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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 203 菱形的判定 教案 華東師大版 一、知識(shí)與技能 1．能說出菱形的兩個(gè)判定定理，并會(huì)用它進(jìn)行相關(guān)的論證和計(jì)算． 2．會(huì)根據(jù)已知條件畫出菱形． 二、過程與方法 1．經(jīng)歷探究菱形判定條件的過程，通過操作、觀察、猜想、證明的過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探索精神． 2．探索并掌握菱形的判定方法． 3．利用菱形的判定方法進(jìn)行合理的論證和計(jì)算． 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1．讓學(xué)生在探究過程中加深對(duì)菱形的理解，養(yǎng)成主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣． 2．通過菱形與矩形判定方法的類比，進(jìn)一步體會(huì)類比的思想方法的作用． 教學(xué)重點(diǎn) 菱形的判定方法． 教學(xué)難點(diǎn) 探究菱形的判定條件并合理利用它進(jìn)行論證和計(jì)算． 教具準(zhǔn)備 多媒體課件．把中點(diǎn)固定在一起的兩根細(xì)木條． 教學(xué)過程 一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 想一想：菱形和矩形分別比平行四邊形多了哪些性質(zhì)？怎樣判定一個(gè)四邊形是矩形？ （讓學(xué)生回憶并說出菱形和矩形各自的性質(zhì)，教師用對(duì)比的形式播放課件） 矩 形 菱 形 性質(zhì) 1．四個(gè)角都是直角 1．四條邊都相等 2．對(duì)角線相等 2．對(duì)角線互相垂直 且平分一組對(duì)角 判 定 1． 有一個(gè)角是直角 的平行四邊形 2．三個(gè)角是直角的 四邊形 3． 角線相等的平 行四邊形 師：看看上表，大家可以猜到，我們就研究如何判定一個(gè)四邊形是菱形的問題． 二、探究菱形的判定條件 生：可以用菱形的定義判定．也就是說：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形． 師：很好．大家再用類比的方法想一想，受矩形判定條件的啟發(fā)，你對(duì)菱形的判定條件有什么猜想． 生甲：矩形定義是平行四邊形基礎(chǔ)上限制角，于是有“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”；菱形的定義是平行四邊形基礎(chǔ)上限制邊，是不是可以得到：“四條邊都相等的四邊形是菱形”呢？ 生乙：矩形的對(duì)角線相等，于是有對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；菱形的對(duì)角線互相垂直，是不是可以猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 師：猜得有理．下面請(qǐng)大家做一做，看有什么新發(fā)現(xiàn)． 操作要求： 用一長(zhǎng)一短的兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘；做成一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周圍上一根橡皮筋（如圖（1）），做成一個(gè)四邊形，轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)四邊形什么時(shí)候變成菱形？ 學(xué)生活動(dòng)： 通過操作、觀察、思考、討論最后發(fā)現(xiàn)并證明猜想和觀察到的結(jié)論． 生甲：將中點(diǎn)固定在一起，說明對(duì)角線互相平分，所以這是一個(gè)平行四邊形． 生乙：轉(zhuǎn)動(dòng)十字架，變成菱形時(shí)，看起來對(duì)角線要互相垂直． 生丙：那就是說對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形． 生乙：我覺得也可以說成：對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形． 生甲：是的，這兩種說法都對(duì)．對(duì)角線平分能得到平行四邊形嘛． 師：同學(xué)們的研究和分析合情合理，能不能證明這個(gè)命題呢？ 生：能：如圖（1）（b） △AOB≌△AODAB=AD． 又四邊形ABCD是平行四邊形， ∴四邊形ABCD是菱形． 師：大家做得很好．這樣，我們就得到了一個(gè)變形的判定定理． 判定定理1：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 推論：對(duì)角線互相垂直，平分的四邊形的是菱形． 應(yīng)用舉例： 【例3】如圖ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB=5，AO=4，BO=3，求證ABCD是菱形． 證明：∵AB=5，AO=4，BO=3， ∴AB2=AO2+BO2． ∴△AOB是直角三角形． ∴AC⊥BD． ∴ABCD是菱形． 議一議：下列辦法畫菱形采取什么原理？ 先畫兩條等長(zhǎng)的線段AB、AD，然后分別以B、D為圓心，AB為半徑畫弧，得到兩弧的交點(diǎn)C，連接BC、CD，就畫出一個(gè)菱形ABCD． 學(xué)生活動(dòng)： 1．按要求畫出四邊形ABCD，發(fā)現(xiàn)它是菱形，產(chǎn)生直觀感受． 2．證明四邊形ABCD是菱形． 四邊形ABCD是菱形． 師生總結(jié)：得菱形的第二個(gè)判定方法： 判定定理2：四邊相等的四邊形是菱形． 師：我們通過類比的方法得出的菱形的判定方法．