《2019高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù) 3.1.3 復數(shù)的幾何意義學案 新人教B版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù) 3.1.3 復數(shù)的幾何意義學案 新人教B版選修2-2.doc（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

3.1.3　復數(shù)的幾何意義 1．掌握復數(shù)的幾何意義，即能夠掌握復數(shù)與復平面內(nèi)的點的對應關系，掌握向量、復數(shù)及復平面上點的坐標之間的轉(zhuǎn)化關系． 2．能夠利用復數(shù)的幾何意義解決一些較簡單的題目． 1．復數(shù)的幾何表示 根據(jù)復數(shù)相等的定義，復數(shù)z＝a＋bi被一個有序?qū)崝?shù)對(a，b)所______確定，而每一個有序?qū)崝?shù)對(a，b)，在平面直角坐標系中有唯一確定一點Z(a，b)(或一個向量)．這就是說，每一個復數(shù)，對應著平面直角坐標系中唯一的______(或一個向量)；反過來，平面直角坐標系中每一個點(或每一個向量)，也對應著唯一的一個有序?qū)崝?shù)對．這樣我們通過有序?qū)崝?shù)對，可以建立復數(shù)z＝a＋bi和點Z(a，b)(或向量)之間的一一對應關系．點Z(a，b)或向量是復數(shù)z的______表示(如圖)． 復數(shù)z＝a＋bi有序?qū)崝?shù)對(a，b)點Z(a，b)． 【做一做1－1】對于復平面，下列命題中是真命題的是(　　)． A．虛數(shù)集和各個象限內(nèi)的點的集合是一一對應的 B．實、虛部都是負數(shù)的虛數(shù)的集合與第二象限內(nèi)的點的集合是一一對應的 C．實部是負數(shù)的復數(shù)的集合與第二、三象限的點的集合是一一對應的 D．實軸上方的點的集合與虛部為正數(shù)的復數(shù)的集合是一一對應的 【做一做1－2】設z＝(2a2＋5a－3)＋(a2－2a＋3)i(a∈R)，則下列命題中正確的是(　　)． A．z的對應點Z在第一象限 B．z的對應點Z在第四象限 C．z不是純虛數(shù) D．z是虛數(shù) 2．復平面 建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做______．在復平面內(nèi)，x軸叫做______，y軸叫做______．x軸的單位是1，y軸的單位是i.實軸與虛軸的交點叫做原點，原點(0,0)對應復數(shù)0. (1)復數(shù)與向量建立一一對應關系的前提是起點都是原點． (2)復數(shù)z的幾何表示為我們用向量方法解決復數(shù)問題或用復數(shù)方法解決向量問題創(chuàng)造了條件． (3)為了方便起見，我們常把復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)說成點Z或說成向量，并規(guī)定：相等向量表示同一個復數(shù)． 【做一做2】下面有關復平面的命題，其中正確的有________． ①實軸與虛軸無交點； ②實軸上的點對應的復數(shù)為實數(shù)，虛軸上的點對應的復數(shù)為虛數(shù)； ③實軸與虛軸的單位都是1； ④實數(shù)對應的點在實軸上，純虛數(shù)對應的點在虛軸上． 3．復數(shù)的模、共軛復數(shù) (1)設＝a＋bi(a，b∈R)，則向量的長度叫做復數(shù)a＋bi的____(或絕對值)，記作|a＋bi|，|a＋bi|＝________. (2)如果兩個復數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復數(shù)叫做互為______復數(shù)．復數(shù)z的共軛復數(shù)用表示． 說明：①復數(shù)z的模即有向線段的長度或兩點間的距離．在數(shù)軸(一元坐標)上我們叫實數(shù)的絕對值，在直角坐標系(二元坐標)上我們叫向量的模，但叫絕對值也可以．其本質(zhì)都是線段的長．②由|z|＝，得|z|2＝a2＋b2，而由a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，可得公式z＝|z|2＝||2，這一公式在分解因式、復數(shù)與實數(shù)的互化、模及共軛復數(shù)的運算中都應用很廣泛． 【做一做3－1】復數(shù)i＋2i2的共軛復數(shù)是(　　)． A．2＋i B．2－i C．－2＋i D．－2－i 【做一做3－2】滿足條件|z|＝|3＋4i|的復數(shù)z在復平面上對應的點的軌跡是(　　)． A．一條直線 B．兩條直線 C．圓 D．橢圓 1．如何理解復數(shù)的兩種幾何形式？ 剖析： 這種對應關系架起了聯(lián)系復數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復數(shù)問題可以用幾何方法解決，而幾何問題也可以用復數(shù)方法解決(即數(shù)形結合法)，增加了解決復數(shù)問題的途徑． 復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)．復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應的向量是以原點O為起點的，否則就談不上一一對應，因為復平面上與相等的向量有無數(shù)個． 2．復數(shù)的模、共軛復數(shù)有什么聯(lián)系？ 剖析：(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模用|z|表示，其公式為|z|＝，它既是z對應的向量的長度又是其對應的點Z(a，b)到原點的距離． (2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數(shù)為＝a－bi，它們對應的點關于實軸對稱．當b＝0時，z＝，此時z與對應的點是實軸上的同一個點．如果z＝，可以推得z為實數(shù)．由此可得z＝?z為實數(shù)．|z|2＝z. 題型一 復數(shù)的幾何表示 【例題1】已知a∈R，則z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所對應的點在第幾象限？