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直角三角形與勾股定理 1. 如圖，在55的正方形網(wǎng)格中，從在格點上的點A，B，C，D中任取三點，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為（　?。? A． B． C． D． 2. 如圖2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分線，DE交AB于D，連接CD，CD＝( ) A、3 B、4 C、4.8 D、5 3. 如圖，數(shù)軸上點A，B分別對應(yīng)1，2，過點B作PQ⊥AB，以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交PQ于點C，以原點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點M，則點M對應(yīng)的數(shù)是（　　） A． B． C． D． 4． 如圖，Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點與0刻度線的一端重合，∠ABC=40，射線CD繞點C轉(zhuǎn)動，與量角器外沿交于點D，若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是（　　） A．40 B．70 C．70或80 D．80或140 5． 如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接CF，則CF的長為（　?。? A． B． C． D． 6． 如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為S1、S2、S3；如圖2，分別以直角三角形三個頂點為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，則S3+S4=（　?。? A．86 B．64 C．54 D．48 7. 下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是 A．3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7 8． 如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6．將該矩形紙片剪去3個等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面積的最小值是（　?。? A．6 B．3 C．2.5 D．2 9． 如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，過點A，C作相距為2的平行線段AE，CF，分別交CD，AB于點E，F(xiàn)，則DE的長是（　?。? A． B． C．1 D． 10. 如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，且DC=3DE=3a，將矩形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上的點P處，則FP=_______. A P(C) D E B F C （第10題） 參考答案 1.【考點】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】從點A，B，C，D中任取三點，找出所有的可能，以及能構(gòu)成直角三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率． 【解答】解：∵從點A，B，C，D中任取三點能組成三角形的一共有4種可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形， ∴所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為． 故選D． 2.［難易］ 中等 ［考點］ 勾股定理及逆定理，中位線定理，中垂線的性質(zhì) ［解析］ 因為AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC為直角三角形，因為DE為AC邊的中垂線，所以DE與AC垂直，AE=CE=4，所以DE為三角形ABC 的中位線，所以DE==3,再根據(jù)勾股定理求出CD=5 ［參考答案］ D 3. 【考點】勾股定理；實數(shù)與數(shù)軸． 【分析】直接利用勾股定理得出OC的長，進而得出答案． 【解答】解：如圖所示：連接OC， 由題意可得：OB=2，BC=1， 則AC==， 故點M對應(yīng)的數(shù)是：． 故選：B． 4.【考點】角的計算． 【分析】如圖，點O是AB中點，連接DO，易知點D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度數(shù)即可解決問題． 【解答】解：如圖，點O是AB中點，連接DO． ∵點D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD， ∵當射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形時， ∠BCD=40或70， ∴點D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD=80或140， 故選D． 5. 【考點】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【分析】連接BF，根據(jù)三角形的面積公式求出BH，得到BF，根據(jù)直角三角形的判定得到∠BFC=90，根據(jù)勾股定理求出答案． 【解答】解：連接BF， ∵BC=6，點E為BC的中點， ∴BE=3， 又∵AB=4， ∴AE==5， ∴BH=， 則BF=， ∵FE=BE=EC， ∴∠BFC=90， ∴CF==． 故選：D． 6. 【分析】分別用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根據(jù)AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的關(guān)系．同理，得出S4、S5、S6的關(guān)系． 【解答】解：如圖1，S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2． ∵AB2=AC2+BC2， ∴S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3， 如圖2，S4=S5+S6， ∴S3+S4=16+45+11+14=86． 故選A． 【點評】本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)．勾股定理：如果直角三角形的兩條直角 7. 答案：C 考點：構(gòu)成三角形的條件，勾股定理的應(yīng)用，鈍角三角形的判斷。 解析：由兩邊之和大于第三邊，可排除D； 由勾股定理：，當最長邊比斜邊c更長時，最大角為鈍角， 即滿足，所以，選C。 8. 【考點】幾何問題的最值． 【分析】以BC為邊作等腰直角三角形△EBC，延長BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四邊形EFDG，此時剩余部分面積的最小 【解答】解：如圖以BC為邊作等腰直角三角形△EBC，延長BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形， 作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形， 在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四邊形EFDG，此時剩余部分面積的最小=46﹣44﹣36﹣33=2.5． 故選C． 9. 【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【分析】過F作FH⊥AE于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AF=CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到結(jié)論． 【解答】解：過F作FH⊥AE于H， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵AE∥CF， ∴四邊形AECF是平行四邊形， ∴AF=CE， ∴DE=BF， ∴AF=3﹣DE， ∴AE=， ∵∠FHA=∠D=∠DAF=90， ∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90， ∴∠DAE=∠AFH， ∴△ADE∽△AFH， ∴， ∴AE=AF， ∴=3﹣DE， ∴DE=， 故選D． 10.【考點】矩形的性質(zhì)、圖形的變換（折疊）、30度角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理. 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，知EC=EP＝2a=2DE；則∠DPE=30，∠DEP=60，得出∠PEF=∠CEF=(180-60)= 60，從而∠PFE=30，得出EF=2EP=4a，再勾股定理，得 出FP的長. 【解答】解：∵DC=3DE=3a，∴DE=a，EC=2a. 根據(jù)折疊的性質(zhì)，EC=EP＝2a；∠PEF=∠CEF，∠ EPF=∠C=90. 根據(jù)矩形的性質(zhì)，∠D=90， 在Rt△DPE中，EP=2DE=2a，∴∠DPE=30，∠DEP=60. ∴∠PEF=∠CEF=(180-60)= 60. ∴在Rt△EPF中，∠PFE=30. ∴EF=2EP=4a 在Rt△EPF中，∠EPF=90，EP＝2a，EF＝4a， ∴根據(jù)勾股定理，得 FP==a. 故答案為：a