1）求證：△ADE≌△CED； （2）求證：△DEF是等腰三角形． 26.如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CE、BA交于點(diǎn)F，連接AC、DF． （1）求證：四邊形ACDF是平行四邊形； （2）當(dāng)CF平分∠BCD時(shí)，寫出BC與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．  答案解析 一、選擇題 1.【答案】C 【解析】 ：A.改成為：對(duì)角線“互相平分”的四邊形是平行四邊形，故A不符合題意；B．改成為：對(duì)角線相等的“平行四邊形”是矩形，故B不符合題意； C．正確，故C符合題意； D．改成為：對(duì)角線互相垂直且相等的“平行四邊形”是正方形，故D不符合題意； 故答案為：C. 【分析】特殊四邊形的對(duì)角線是比較特殊的，當(dāng)兩條對(duì)角線具有如下性質(zhì)“互相平分，相等，互相垂直”中的一個(gè)或二個(gè)或三個(gè)時(shí)，這個(gè)四邊形或是平行四邊形、或是矩形、或是菱形、或是正方形． 2.【答案】D 【解析】 ：方法一： ；方法二： ． 故答案為：D. 【分析】方法一：根據(jù)內(nèi)角和公式180(n-2)求出內(nèi)角和，再求每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；方法二：根據(jù)外角和為360，求出每個(gè)外角的度數(shù)，而每個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是互補(bǔ)的，則可求出內(nèi)角． 3.【答案】C 【解析】 ：∵∠A，∠B，∠C，∠D度數(shù)之比為1：2：3：3， ∴設(shè)∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，∠D=3x ∴x+2x+3x+3x=360 解之：x=40 ∴∠B=240=80 故答案為：C 【分析】根據(jù)已知條件設(shè)∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，∠D=3x，利用四邊形的內(nèi)角和=360，建立方程，就可求出∠B的度數(shù)。 4.【答案】A 【解析】 ：∵?ABCD，AB=AD ∴四邊形ABCD是菱形，因此A符合題意； B、∵?ABCD，AC=BD ∴四邊形ABCD是矩形，因此B不符合題意； C、?ABCD，∠ABC=90 ∴四邊形ABCD是矩形，因此C不符合題意； D、∵?ABCD， ∴∠ABC=∠ADC，因此D不符合題意； 故答案為：A 【分析】根據(jù)菱形的判定定理，對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷，即可得出答案。 5.【答案】C 【解析】 ：如圖， 依題可得：∠1＝35，∠ACB＝90， ∴∠ECA+∠1=90， ∴∠ECA=55， 又∵紙片EFGD為矩形， ∴DE∥FG， ∴∠2=∠ECA=55， 故答案為：C. 【分析】由補(bǔ)角定義結(jié)合已知條件得出∠ECA度數(shù)，再根據(jù)矩形性質(zhì)和平行線性質(zhì)得∠2度數(shù). 6.【答案】A 【解析】 ：設(shè)對(duì)角線AC、BC交于點(diǎn)O， ∵四邊形ABCD是菱形，AC=6,BD=8 ∴A0=3,BO=4,AC⊥BC， ∴AB=5, ∴C菱形ABCD=45=20. 故答案為：A. 【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)可得A0=3,BO=4,AC⊥BC，再由勾股定理可得菱形邊長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)公式即可得出答案. 7.【答案】A 【解析】 ∵A(－2，0)，B(0，1)， ∴OA=2，OB=1， ∵四邊形OACB是矩形， ∴BC=OA=2，AC=OB=1， ∵點(diǎn)C在第二象限，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1）， ∵正比例函數(shù)y＝kx的圖像經(jīng)過點(diǎn)C， ∴-2k=1， ∴k=－ ， 故答案為：A. 【分析】根據(jù)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得出OA=2，OB=1，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BC=OA=2，AC=OB=1，根據(jù)C點(diǎn)的位置得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出k的值。 8.【答案】D 【解析】 連接AC、BD交于點(diǎn)O， ∵四邊形ABCD是菱形，∴OA= AC，OB= BD，AC⊥BD， ∵E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點(diǎn)， ∴EH= BD，EF= AC， ∵EH=2EF， ∴OA=EF，OB=2OA=2EF， 在Rt△AOB中，AB= = EF， 故答案為：D. 【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，根據(jù)三角形的中位線定理得出EH=BD，EF=AC，又EH=2EF，故OA=EF，OB=2OA=2EF，在Rt△AOB中，由勾股定理得出AB的長(zhǎng)。 9.【答案】A 【解析】 ：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10， ∴OB=12，OA=5，BD⊥AC 在Rt△ABO中，AB= =13， ∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=52， 故答案為：A． 【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分且垂直得出OB=12，OA=5，再根據(jù)勾股定理得出AB的長(zhǎng)度，從而得出菱形的周長(zhǎng)。 10.【答案】A 【解析】 ：如圖， ∵矩形的對(duì)邊平行，∴∠2=∠3=44， 根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可得：∠3=∠1+30，∴∠1=44﹣30=14． 故答案為：A． 【分析】根據(jù)矩形的對(duì)邊平行及平行線的性質(zhì)，可求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可求出結(jié)果。 11.