2019高中數(shù)學 第三章 直線與方程 3.1 直線的傾斜角與斜率（第1課時）傾斜角與斜率講義（含解析）新人教A版必修2.doc
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第1課時 傾斜角與斜率 [核心必知] 1．預習教材，問題導入 根據(jù)以下提綱，預習教材P82～P86，回答下列問題： 在平面直角坐標系中，直線l經過點P. (1)直線l的位置能夠確定嗎？ 提示：不能． (2)過點P可以作與l相交的直線多少條？ 提示：無數(shù)條． (3)上述問題中的所有直線有什么區(qū)別？ 提示：傾斜程度不同． 2．歸納總結，核心必記 (1)直線的傾斜角 ①傾斜角的定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx. ②傾斜角的范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是0≤α＜180，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0. (2)直線的斜率 ①斜率的定義：一條直線的傾斜角α(α≠90)的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝tan_α. ②斜率公式：經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.當x1＝x2時，直線P1P2沒有斜率． ③斜率的作用：用實數(shù)反映了平面直角坐標系內的直線的傾斜程度． [問題思考] (1)任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？ 提示：由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的． (2)斜率與直線的傾斜程度有何對應關系？ 提示：①當直線的斜率為正時，直線從左下方向右上方傾斜(呈上升趨勢)． ②當直線的斜率為負時，直線從左上方向右下方傾斜(呈下降趨勢)． ③當直線的斜率為0時，直線與x軸平行或重合(呈水平狀態(tài))． [課前反思] 通過以上預習，必須掌握的幾個知識點． (1)直線的傾斜角是什么樣的角？怎樣理解？ ??； (2)直線的斜率是什么？如何理解？ . 觀察下面圖形： [思考1] 上述圖形中各直線的傾斜角各是什么？ 提示：上述圖形中直線的傾斜角為角α . [思考2] 直線傾斜角定義中包含哪幾類情況？ 提示：包括鈍角、銳角、直角和零角． [思考3] 怎樣理解直線的傾斜角？ 名師指津：(1)傾斜角定義中含有三個條件： ①x軸正向；②直線向上的方向；③小于180的非負角． (2)從運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x軸按逆時針方向旋轉到與直線重合時所成的角． (3)傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對x軸的傾斜程度． (4)平面直角坐標系中的每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等． 講一講 1．設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45，得到直線l1，那么l1的傾斜角為( ) A．α＋45 B．α－135 C．135－α D．當0≤α<135時，傾斜角為α＋45；當135≤α<180時，傾角為α－135 [嘗試解答] 根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示： 因為0≤α<180，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知： 當0≤α<135，l1的傾斜角為α＋45； 當135≤α<180時，l1的傾斜角為45＋α－180＝α－135.故選D. [答案] D 求直線的傾斜角的方法及兩點注意 (1)方法：結合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)兩點注意：①當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0，當直線與x軸垂直時，傾斜角為90. ②注意直線傾斜角的取值范圍是0≤α＜180. 練一練 1．一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0<α<90)，則其傾斜角為( ) A．α B．180－α C．180－α或90－α D．90＋α或90－α 解析：選D 如圖，當l向上方向的部分在y軸左側時，傾斜角為90＋α；當l向上方向的部分在y軸右側時，傾斜角為90－α.故選D. 觀察下面圖形： 日常生活中，常用坡度表示傾斜程度，例如，“進2升3”與“進2升2”比較，前者更陡一些，因為坡度＞. [思考1] 對于直線可利用傾斜角描述傾斜程度，可否借助于坡度來描述直線的傾斜程度？ 提示：可以． [思考2] 通過比較，你會發(fā)現(xiàn)它與傾斜角有何關系？ 提示：與傾斜角的正切值相等． [思考3] 傾斜角α與斜率k有什么關系？ 名師指津：直線的傾斜角和斜率的關系： (1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當傾斜角是90時．直線的斜率不存在，此時，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)． (2)直線的斜率也反映了直線相對于x軸的正方向的傾斜程度．當0≤α＜90時，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當90＜α＜180時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大． 講一講 2．(1)如圖，直線l1的傾斜角α1＝30，直線l1⊥l2，求l1、l2的斜率； (2)求經過兩點A(a,2)，B(3,6)的直線的斜率． [嘗試解答] (1)l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30＝. ∵l2的傾斜角α2＝90＋30＝120，∴l(xiāng)2的斜率k2＝tan 120＝tan(180－60)＝－tan 60＝－. (2)當a＝3時，斜率不存在； 當a≠3時，直線的斜率k＝. 求直線斜率的兩種類型 一種是已知傾斜角求直線的斜率，注意傾斜角為90的情況；另一種是已知兩點的坐標求直線的斜率，注意斜率不存在的情況． 練一練 2．(1)已知過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為135，則y＝________； (2)過點P(－2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為________． 解析：(1)直線AB的斜率k＝tan 135＝－1，又k＝，由＝－1，得y＝－5. (2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1. 答案：(1)－5 (2)1 講一講 3．已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點．