復數(shù)z所對應的點的軌跡是什么？ 分析：根據(jù)復數(shù)與復平面上點的對應關系知，復數(shù)z對應的點在第幾象限與復數(shù)z的實部和虛部的符號有關；求復數(shù)z對應的點的軌跡問題，首先把z表示成為z＝x＋yi(x，y∈R)的形式，然后尋求x，y之間的關系，但要注意參數(shù)限定的條件． 題型二 共軛復數(shù) 【例題2】已知x－1＋yi與i－3x是共軛復數(shù)，求實數(shù)x與y的值． 分析：根據(jù)共軛復數(shù)及復數(shù)相等的概念列方程組求x，y. 反思：復數(shù)z的共軛復數(shù)用來表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi(a，b∈R)．在復平面內(nèi)，點Z(a，b)對應復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)；點(a，－b)對應復數(shù)＝a－bi(a，b∈R)，點Z和關于實軸對稱． 題型三 復數(shù)的?！纠}3】 已知復數(shù)z1＝－i，z2＝－＋i. (1)求||及||的值并比較大??； (2)設z∈C，滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點Z的集合是什么圖形？ 分析：根據(jù)模的定義及幾何意義來求解． 反思：復數(shù)的模表示復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點到原點的距離．計算復數(shù)的模時，應先找出復數(shù)的實部與虛部，然后再利用公式進行計算，復數(shù)的?？梢员容^大?。? 題型四 易錯辨析 易錯點：復數(shù)的模是實數(shù)的絕對值概念的擴充，但在求解有關問題時，不能當成實數(shù)的“絕對值”加以求解，否則易丟解、漏解，造成答案不完整或錯誤． 【例題4】求方程－5|x|＋6＝0在復數(shù)集上解的個數(shù)． 錯解：∵－5|x|＋6＝0，∴5|x|＝6，即|x|＝， ∴x＝，故原方程在復數(shù)集上有兩個解． 1如果復數(shù)a＋bi在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則(　　)． A．a(chǎn)＞0，b＜0 B．a(chǎn)＞0，b＞0 C．a(chǎn)＜0，b＜0 D．a(chǎn)＜0，b＞0 2復數(shù)z＝3a－6i的模為，則實數(shù)a的值為(　　)． A． B．－ C． D． 3若a，b∈R，z＝a＋bi，我們稱復數(shù)－a－bi為z的相反復數(shù)，則(　　)． A．復平面上表示z和它的相反復數(shù)的點關于虛軸對稱 B．復平面上表示z的共軛復數(shù)的點與表示z的相反復數(shù)的點關于虛軸對稱 C．z的共軛復數(shù)的相反復數(shù)是z D．z的相反復數(shù)與不相等 4復數(shù)z＝1＋itan 200的模是________． 5已知θ∈，復數(shù)z＝2cos θ＋isin θ，則|z|的取值范圍是________． 答案： 基礎知識梳理 1．唯一　一個點　幾何 【做一做1－1】D　當虛數(shù)為純虛數(shù)時，所對應的點位于虛軸上，不屬于任何象限，因此選項A不正確；實、虛部都是負數(shù)的虛數(shù)的集合與第三象限內(nèi)的點的集合是一一對應的，因此選項B不正確；實部是負數(shù)的實數(shù)所對應的點位于實軸上，不屬于第二、三象限，因此選項C不正確；選項D正確． 【做一做1－2】D　由2a2＋5a－3＝(2a－1)(a＋3)，得其實部可正，可負也可以是零，而虛部a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，故z是虛數(shù)． 2．復平面　實軸　虛軸 【做一做2】④　由于實軸與虛軸相交于原點，故①錯；由于原點也在虛軸上，它與復數(shù)0對應，故②不正確；虛軸的單位為i，所以③錯；④正確． 3．(1)?！　?2)共軛 【做一做3－1】D　i＋2i2＝－2＋i，其共軛復數(shù)是－2－i. 【做一做3－2】C　|3＋4i|＝＝5.故復數(shù)z的模為5，即點Z到原點的距離等于5，因此滿足條件|z|＝5的點Z的集合是以原點為圓心，以5為半徑的圓． 典型例題領悟 【例題1】解：由于a2－2a＋4＝(a－1)2＋3＞0， a2－2a＋2＝(a－1)2＋1＞0， ∴復數(shù)z的實部為正，虛部為負，即復數(shù)z對應的點在第四象限． 設z＝x＋yi(x，yR)，則 上述兩式相加，得x＋y＝2. 又x＝a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3， ∴復數(shù)z對應的點的軌跡是一條射線，其方程為x＋y－2＝0(x≥3)． 【例題2】解：i－3x的共軛復數(shù)為－3x－i，所以 x－1＋yi＝－3x－i，從而解得 【例題3】解：(1)||＝|＋i|＝＝2. ||＝|－－i|＝＝1. 所以||＞||. (2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2. 因為|z|≥1表示圓|z|＝1上及其外部所有點組成的集合，|z|≤2表示圓|z|＝2上及其內(nèi)部所有點組成的集合，故符合題設條件的點的集合是以O為圓心，以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)(包括邊界)，如圖． 【例題4】錯因分析：錯解中將|x|看成了實數(shù)的絕對值，忽略在復數(shù)集上解方程而導致錯誤． 正解：設x＝a＋bi(a，bR)，原方程可化為＝，即a2＋b2＝，在復平面上滿足此條件的點有無數(shù)個，所以原方程在復數(shù)集上有無數(shù)個解． 隨堂練習鞏固 1．D 2．C　∵(3a)2＋(－6)2＝40，∴a＝. 3．B　選項A中應關于原點對稱；選項C中因為＝a－bi，則的相反復數(shù)為－a＋bi，并非等于z；選項D中若z為純虛數(shù)，則z的相反復數(shù)與相等． 4．　|z|＝＝＝＝. 5．　∵|z|＝＝＝， 又θ，∴≤cos θ≤1，∴≤1＋3cos2θ≤4， 故≤|z|≤2.