【答案】B 【解析】 ∵正方形的邊長(zhǎng)為4 ∴BD= ∴MN=FG= GH=EN==EN, ∴EF=MH= ∴六邊形EFGHMN的周長(zhǎng)為：EF+EN+GH+MH+MN+FG =+++++ = 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理，求出六邊形EFGHMN的各邊的長(zhǎng)，再求出其周長(zhǎng)即可。 12.【答案】B 【解析】 ：∵等邊△ADE和正方形ABCD ∴AD=AE=AB，∠BAD=∠ABC=90，∠DAE=60 ∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90+60=150 ∴∠ABE=（180-150）2=15 ∴∠CBF=90-15=75 ∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線 ∴∠ACB=45 ∴∠BFC=180-∠ACB-∠CBF=180-45-75=60 故答案為：B 【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)，可證得AD=AE=AB，∠BAD=∠ABC=90，∠DAE=60及∠ACB的度數(shù)，可求得∠BAE，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠CBF的度數(shù)，然后根據(jù)BFC=180-∠ACB-∠CBF，就可求出結(jié)果。 二、填空題 13.【答案】360 【解析】 ：四邊形的外角和是360 故答案為：360 【分析】根據(jù)任意多邊形的外角和都是360，可得出答案。 14.【答案】 【解析】 如圖，作GH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于H，EF交BG于O． ∵四邊形ABCD是菱形，∠D=60， ∴△ABC，△ADC度數(shù)等邊三角形，AB=BC=CD=AD=2， ∴∠BAD=120，∠HAG=60， ∵AG=GD=1， ∴AH= AG= ，HG= ， 在Rt△BHG中，BG= ， ∵△BEO∽△BGH， ∴ ， ∴ ， ∴BE= ， 故答案為： ． 【分析】先根據(jù)題意作出圖，先根據(jù)題目中的條件，解直角三角形AGH，從而求得AH與HG的長(zhǎng)度，再解直角三角形BGH求得BG的長(zhǎng)度，再由△BEO∽△BGH得到對(duì)應(yīng)線段成比例，進(jìn)而求得BE的值. 15.【答案】 【解析】 ：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC、BD互相垂直平分， ∴BO= BD= 8=4（cm），CO= AC= 6=3（cm）， 在△BCO中，由勾股定理，可得 BC= = =5（cm） ∵AE⊥BC， ∴AE?BC=AC?BO， ∴AE=== （cm）， 即菱形ABCD的高AE為 cm． 故答案為： ． 【分析】根據(jù)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，結(jié)合勾股定理求得BC的長(zhǎng)度，再利用菱形的面積等于底乘以高，也等于兩條對(duì)角線的乘積的一半，可以求得AE的長(zhǎng). 16.【答案】 【解析】 ：過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G ∵?ABCD ∴AD∥BC ∴∠DAE=∠AEB，∠BAD+∠B=180 ∴∠B=180-120=60 ∵AE平分∠BAD ∴∠DAE=∠BAE ∴∠BAE=∠AEB ∴AB=BE=2 ∴CE=3-2=1 ∴△ABE是等邊三角形 ∴BG=1 AG= ∵CF∥AE,AD∥BC ∴四邊形AECF是平行四邊形 ∴四邊形AECF的面積=CEAG= 故答案為： 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義，證明AB=BE=2，求出CE的長(zhǎng)，再證明△ABE是等邊三角形，就可求出BG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，然后證明四邊形AECF是平行四邊形，利用平行四邊形的面積公式，可求解。 17.【答案】 【解析】 ：過點(diǎn)F作CH⊥x軸 ∵菱形ABCD ∴AD∥x軸，AB=BC，AB∥DC ∴∠ABO=∠DCO，S菱形ABCD=4k ∴△ABO∽△FHC ∴ ∵點(diǎn)A（0，4） ∴OA=4 ∴點(diǎn)E ∵AE=CF， ∴ 解之CF= ∴ ∴FH= ∵S菱形ABCD=4k，S四邊形ABFD=20， ∴S△BFC=S菱形ABCD-S四邊形ABFD=4k-20= ∴ 故答案為： 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD∥x軸，AB=BC，AB∥DC，根據(jù)點(diǎn)A得出OA的長(zhǎng)，表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)AE=CF，求出CF的長(zhǎng)，證明△ABO∽△FHC，求出FH的長(zhǎng)，然后根據(jù)S菱形ABCD=4k，S四邊形ABFD=20，建立關(guān)于k的方程，求出k的值即可。 18.【答案】72 【解析】 ∵五邊形ABCDE為正五邊形， ∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180?108）2=36， ∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72， 故答案為：72． 【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和即可得出∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180?108）2=36，根據(jù)三角形的外角定理即可得出答案。 19.【答案】 【解析】 ：連接BE， ∵平行四邊形ABCD ∴AD∥BC，AD=BC ∵AB=OB，點(diǎn)E時(shí)OA的中點(diǎn) ∴BE⊥OA ∵點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OD的中點(diǎn) ∴EF是△AOD的中位線 ∴ ∴∠FEN=∠BMN=90 ∴∠CEF=∠ECB=45 ∴△BEC是等腰直角三角形 ∵EM⊥BC即EM是斜邊BC邊上的高 ∴EF=BM 在△FEN和△BMN中 ∴△FEN≌△BMN ∴EN=MN即EF=2EN，BC=4EN 在Rt△FEN中，EN2+EF2=FN2 ∴EN2+4EN2=10， 【分析】根據(jù)已知條件先證明BE⊥AC，再證EF是△AOD的中位線，根據(jù)∠CEF=45，可證得△BEC是等腰直角三角形，可證得EF=BM，然后證明△FEN≌△BMN，證得EF=2EN，利用勾股定理求出EN的長(zhǎng)，就可求出BC的長(zhǎng)。 