(鏈接教材P85—例1) (1)求直線l的斜率k的取值范圍； (2)求直線l的傾斜角α的取值范圍． [思路點撥] 結合圖形考慮，l的傾斜角應介于直線PB與直線PA的傾斜角之間，要特別注意，當l的傾斜角小于90時，有k≥kPB；當l的傾斜角大于90時，則有k≤kPA. [嘗試解答] 如圖，由題意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1， (1)要使l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45，PA的傾斜角是135，∴α的取值范圍是45≤α≤135. (1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tan α(α≠90)解決． (2)由兩點坐標求斜率運用兩點斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直線與線段有交點問題常數(shù)形結合利用公式求解． 練一練 3．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)， (1)求直線AB和AC的斜率． (2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍． 解：(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB＝＝.直線AC的斜率kAC＝＝.故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為. (2)如圖所示，當D由B運動到C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是. —————————[課堂歸納感悟提升]———————————— 1．本節(jié)課的重點是理解直線的傾斜角與斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，難點是掌握傾斜角與斜率的對應關系． 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)求直線傾斜角的方法，見講1. (2)求直線斜率的方法，見講2. (3)直線的傾斜角和斜率之間的關系，見講3. 3．本節(jié)課的易錯點是對直線傾斜角和斜率之間的對應關系理解不夠透徹而致錯，如講3. 課下能力提升(十五) [學業(yè)水平達標練] 題組1 直線的傾斜角 1．給出下列說法，正確的個數(shù)是( ) ①若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等； ②一條直線的傾斜角為－30； ③傾斜角為0的直線只有一條； ④直線的傾斜角α的集合{α|0≤α＜180}與直線集合建立了一一對應關系． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選A 若兩直線的傾斜角為90，則它們的斜率不存在，①錯；直線傾斜角的取值范圍是[0，180)，②錯；所有垂直于y軸的直線傾斜角均為0，③錯；不同的直線可以有相同的傾斜角，④錯． 2．(2016達州高一檢測)直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是( ) A．0≤α<90 B．90≤α<180 C．90<α<180 D．0<α<180 解析：選C 直線傾斜角的取值范圍是0≤α<180，又直線l經過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是90<α<180. 題組2 直線的斜率 3．已知經過兩點(5，m)和(m,8)的直線的斜率等于1，則m的值是( ) A．5 B．8 C. D．7 解析：選C 由斜率公式可得＝1，解得m＝. 4．已知三點A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，實數(shù)a的值為________． 解析：∵A、B、C三點共線，∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或. 答案：2或 5．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值． 解：由題意直線AC的斜率存在，即m≠－1. ∴kAC＝，kBC＝. ∴＝3. 整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)， 即(m＋1)(m－4)＝0， ∴m＝4或m＝－1(舍去)． ∴m＝4. 題組3 直線斜率的應用 6．若A、B兩點的橫坐標相等，則直線AB的傾斜角和斜率分別是( ) A．45，1 B．135，－1 C．90，不存在 D．180，不存在 解析：選C 由于A、B兩點的橫坐標相等，所以直線與x軸垂直，傾斜角為90，斜率不存在．故選C. 7．已知直線l的傾斜角為30，則直線l的斜率為( ) A. B. C．1 D. 解析：選A 由題意可知，k＝tan 30＝. 8．(2016河南平頂山高一調研)若直線過點 (1,2)，(4,2＋)，則此直線的傾斜角是( ) A．30 B．45 C．60 D．90 解析：選A 設直線的傾斜角為α，直線斜率k＝＝，∴tan α＝.又∵0≤α＜180，∴α＝30. 9．已知直線l過點A(1,2)，B(m,3)，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍． 解：設l的斜率為k，傾斜角為α. 當m＝1時，斜率k不存在，α＝90. 當m≠1時，k＝＝， 當m＞1時，k＝＞0，此時α為銳角，0＜α＜90； 當m＜1時，k＝＜0，此時α為鈍角，90＜α＜180. 所以α∈(0，180)，k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． [能力提升綜合練] 1．下列說法中，正確的是( ) A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tan α B．直線的斜率為tan α，則此直線的傾斜角為α C．若直線的傾斜角為α，則sin α>0 D．任意直線都有傾斜角α，且α≠90時，斜率為tan α 解析：選D 對于A，當α＝90時，直線的斜率不存在，故不正確；對于B，雖然直線的斜率為tan α，但只有0≤α<180時，α才是此直線的傾斜角，故不正確；對于C，當直線平行于x軸時，α＝0，sin α＝0，故C不正確，故選D. 2．如圖，設直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關系為( ) A．k1＜k2＜k3 B．k1＜k3＜k2 C．k2＜k1＜k3 D．k3＜k2＜k1 解析：選A 根據(jù)“斜率越大，直線的傾斜程度越大”可知選項A正確． 3．(2016株洲高一檢測)過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為45，則y＝( ) A．－ B. C．－1 D．1 解析：選C tan 45＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1. 4．如果直線l過點(1,2)，且不通過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是( ) A．[0,1] B．[0,2] C. D．(0,3] 解析：選B 過點(1,2)的斜率為非負且最大斜率為此點與原點的連線斜率時，圖象不過第四象限． 5．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直線AP與直線BP的斜率分別為2和－2，則點P的坐標是________． 解析：設點P(x，y)，則有＝2，且＝－2，解得x＝1，y＝6，即點P的坐標是(1,6)． 答案：(1,6) 6．(2016合肥高一檢測)若經過點P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：∵k＝且直線的傾斜角為鈍角，∴<0，解得－2
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