2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 3-1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算但因?yàn)闇y試 新人教B版
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1、 2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 3-1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算但因?yàn)闇y試 新人教B版 1.(文)(2011龍巖質(zhì)檢)f ′(x)是f(x)=x3+2x+1的導(dǎo)函數(shù),則f ′(-1)的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] C [解析] ∵f ′(x)=x2+2,∴f ′(-1)=3. (理)(2011青島質(zhì)檢)設(shè)f(x)=xlnx,若f ′(x0)=2,則x0=( ) A.e2 B.e C. D.ln2 [答案] B [解析] f ′(x)=1+lnx,∴f ′(x0)=1+lnx0=2, ∴l(xiāng)nx0=1,∴x0=e,故選B.
2、2.(2011皖南八校聯(lián)考)直線y=kx+b與曲線y=x3+ax+1相切于點(diǎn)(2,3),則b的值為( ) A.-3 B.9 C.-15 D.-7 [答案] C [解析] 將點(diǎn)(2,3)分別代入曲線y=x3+ax+1和直線y=kx+b,得a=-3,2k+b=3. 又k=y(tǒng)′|x=2=(3x2-3)|x=2=9, ∴b=3-2k=3-18=-15. 3.(文)(2011廣東省東莞市模擬)已知曲線y=x2的一條切線的斜率為,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( ) A.4 B.3 C.2 D. [答案] C [解析] k=y(tǒng)′=x=,∴x=2. (理)(2011廣東
3、華南師大附中測試)曲線y=2x2在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程是( ) A.4x-y-2=0 B.4x+y-2=0 C.4x+y+2=0 D.4x-y+2=0 [答案] A 1 / 15 [解析] k=y(tǒng)′|x=1=4x|x=1=4,∴切線方程為y-2=4(x-1),即4x-y-2=0. 4.(文)(2010黑龍江省哈三中)已知y=tanx,x∈,當(dāng)y′=2時(shí),x等于( ) A. B.π C. D. [答案] C [解析] y′=(tanx)′=′===2,∴cos2x=,∴cosx=, ∵x∈,∴x=. (理)(2010黑龍江省哈三中)已知y=,
4、x∈(0,π),當(dāng)y′=2時(shí),x等于( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] y′= ==2,∴cosx=-, ∵x∈(0,π),∴x=. 5.(2011山東淄博一中期末)曲線y=x3+x在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為( ) A.1 B. C. D. [答案] B [解析] ∵y′=x2+1,∴k=2,切線方程y-=2(x-1),即6x-3y-2=0,令x=0得 y=-,令y=0得x=,∴S==. 6.(文)已知f(x)=logax(a>1)的導(dǎo)函數(shù)是f ′(x),記A=f ′(a),B=f(a+1)-f(a),C=f
5、 ′(a+1),則( ) A.A>B>C B.A>C>B C.B>A>C D.C>B>A [答案] A [解析] 記M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),則由于B=f(a+1)-f(a)=,表示直線MN的斜率,A=f ′(a)表示函數(shù)f(x)=logax在點(diǎn)M處的切線斜率;C=f ′(a+1)表示函數(shù)f(x)=logax在點(diǎn)N處的切線斜率.所以,A>B>C. (理)設(shè)函數(shù)f(x)=sin-1(ω>0)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的最大值為3,則f(x)圖象的一條對(duì)稱軸方程是( ) A.x= B.x= C.x= D.x= [答案] A [解析] f ′(
6、x)=ωcos的最大值為3, 即ω=3, ∴f(x)=sin-1. 由3x+=+kπ得,x=+ (k∈Z). 故A正確. 7.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(5,f(5))處的切線方程是y=-x+8,則f(5)+f ′(5)=________. [答案] 2 [解析] 由條件知f ′(5)=-1,又在點(diǎn)P處切線方程為y-f(5)=-(x-5),∴y=-x+5+f(5),即y=-x+8,∴5+f(5)=8,∴f(5)=3,∴f(5)+f ′(5)=2. 8.(文)(2011北京模擬)已知函數(shù)f(x)=3x3+2x2-1在區(qū)間(m,0)上總有f ′(x)≤0成立,則
7、m的取值范圍為________. [答案] [-,0) [解析] ∵f ′(x)=9x2+4x≤0在(m,0)上恒成立,且f ′(x)=0的兩根為x1=0,x2=-,∴-≤m<0. (理)設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導(dǎo)函數(shù)是f ′(x),若f ′(x)是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為________. [答案] y=-3x [解析] f ′(x)=3x2+2ax+(a-3), 又f ′(-x)=f ′(x),即3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3) 對(duì)任意x∈R都成立, 所以a=0,f ′(x)=3x2-3,f ′(0)=
