2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題25 平面向量的模長(zhǎng)問題.doc
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專題25 平面向量的模長(zhǎng)問題 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 平面向量中涉及模長(zhǎng)的問題,常用解法是將模長(zhǎng)進(jìn)行平方,利用向量數(shù)量積的知識(shí)進(jìn)行解答;另外,向量是一個(gè)工具型的知識(shí),具備代數(shù)和幾何特征,因此,解答這類問題時(shí)可以利用數(shù)形結(jié)合的思想,利用代數(shù)和幾何特征,會(huì)加快解題速度. 本專題擬通過典型例題,介紹代數(shù)法和幾何法兩種思路,以期對(duì)大家有所啟發(fā). (一)代數(shù)法 利用代數(shù)方法處理向量的模長(zhǎng)問題,主要采取模長(zhǎng)平方——數(shù)量積和坐標(biāo)兩種方式 1、模長(zhǎng)平方:通過可得:,將模長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題,從而能夠與條件中的已知向量(已知模長(zhǎng),夾角的基向量)找到聯(lián)系.要注意計(jì)算完向量數(shù)量積后別忘記開方 2、坐標(biāo)運(yùn)算:若,則.某些題目如果能把幾何圖形放入坐標(biāo)系中,則只要確定所求向量的坐標(biāo),即可求出(或表示)出模長(zhǎng) 3、有關(guān)模長(zhǎng)的不等問題:通常考慮利用“模長(zhǎng)平方”或“坐標(biāo)化”得到模長(zhǎng)與某個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系,從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題 (二)幾何法 1、向量和差的幾何意義:已知向量,則有: (1)若共起點(diǎn),則利用平行四邊形法則求,可得是以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線 (2)若首尾相接,則利用三角形法則求出,可得,圍成一個(gè)三角形 2、向量數(shù)乘的幾何意義:對(duì)于 (1)共線(平行)特點(diǎn):與為共線向量,其中時(shí),與同向;時(shí),與反向 (2)模長(zhǎng)關(guān)系: 3、與向量模長(zhǎng)問題相關(guān)的定理: (1)三角形中的相關(guān)定理:設(shè)三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊為 ① 正弦定理: ② 余弦定理: (2)菱形:對(duì)角線垂直平分,且為內(nèi)角的角平分線 特別的,對(duì)于底角的菱形,其中一條對(duì)角線將此菱形分割為兩個(gè)全等的等邊三角形. (3)矩形:若四邊形的平行四邊形,則對(duì)角線相等是該四邊形為矩形的充要條件 4、利用幾何法求模長(zhǎng)的條件:條件中的向量運(yùn)算可構(gòu)成特殊的幾何圖形,且所求向量與幾何圖形中的某條線段相關(guān),則可考慮利用條件中的幾何知識(shí)處理模長(zhǎng) 【經(jīng)典例題】 例1.【浙江省部分市學(xué)校(新昌一中、臺(tái)州中學(xué)等)2018屆高三上學(xué)期9+1聯(lián)考】如圖,點(diǎn)在以為直徑的圓上,其中,過向點(diǎn)處的切線作垂線,垂足為,則的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】連結(jié),則 ∵ ∴ ∴的最大值為1 故選B 點(diǎn)睛:(1)向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來,這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提,運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問題;(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題;(3)向量的兩個(gè)作用:①載體作用:關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”,轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題;②工具作用:利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題. 例2.已知向量的夾角為,且,則( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】思路:本題利用幾何圖形可解,運(yùn)用向量加減運(yùn)算作出如下圖形:可知,只需利用余弦定理求出 即可. 解1:如圖可得:,在中,有: 例3. 已知向量,且,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】 解2: 因?yàn)? 即 例4.【2018屆浙江省杭州市高三第二次檢測(cè)】記M的最大值和最小值分別為Mmax和Mmin.若平面向量a.b.c滿足a=b=a?b=c ?(a+2b-2c)=2則( ) A. a-cmax=3+72 B. a+cmax=3-72 C. a-cmin=3+72 D. a+cmin=3-72 【答案】A 【解析】由已知可得:a?b=a?bcosθ=2 cosθ=12,θ=π3 建立平面直角坐標(biāo)系,a=OA=2,0,b=OB=1,2,c=OC=x,y c?a+2b-2c=2 可得:x,y4-2x,23-2y=2 4x-2x2+23y-2y2=2 點(diǎn)睛:本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的數(shù)量積及模的關(guān)系.