20.【答案】π 【解析】 ：連接OE，如圖， ∵以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E， ∴OD=2，OE⊥BC， 易得四邊形OECD為正方形， ∴由弧DE、線段EC、CD所圍成的面積=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣ =4﹣π， ∴陰影部分的面積= 24﹣（4﹣π）=π． 故答案為：π． 【分析】連接OE，如圖，根據(jù)題意得出OD=2，OE⊥BC，易得四邊形OECD為正方形，由弧DE、線段EC、CD所圍成的面積=S正方形OECD﹣S扇形EOD ， 又圖中陰影部分的面積等于矩形面積的一半再減去由弧DE、線段EC、CD所圍成的面積即可得出答案。 三、解答題 21.【答案】證明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F． ∵BE=CF， ∴BE+CE=CF+CE， ∴BC=EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE． 又∵AB∥DE， ∴四邊形ABED是平行四邊形 【解析】【分析】根據(jù)二直線平行，同位角相等得出∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．根據(jù)等式性質(zhì)由BE=CF，得出BC=EF．然后用ASA判斷出△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出AB=DE．根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出結(jié)論。 22.【答案】∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=∠C=90 ∵△AEF是等邊三角形 ∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60， 又∠CEF=45， ∴∠CFE=∠CEF=45， ∴∠AFD=∠AEB=180-45-60=75， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形。 【解析】【分析】證明矩形ABCD是正方形，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，則可證一組鄰邊相等 23.【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO,AD∥BC， ∴∠DAO=∠BCO， 在△AEO和△CFO中， ∵ , ∴△AEO≌△CFO（ASA）, ∴AE=CF. 【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得AO=CO,AD∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)可得∠DAO=∠BCO，再由全等三角形判定ASA得△AEO≌△CFO，由全等三角形性質(zhì)即可得證. 24.【答案】（1）解：①④作為條件時(shí)，如圖， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， 在△AOD和△COB中， ∵ , ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴AD=CB， ∴四邊形ABCD是平行四邊形. （2）解：②④作為條件時(shí)，此時(shí)一組對(duì)邊相等，一組對(duì)邊平行，是等腰梯形. 【解析】【分析】（1）如果①②作為條件，則兩個(gè)三角形中的條件是SSA，不能證到三角形全等，就不能證明四邊形是平行四邊形；如果①③作為條件，也不能得到四邊形是平行四邊形；如果②③作為條件，也不能得到四邊形是平行四邊形；只有①④作為條件時(shí)，可根據(jù)全等三角形的判定AAS得兩個(gè)三角形全等，總而得線段相等，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； （2）如果②④作為條件時(shí)，根據(jù)梯形的定義，可知其為等腰梯形. 25.【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD． 由折疊的性質(zhì)可得：BC=CE，AB=AE， ∴AD=CE，AE=CD． 在△ADE和△CED中， ， ∴△ADE≌△CED（SSS） （2）解：由（1）得△ADE≌△CED， ∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF， ∴EF=DF， ∴△DEF是等腰三角形 【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD=BC，AB=CD．由折疊的性質(zhì)可得：BC=CE，AB=AE，從而得出AD=CE，AE=CD．然后利用SSS判斷出△ADE≌△CED； （2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等由△ADE≌△CED，得出∠DEA=∠EDC，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出結(jié)論。 26.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE. ∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE. 又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE?△CDE（AAS）， ∴CD=FA. 又∵CD∥AF， ∴四邊形ACDF是平行四邊形. （2）BC=2CD. 理由如下： ∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45. ∵∠CDE=90，∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=DE， ∵E是AD的中點(diǎn)，∴AD=2CD. ∵AD=BC，∴BC=2CD. 【解析】【分析】（1）此題方法不唯一，例如：證明△FAE?△CDE，則CD=FA，又由CD∥FA即可判定，依據(jù)是：有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（2）由CF平分∠BCD，得∠DCE=45，則CD=DE，而BC=AD=2DE，從而可證明.