8、-3, 曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y=-3x. 9.(2011濟(jì)南模擬)設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=lgxn,則a1+a2+…+a99的值為________. [答案]?。? [解析] 點(diǎn)(1,1)在曲線y=xn+1(n∈N*)上,點(diǎn)(1,1)為切點(diǎn),y′=(n+1)xn,故切線的斜率為k=n+1,曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程y-1=(n+1)(x-1),令y=0得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn=,故a1+a2+…+a99=lg(x1x2…x99)=lg(…)=lg=-2. 10.(文)設(shè)函數(shù)y=ax3+bx2+cx
9、+d的圖象與y軸交點(diǎn)為P,且曲線在P點(diǎn)處的切線方程為12x-y-4=0. 若函數(shù)在x=2處取得極值0,試確定函數(shù)的解析式. [解析] ∵y=ax3+bx2+cx+d的圖象與y軸的交點(diǎn)為P(0,d), 又曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=12x-4,P點(diǎn)坐標(biāo)適合方程,從而d=-4; 又切線斜率k=12,故在x=0處的導(dǎo)數(shù)y′|x=0=12而y′|x=0=c,從而c=12; 又函數(shù)在x=2處取得極值0,所以 即 解得a=2,b=-9 所以所求函數(shù)解析式為y=2x3-9x2+12x-4. (理)(2010北京東城區(qū))已知函數(shù)f(x)=ax2+blnx在x=1處有極值. (1)求a,b的
10、值; (2)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間. [解析] (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+blnx, 所以f ′(x)=2ax+. 又函數(shù)f(x)在x=1處有極值, 所以,即, 可得a=,b=-1. (2)由(1)可知f(x)=x2-lnx,其定義域是(0,+∞), 且f ′(x)=x-=. 當(dāng)x變化時(shí),f ′(x),f(x)的變化情況如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) f ′(x) - 0 + f(x) ↘ 極小值 ↗ 所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1),單調(diào)增區(qū)間是(1,+∞). 11.(文)(2
11、011聊城模擬)曲線y=ex在點(diǎn)(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為( ) A.e2 B.2e2 C.e2 D. [答案] D [解析] y′|x=2=e2,∴切線方程為y-e2=e2(x-2), 令x=0得y=-e2,令y=0得x=1, ∴所求面積S=. (理)(2011湖南文,7)曲線y=-在點(diǎn)M(,0)處的切線的斜率為( ) A.- B. C.- D. [答案] B [解析] ∵y′= =,∴y′|x==. 12.(文)(2011江西理,4)若f(x)=x2-2x-4lnx,則f ′(x)>0的解集為( ) A.
12、(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(-1,0)
[答案] C
[解析] 因?yàn)閒(x)=x2-2x-4lnx,
∴f ′(x)=2x-2-=>0,
即,解得x>2,故選C.
(理)(2011廣東省汕頭市四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)<,則f(x)<+的解集為( )
A.{x|-1
13、)在R上是減函數(shù),φ(1)=f(1)--=1-1=0, ∴φ(x)=f(x)--<0的解集為{x|x>1},選D. 13.(文)二次函數(shù)y=f(x)的圖象過原點(diǎn),且它的導(dǎo)函數(shù)y=f ′(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線,則函數(shù)y=f(x)的圖象的頂點(diǎn)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] C [解析] 由題意可設(shè)f(x)=ax2+bx,f ′(x)=2ax+b,由于f ′(x)圖象是過第一、二、三象限的一條直線,故2a>0,b>0,則f(x)=a(x+)2-,頂點(diǎn)(-,-)在第三象限,故選C. (理)函數(shù)f(x)=xcosx的
14、導(dǎo)函數(shù)f ′(x)在區(qū)間[-π,π]上的圖象大致為( ) [答案] A [解析] ∵f(x)=xcosx, ∴f ′(x)=cosx-xsinx, ∴f ′(-x)=f ′(x),∴f ′(x)為偶函數(shù),排除C; ∵f ′(0)=1,排除D; 由f ′=-<0,f ′(2π)=1>0,排除B,故選A. 14.(文)(2011山東省濟(jì)南市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)M(1,f(1))處的切線方程是2x-3y+1=0,則f(1)+f ′(1)=________. [答案] [解析] 由題意知點(diǎn)M在f(x)的圖象上,也在直線2x-3y+1=0上,∴21-3f(1)+1=
15、0,∴f(1)=1,
又f ′(1)=,∴f(1)+f ′(1)=.
(理)(2011朝陽區(qū)統(tǒng)考)若曲線f(x)=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[答案] (-∞,0)
[解析] 由題意,可知f ′(x)=3ax2+,又因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線,所以3ax2+=0?a=-(x>0)?a∈(-∞,0).
15.(文)(2010北京市延慶縣???已知函數(shù)f(x)=x3-(a+b)x2+abx,(0
16、最值;
(3)設(shè)f(x)在x=s與x=t處取得極值,其中s 17、
0
-
0
+
f(x)
0
遞增
遞減
-
遞增
6
所以f(x)max=6;f(x)min=-.