通過建立平面直角坐標(biāo)系將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,就可以求出距離的最值,解答本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化,理解并掌握本題的解題方法.有一定的難度. 例5.【2018屆北京市城六區(qū)高三一模】已知點(diǎn)M在圓C1: (x-1)2+(y-1)2=1上,點(diǎn)在圓C2: (x+1)2+(y+1)2=1上,則下列說法錯(cuò)誤的是 A. OMON的取值范圍為[-3-22,0] B. |OM+ON|取值范圍為[0,22] C. |OM-ON|的取值范圍為[22-2,22+2] D. 若OM=λON,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[-3-22,-3+22] 【答案】B 【解析】∵M(jìn)在圓C1上,點(diǎn)N在圓C2上, ∴∠MON≥90, ∴OM?ON≤0, 又OM≤2+1,ON≤2+1, ∴當(dāng)OM=2+1,ON=2+1時(shí), OM?ON取得最小值(2+1)2cosπ=﹣3﹣22,故A正確; 設(shè)M(1+cosα,1+sinα), N(﹣1+cosβ,﹣1+sinβ), 則OM+ON=(cosα+cosβ,sinα+sinβ), ∴|OM+ON|2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos(α﹣β)+2, ∴0≤|OM+ON|≤2,故B錯(cuò)誤; 故選B. 例6.【2017浙江,15】已知向量a,b滿足則的最小值是________,最大值是_______. 【答案】4, 【解析】 【名師點(diǎn)睛】本題通過設(shè)入向量的夾角,結(jié)合模長(zhǎng)公式, 解得,再利用三角有界性求出最大、最小值,屬中檔題,對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求. 例7.【2017課標(biāo)1,理13】已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則| a +2 b |= . 【答案】 【解析】 試題分析: 所以. 秒殺解析:利用如下圖形,可以判斷出的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)的菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度,則為. 例8.【2018屆山西省孝義市高三下學(xué)期一?!恳阎蛄縜與b的夾角是5π6,且a=a+b,則向量a與a+b的夾角是__________. 【答案】120° 【解析】分析:先根據(jù)題意畫出平行四邊形,再解三角形得解. 詳解:如圖所示,AB=a,AD=b,AC=a+b,∠DAB=1500, ∴∠B=300. ∵|a|=|a+b|, ∴∠B=∠ACB=300, ∴∠CAB=1200. 所以向量a與a+b的夾角是120. 故填120. 例9.【2018屆湖北省高三4月調(diào)研】已知向量與的夾角為30,,則的最大值為_________. 【答案】 【解析】分析:由題意,利用基本不等式和向量的運(yùn)算,求的,進(jìn)而可求得的最大值. 所以 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立, 所以. 點(diǎn)睛:平面向量的計(jì)算問題,往往有兩種形式,一是利用數(shù)量積的定義式,二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,涉及幾何圖形的問題,先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用,利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件,可將有關(guān)角度問題、線段長(zhǎng)問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決. 例10.已知平面向量滿足,且,若向量的夾角為,則的最大值是_________. 【答案】 ,即 答案: 【精選精練】 1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AB=a, BC=b, AC=c,則a+b+c等于( ) A. 2 B. 3 C. 22 D. 3 【答案】C 【解析】分析:根據(jù)平面向量的基本定理,得到a+b+c=AB+BC+AC=2AC,即可求解其模. 詳解:因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為1,AB=a,BC=b,AC=c, 則a+b+c=AB+BC+AC=2AC, 因?yàn)锳B=BC=1,AB⊥BC,所以a+b+c=22,故選C. 點(diǎn)睛:本題考查了兩個(gè)向量的加減法的法則,以及其幾何意義,向量的模模的方法,運(yùn)用向量和三角形法則求出向量的和是解題的關(guān)鍵. 2.【2018屆山東省棲霞市第一中學(xué)高三4月模擬】已知向量a=1,-1,b=x,2,且a⊥b,則a+b的值為( ) A. 2 B. 7 C. 22 D. 10 【答案】D 3.【浙江省嘉興第一中學(xué)2018屆高三9月基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)試】若a=b=c=2,且a?b=0,a-c?b-c≤0,則a+b-c的取值范圍是( ) A. 0,22+2 B. 0,2 C. 22-2,22+2 D. 22-2,2 【答案】D 【解析】 故選:D. 4.對(duì)于任意向量a,b,c,下列說法正確的是( ) A. |a+b+c|≥|a|-|b|-|c| B. |a+b+c|≥|a|+|b|-|c| C. |a+b+c|≥|a|+|b| D. |a+b+c|≥|a|-|b| 【答案】A 【解析】由題意,根據(jù)向量加法的三角形法則,且三角形兩邊之差小于第三邊,則a+b+c=a+b+c=a+b-c,同理a+b≥a-b,所以a+b+c≥a-b-c,故正確答案為A. 5.