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2019-2020年八年級數(shù)學(xué)下冊 19.3一元二次方程的根的判別式教案 滬科版 教學(xué)目標(biāo) 1．了解根的判別式的概念。 2．能用判別式判別根的情況。 3．進(jìn)一步滲透轉(zhuǎn)化和分類的思想方法． 4、培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力。 教學(xué)重點：會用判別式判定根的情況． 教學(xué)難點：正確理解“當(dāng)b2-4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）無實數(shù)根．” 教學(xué)內(nèi)容 1、解下列方程： ①（x-2）2＝9；②（x-1）2＝0；③x2＝-3 2、平方根的性質(zhì)是什么？ 一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。 3、一元二次方程ax2=c(a≠0)變形為x2=c/a后，你能判斷它根的情況嗎？ ①當(dāng)a、c為同號兩數(shù)時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根； ②當(dāng)a、c為異號兩數(shù)時，原方程沒有實數(shù)根； ③當(dāng)c為0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根。 4、將下列方程化為（x+h）2=k的形式，并判斷它的實數(shù)根的個數(shù)：①x2+2mx=7 ②2x2-4mx=-2m2 ③x2-4mx=-5m2-1 5、把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）寫成（x+h）2=k的形式。 由學(xué)生完成，變形得（x+b/2a）2=（b2-4ac）/ 4a2 6、引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的右邊，因為a≠0,所以4a2＞0。因此只需研究b2-4ac的值就可以了，從而由學(xué)生得出：（向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化和分類的思想方法） （1）當(dāng)b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根． （2）當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根． （3）當(dāng)b2-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根． 教師通過引導(dǎo)之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？ 答：b2-4ac． 7、引出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判別式的概念： ①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用符號“△”表示． ②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 當(dāng)△＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根； 當(dāng)△＝0時，有兩個相等的實數(shù)根； 當(dāng)△＜0時，沒有實數(shù)根． 8、然后，引導(dǎo)學(xué)生寫出上述命題的逆命題： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0） 當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時，△＞0； 當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，△＝0； 當(dāng)方程沒有實數(shù)根時，△＜0． 教師說明此命題成立。 9、例題講解 例1： 不解方程，判別下列方程的根的情況： （1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y； （3）5（x2＋1）-7x＝0． 解： （1）∵ △＝32-42（-4）＝9＋32＞0， ∴ 原方程有兩個不相等的實數(shù)根． （2）原方程可變形為 16y2-24y＋9＝0． ∵ △＝（-24）2-4169＝576-576＝0， ∴ 原方程有兩個相等的實數(shù)根． （3）原方程可變形為 5x2-7x+5=0． ∵ △＝（-7）2-455＝49-100＜0， ∴ 原方程沒有實數(shù)根． 學(xué)生口答，教師板書，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)步驟： （1）化方程為一般形式，以便于確定a、b、c的值； （2）計算b2-4ac的值； （3）判別根的情況． 強(qiáng)調(diào)兩點： （1）只要能判別△值的符號就行，具體數(shù)值不必計算出． （2）判別根的情況時，不必求出方程的根． 10、練習(xí)．不解方程，判別下列方程根的情況： （1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y； （3）4p（p-1）-3＝0；（4）x2+5= 學(xué)生板演、筆答、評價。教師滲透、點撥． 11、不解方程，判別下列方程根的情況． （2m2＋1）x2－2mx＋1=0． 解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）1 ＝4m2-8m2-4 ＝-4m2-4． ∵ 不論m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0． ∴ 方程無實數(shù)解． 由數(shù)字系數(shù)，過渡到字母系數(shù)，使學(xué)生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值． 12、練習(xí)：第27頁B組第1題 小結(jié)：（1）判別式的意義及一元二次方程根的情況． ①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式．用“△”表示 ②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 當(dāng)△＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根； 當(dāng)△＝0時，有兩個相等的實數(shù)根； 當(dāng)△＜0時，沒有實數(shù)根．反之亦然． （2）通過根的情況的研究過程，深刻體會轉(zhuǎn)化的思想方法及分類的思想方法． 布置作業(yè)教材 中 A 1、2 一元二次方程的根的判別式（二） 一、素質(zhì)教育目標(biāo) （一）知識教學(xué)點： 1．熟練運用判別式判別一元二次方程根的情況． 2．學(xué)會運用判別式求符合題意的字母的取值范圍和進(jìn)行有關(guān)的證明． （二）能力訓(xùn)練點： 1．培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，邏輯性和靈活性． 2．培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力． （三）德育滲透點：通過例題教學(xué)，滲透分類的思想． 二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法 1．教學(xué)重點：運用判別式求出符合題意的字母的取值范圍． 2．