(3)證明:f ′(x)=3x2-2(a+b)x+ab,
依據(jù)題意知s,t為二次方程f ′(x)=0的兩根.
∵f ′(0)=ab>0,f ′(a)=a2-ab=a(a-b)<0,
f ′(b)=b2-ab=b(b-a)>0,
∴f ′(x)=0在區(qū)間(0,a)與(a,b)內(nèi)分別有一個(gè)根.
∵s 18、(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求證:f(x)≥g(x) (x>0).
[解析] (1)設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x>0)的公共點(diǎn)為(x0,y0),∴x0>0.
∵f ′(x)=x+2a,g ′(x)=,
由題意f(x0)=g(x0),且f ′(x0)=g ′(x0).
∴,
由x0+2a=得x0=a或x0=-3a(舍去).
則有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna.
令h(a)=a2-3a2lna (a>0),
則h′(a)=2a(1-3lna).
由h′(a)>0得,0
19、)<0得,a>e.
故h(a)在(0,e)為增函數(shù),在(e,+∞)上為減函數(shù),
∴h(a)在a=e時(shí)取最大值h(e)=e.
即b的最大值為e.
(2)設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2lnx-b(x>0),
則F ′(x)=x+2a-= (x>0).
故F(x)在(0,a)為減函數(shù),在(a,+∞)為增函數(shù),
于是函數(shù)F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.
故當(dāng)x>0時(shí),有f(x)-g(x)≥0,
即當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥g(x).
1.(2011安徽省“江南十?!备呷?lián)考)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ′( 20、x),且滿足f(x)=2xf ′(1)+x2,則f ′(1)=( )
A.-1 B.-2
C.1 D.2
[答案] B
[解析] f ′(x)=2f ′(1)+2x,令x=1得f ′(1)=2f ′(1)+2,∴f ′(1)=-2,故選B.
2.(2011茂名一模)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線的斜率為( )
A.4 B.-
C.2 D.-
[答案] A
[解析] ∵f(x)=g(x)+x2,∴f ′(x)=g′(x)+2x,
∴f ′( 21、1)=g′(1)+2,由條件知,g′(1)=2,∴f ′(1)=4,故選A.
3.(2010新課標(biāo)高考)曲線y=在點(diǎn)(-1,-1)處的切線方程為( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=-2x-3 D.y=-2x-2
[答案] A
[解析] ∵y′==,
∴k=y(tǒng)′|x=-1==2,
∴切線方程為:y+1=2(x+1),即y=2x+1.
4.(2011湖南湘西聯(lián)考)下列圖象中有一個(gè)是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象,則f(-1)=( )
A. B.-
C. D.-
[答案] B
22、
[解析] f ′(x)=x2+2ax+(a2-1),∵a≠0,
∴其圖象為最右側(cè)的一個(gè).
由f ′(0)=a2-1=0,得a=1.
由導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象可知,a<0,
故a=-1,f(-1)=--1+1=-.
5.(2011廣東省佛山市測試)設(shè)f(x)、g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),f ′(x)、g′(x)分別為f(x)、g(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,則當(dāng)a 23、(a)g(a)
[答案] C
[解析] 因?yàn)閒 ′(x)g(x)+f(x)g′(x)=[f(x)g(x)]′,所以[f(x)g(x)]′<0,所以函數(shù)y=f(x)g(x)在給定區(qū)間上是減函數(shù),故選C.
6.若函數(shù)f(x)=exsinx,則此函數(shù)圖象在點(diǎn)(4,f(4))處的切線的傾斜角為( )
A. B.0
C.鈍角 D.銳角
[答案] C
[解析] y′|x=4=(exsinx+excosx)|x=4=e4(sin4+cos4)=e4sin(4+)<0,故傾斜角為鈍角,選C.
7.(2010東北師大附中模擬)定義方程f(x)=f ′(x)的實(shí)數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的 24、“新駐點(diǎn)”,若函數(shù)g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ(x)=x3-1的“新駐點(diǎn)”分別為α,β,γ,則α,β,γ的大小關(guān)系為( )
A.α>β>γ B.β>α>γ
C.γ>α>β D.β>γ>α
[答案] C
[解析] 由g(x)=g′(x)得,x=1,∴α=1,由h(x)=h′(x)得,ln(x+1)=,故知1 25、
≤,即ln(x+1)≤,∴x+1≤,∴x≤-1與x≥1矛盾.
8.等比數(shù)列{an}中,a1=2,a8=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),則f ′(0)=( )
A.26 B.29 C.212 D.215
[答案] C
[解析] f ′(x)=x′[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′x
=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′x,
所以f ′(0)=(0-a1)(0-a2)…(0-a8)+[(0-a1)(0-a2)…(0-a8)]′0=a1a2…a8.
因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f ′(0)=84=212.
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