已知向量, 滿足: 則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的模運(yùn)算即可求出. 詳解:∵||=3,||=2,|+|=4, ∴|+|2=||2+||2+2=16, ∴2=3, ∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10, ∴|﹣|=, 故選:D. 6.【2018屆四川省綿陽市三診】中, , , ,點(diǎn)是內(nèi)(包括邊界)的一動(dòng)點(diǎn),且 ,則的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 因?yàn)?,所以的最大值為,故,選B. 點(diǎn)睛:本題中向量的模長(zhǎng)、數(shù)量積都是已知的,故以其為基底計(jì)算,其中的取值范圍可以由的位置來確定. 7.【2018屆遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高考模擬】已知ΔOAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形,若點(diǎn)P滿足OP=2-tOA+tOBt∈R,則AP的最小值為( ) A. 3 B. 1 C. 32 D. 34 【答案】C 【解析】分析:以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)B為x軸,建立坐標(biāo)系,可得AP=OP-OA=12t+12,32-32t,AP =t2-t+1,利用配方法可得AP的最小值. AP=12t+122+32-32t2 =t2-t+1=t-122+34≤32,故選C. 點(diǎn)睛:本題主要考查向量的模與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于難題.向量的運(yùn)算有兩種方法,一是幾何運(yùn)算,往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答,運(yùn)算法則是:(1)平行四邊形法則;(2)三角形法則;二是坐標(biāo)運(yùn)算:建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答(求最值與求范圍問題往往運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算來解答). 8.【2018屆湖南省永州市三?!吭讦BC中,∠BAC=600,AB=5,AC=6,D是AB上一點(diǎn),且AB?CD=-5,則|BD|等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 在ΔABC中,∠BAC=600,AB=5,AC=6,D是AB是上一點(diǎn),且AB?CD=-5, 如圖所示, 設(shè)AD=kAB,所以CD=AD-AC=kAB-AC, 所以AB?CD=AB?(kAB-AC)=kAB2-AB?AC=25k-5612=25k-15=-5, 解得k=25,所以BD=(1-25)AB=3,故選C. 8.【浙江省臺(tái)州市2018屆高三上學(xué)期期末】已知, 是兩個(gè)非零向量,且, ,則的最大值為( ) A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 9.【2018屆四川省蓉城名校高三4月聯(lián)考】已知圓: , : ,動(dòng)圓滿足與外切且與內(nèi)切,若為上的動(dòng)點(diǎn),且,則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵圓: ,圓: , ,選A. 10.設(shè)向量, , 滿足, , 則的最大值等于( ) A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 ∵,且,∴的夾角為120, 設(shè) 則 如圖所示, 則∠AOB=120;∠ACB=60 ∴∠AOB+∠AOC=180 ∴A,O,B,C四點(diǎn)共圓, ∵, ∴ 由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=. 當(dāng)OC為直徑時(shí), 最大,最大為2. 故選:A. 點(diǎn)睛:本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式、余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式,一是,二是,主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角, (此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直則;(4)求向量 的模(平方后需求). 11. a=1,a與b的夾角為60°,則a-b的最小值是______,a-bb的最小值是_______. 【答案】 32 32 ∴|a-b|2|b|2=1|b|2-1|b|+1=(1|b|-12)2+34≥34,∴|a-b||b|≥32,即a-bb的最小值是32. 12.【2018屆天津市十二校二?!恳阎苯翘菪蜛BCD中,AD//BC,∠BAD=90°,∠ADC=45°,AD=2,BC=1,P是腰CD上的動(dòng)點(diǎn),則3PA+BP的最小值為__________. 【答案】522 【解析】分析:以DA為x軸,D為原點(diǎn),過D與DA垂直的直線為y軸,建立坐標(biāo)系,可設(shè)Pt,t,可得3PA+BP=4-2t,-2t-1,3PA+BP=4-2t2+-2t-12,利用二次函數(shù)配方法可得結(jié)果. 詳解: 以DA為x軸,D為原點(diǎn),過D與DA垂直的直線為y軸,建立坐標(biāo)系, =8t-342+252 ≥252=522, 即3PA+BP的最小值為522,故答案為522.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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