教學(xué)難點：教科書上的黑體字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當(dāng)△＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0時，有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，沒有實數(shù)根”可看作一個定理，書上的“反過來也成立”，實際上是指它的逆命題也成立．對此的正確理解是本節(jié)課的難點．可以把這個逆命題作為逆定理． 三、教學(xué)步驟 （一）明確目標(biāo) 上節(jié)課學(xué)習(xí)了一元二次方程根的判別式，得出結(jié)論：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)△＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0時，有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，沒有實數(shù)根．”這個結(jié)論可以看作是一個定理．在這個判別方法中，包含了所有各種情況，所以反過來也成立，也就是說上述結(jié)論的逆命題是成立的可作為定理用．本節(jié)課的目標(biāo)就是利用其逆定理，求符合題意的字母的取值范圍，以及進(jìn)行有關(guān)的證明． （二）整體感知 本節(jié)課是上節(jié)課的延續(xù)和深化，主要是在“明確目標(biāo)”中所提的逆定理的應(yīng)用．通過本節(jié)課的內(nèi)容的學(xué)習(xí)，更加深刻體會到“定理”與“逆定理”的靈活應(yīng)用．不但不求根就可以知道根的情況，而且知道根的情況，還可以確定待定的未知數(shù)系數(shù)的取值，本節(jié)課內(nèi)容對學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維及思維全面性進(jìn)行恰如其分的訓(xùn)練． （三）重點、難點的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過程 1．復(fù)習(xí)提問 （1）一元二次方程的一般形式？說出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項． （2）一元二次方程的根的判別式是什么？用它怎樣判別根的情況？ 2．將復(fù)習(xí)提問中的問題（2）的正確答案板書，反之，即此命題的逆命題也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，則△＞0；如果方程有兩個相等的實數(shù)根，則△=0；如果方程沒有實數(shù)根，則△＜0．”即根據(jù)方程的根的情況，可以決定△值的符號，‘△’的符號，可以確定待定的字母的取值范圍．請看下面的例題： 例1 已知關(guān)于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值時 （1）方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）方程有兩個相等的實數(shù)根； （1）方程無實數(shù)根． 解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1， ∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-42（2k2-1） ＝8k+9． 方程有兩個不相等的實數(shù)根． 方程有兩個相等的實數(shù)根． 方程無實數(shù)根． 本題應(yīng)先算出“△”的值，再進(jìn)行判別．注意書寫步驟的簡練清楚． 練習(xí)1．已知關(guān)于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0． t取什么值時，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根？（2）方程有兩個相等的實數(shù)根？（3）方程沒有實數(shù)根？ 學(xué)生模仿例題步驟板書、筆答、體會． 教師評價，糾正不精練的步驟． 假設(shè)二項系數(shù)不是2，也不是1，而是k，還需考慮什么呢？如何作答？ 練習(xí)2．已知：關(guān)于x的一元二次方程： kx2+2（k+1）x+k=0有兩個實數(shù)根，求k的取值范圍． 和學(xué)生一起審題（1）“關(guān)于x的一元二次方程”應(yīng)考慮到k≠0．（2）“方程有兩個實數(shù)根”應(yīng)是有兩個相等的實數(shù)根或有兩個不相等的實數(shù)根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0確定k的取值范圍． 解：∵ △＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4． 原方程有兩個實數(shù)根． 學(xué)生板書、筆答，教師點撥、評價． 例 求證：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0沒有實數(shù)根． 分析：將△算出，論證△＜0即可得證． 證明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4） ＝4m2-4m4-20m2-16 ＝-4（m4＋4m2＋4） ＝-4（m2＋2）2． ∵ 不論m為任何實數(shù)，（m2＋2）2＞0． ∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0． ∴ （m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，沒有實根． 本題結(jié)論論證的依據(jù)是“當(dāng)△＜0，方程無實數(shù)根”，在論證△＜0時，先將△恒等變形，得到判斷．一般情況都是配方后變形為：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……從而得到判斷． 本題是一道代數(shù)證明題，和幾何類似，一定要做到步步有據(jù)，推理嚴(yán)謹(jǐn)． 此種題型的步驟可歸納如下： （1）計算△；（2）用配方法將△恒等變形； （3）判斷△的符號；（4）結(jié)論． 練習(xí)：證明（x-1）（x-2）=k2有兩個不相等的實數(shù)根． 提示：將括號打開，整理成一般形式． 學(xué)生板書、筆答、評價、教師點撥． （四）總結(jié)、擴(kuò)展 1．本節(jié)課的主要內(nèi)容是教科書上黑體字的應(yīng)用，求符合題意的字母的取值范圍以及進(jìn)行有關(guān)的證明．須注意以下幾點： （1）要用b2-4ac，要特別注意二次項系數(shù)不為零這一條件． （2）認(rèn)真審題，嚴(yán)格區(qū)分條件和結(jié)論，譬如是已知△＞0，還是要證明△＞0． （3）要證明△≥0或△＜0，需將△恒等變形為a2＋2，-（a＋2）2……從而得到判斷． 2．提高分析問題、解決問題的能力，提高推理嚴(yán)密性和思維全面性的能力． 四、布置作業(yè) 1．教材中B1，2，3． 2．當(dāng)方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有實數(shù)根時，求a的正整數(shù)解． （2、3學(xué)有余力的學(xué)生做．） 五、板書設(shè)計 19．3 一元二次方程根的判別式（二） 一、判別式的意義：…… 三、例1…… 四、例2…… △=b2-4ac …… …… 二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) （1）當(dāng)△＞0，…… 練習(xí)1…… 練習(xí)2…… （2）當(dāng)△＝0，…… （3）當(dāng)△＜0，…… 反之也成立．