請(qǐng)同學(xué)們完成開課時(shí)給的表格．（老師再次播放課件，加深學(xué)生對(duì)菱形、矩形的性質(zhì)和判定的理解） 做一做：判斷下列命題是否正確，并說明理由． （1）對(duì)角線互相平分且鄰邊相等的四邊形是菱形． （2）兩組對(duì)邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形． （3）鄰角相等的四邊形是菱形． （4）有一組鄰邊相等的四邊形是菱形． （5）兩組對(duì)角分別相等且一組鄰邊相等的四邊形是菱形． （6）對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形． （7）對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形． 引導(dǎo)學(xué)生懂這類問題的解決方法是：認(rèn)為正確的命題要進(jìn)行證明，認(rèn)為錯(cuò)誤的命題要舉出反例．最后得出：（1）（2）（5）（7）是正確的，其余是錯(cuò)誤命題． 三、隨堂練習(xí) 課本練習(xí) 2．解：如圖,∵AB=9，AO=AC=6，BO=BD=3．且92=62+（3）2． ∴AB2=AO2+BO2． ∴△AOB是直角三角形． ∴AC⊥BD， ∴ABCD是菱形． ∴S菱形ABCD=ACBD=126=36． 3．如圖，因?yàn)榧垪l等寬，所以△ABC以BC為底的高和以AB為底的高相等，所以AB=BC． 紙條交叉重疊在一起可得：AB∥CD，AD∥BC． 所以四邊形ABCD是平行四邊形． 因此可得重合的四邊形ABCD是一個(gè)菱形． 四、課時(shí)小結(jié) （引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)菱形的判定方法，通過課件演示逐漸得出下表．讓學(xué)生從圖形的變化中形象地看到被判定圖形是四邊形還是平行四邊形，它們各要具備什么條件才是菱形，從中領(lǐng)悟到各種圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系）． 五、課后作業(yè) 1．習(xí)題 2．預(yù)習(xí)正方形的判定 板書設(shè)計(jì) 20.3 菱形的判定 1．菱形的判定方法 （1）定義：鄰邊相等的平行四邊形 （2）判定定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形 菱形 四邊相等的四邊形 2．應(yīng)用舉例： 例3 議一議 做一做 3．隨堂練習(xí) 4．小結(jié) 5．作業(yè) 活動(dòng)與探究 如下圖在△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四邊形AEFG是菱形嗎？ 過程： EA=EF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等） △EFC≌△EAC EFGA是菱形． 結(jié)論：四邊形AEFG是菱形． 備課資料 參考例題 【例1】請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫每一步推理根據(jù)． 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10，AC=12，求菱形ABCD的面積． 解：∵菱形ABCD（①）， ∴AO=CO，BO=DO（②）， ∠AOB=90（③）． ∵AC=12（④）， ∴AO=6． ∵AB=10（⑤）， ∴BO=8（⑥）． ∴BD=2BO=16． ∴S菱形ABCD=1612=96（⑦）． 答案：①已知 ②菱形對(duì)角線互相平分 ③菱形的對(duì)角線互相垂直 ④已知 ⑤已知⑥ 勾股定理 ⑦菱形面積等于對(duì)角線乘積的一半 【例2】某中學(xué)有一塊長(zhǎng)為a米，寬為b米的矩形場(chǎng)地，計(jì)劃在該場(chǎng)上修筑寬都為2米的兩條互相垂直的道路，余下的4塊矩形小場(chǎng)地建成草坪． （1）如下圖，請(qǐng)分別寫出每條道路的面積． （2）已知a：b=2：1，并且4塊草坪的面積之和為312m2，試求原來矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)寬各為多少米？ （3）在（2）的條件下，為進(jìn)一步美化校園，根據(jù)實(shí)際情況，學(xué)校決定對(duì)整個(gè)矩形場(chǎng)地作如下設(shè)計(jì)（要求同時(shí)符合下述兩個(gè)條件） ①在每塊草坪上各修建一個(gè)面積盡可能大的菱形花圃（花圃各邊必須分別與所在草坪的對(duì)角線平行），并且其中有兩個(gè)花圃的面積之差為13m2． ②整個(gè)矩形場(chǎng)地（包括道路、草坪、花圃）為軸對(duì)稱圖形． 請(qǐng)你畫出符合上述設(shè)計(jì)方案的一種草圖（不必說畫法與根據(jù)），并求出每個(gè)菱形花圃的面積． 解：（1）（2a+2b-4）m2 （2）∵S矩形場(chǎng)地=S草坪+S道路，設(shè)b=x，則a=2x， ∴x2x-（2x+4x-4）=312． 整理得x2-3x-154=0（解出這個(gè)方程即可解決問題．本題意圖在于利用方程思想解決問題的意識(shí)．等學(xué)完一元二次方程后可繼續(xù)解決這個(gè)問題）．解得x1=14，x2=-11（舍）． ∴b=14，a=28． 矩形長(zhǎng)28m，寬14m． （3）設(shè)計(jì)如下圖所示 說明：①AG=DH，這樣保證整個(gè)場(chǎng)地為軸對(duì)稱圖形；②AE和FB的長(zhǎng)度有賴于兩個(gè)菱形面積之差為13m這一條件． 下面分別計(jì)算AG和AE的長(zhǎng)． 設(shè)AG=x，則DH=x，∴x+2+x=28，∴x=13． 設(shè)AE=y，則y13-（12-y）13=13，解得y=7． ∴大花圃面積為713=45.5（m2）． 小花圃面積為513=32.5（m2）．