七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第五章 生活中的軸對(duì)稱 2 探索軸對(duì)稱的性質(zhì) 將軍飲馬模型試題(新版)北師大版.doc
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探索軸對(duì)稱的性質(zhì) 將軍飲馬模型 一、背景知識(shí): 【傳說】 早在古羅馬時(shí)代,傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者,名叫海倫.一天,一位羅馬將軍專程去拜訪他,向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題. 將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā),先到河邊飲馬,然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)B開會(huì),應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?這個(gè)問題的答案并不難,據(jù)說海倫略加思索就解決了它.從此以后,這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今. 【問題原型】將軍飲馬 造橋選址 費(fèi)馬點(diǎn) 【涉及知識(shí)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短,垂線段最短; 三角形兩邊三邊關(guān)系; 軸對(duì)稱 ;平移; 【解題思路】找對(duì)稱點(diǎn),實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直 二、將軍飲馬問題常見模型 1.兩定一動(dòng)型:兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小 例1:在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小,即PA+PB最小. 作法:連接AB,與直線l的交點(diǎn)Q, Q即為所要尋找的點(diǎn),即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處, PA+PB最小,且最小值等于AB. 原理:兩點(diǎn)之間線段最短。 證明:連接AB,與直線l的交點(diǎn)Q,P為直線l上任意一點(diǎn), 在⊿PAB中,由三角形三邊關(guān)系可知:AP+PB≧AB(當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取﹦) 例2:在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小, 即PA+PB的和最小. 關(guān)鍵:找對(duì)稱點(diǎn) 作法:作定點(diǎn)B關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC,與直線l的交點(diǎn)Q即為所要尋找的點(diǎn),即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處,PA+PB和最小,且最小值等于AC. 原理:兩點(diǎn)之間,線段最短 證明:連接AC,與直線l的交點(diǎn)Q,P為直線l上任意一點(diǎn), 在⊿PAC中,由三角形三邊關(guān)系可知:AP+PC≧AC(當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取﹦) 2.兩動(dòng)一定型 例3:在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A,在OM上找一點(diǎn)B,在ON上找一點(diǎn)C,使得△BAC周長(zhǎng)最短. 作法:作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A’,作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A’’,連接A’ A’’,與OM交于點(diǎn)B,與ON交于點(diǎn)C,連接AB,AC,△ABC即為所求. 原理:兩點(diǎn)之間,線段最短 例4:在∠MON的內(nèi)部有點(diǎn)A和點(diǎn)B,在OM上找一點(diǎn)C,在ON上找一點(diǎn)D,使得四邊形ABCD周長(zhǎng)最短. 作法:作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A’,作點(diǎn)B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接A’ B’,與OM交于點(diǎn)C,與ON交于點(diǎn)D,連接AC,BD,AB,四邊形ABCD即為所求. 原理:兩點(diǎn)之間,線段最短 3. 兩定兩動(dòng)型最值 例5:已知A.B是兩個(gè)定點(diǎn),在定直線l上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N,且MN長(zhǎng)度等于定長(zhǎng)d(動(dòng)點(diǎn)M位于動(dòng)點(diǎn)N左側(cè)),使AM+MN+NB的值最小. 提示:存在定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)問題一定要考慮平移 作法一:將點(diǎn)A向右平移長(zhǎng)度d得到點(diǎn)A’, 作A’關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A’’,連接A’’B,交直線l于點(diǎn)N,將點(diǎn)N向左平移長(zhǎng)度d,得到點(diǎn)M。 作法二:作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1,將點(diǎn)A1向右平移長(zhǎng)度d得到點(diǎn)A2,連接A2 B, 交直線l于點(diǎn)Q,將點(diǎn)Q向左平移長(zhǎng)度d,得到點(diǎn)Q。 原理:兩點(diǎn)之間,線段最短,最小值為A’’B+MN 例6:(造橋選址)將軍每日需騎馬從軍營(yíng)出發(fā),去河岸對(duì)側(cè)的瞭望臺(tái)觀察敵情,已知河流的寬度為30米,請(qǐng)問,在何地修浮橋,可使得將軍每日的行程最短? 例6:直線l1∥l2,在直線l1上找一個(gè)點(diǎn)C,直線l2上找一個(gè)點(diǎn)D,使得CD⊥l2, 且 AC+BD+CD最短. 作法:將點(diǎn)A沿CD方向向下平移CD長(zhǎng)度d至點(diǎn)A’,連接A’B,交l2于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DC⊥l2于點(diǎn)C,連接AC.則橋CD即為所求.此時(shí)最小值為A’B+CD 原理:兩點(diǎn)之間,線段最短, 4. 垂線段最短型 例7:在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A,在OM上找一點(diǎn)B,在ON上找一點(diǎn)C,使得AB+BC最短. 原理:垂線段最短 點(diǎn)A是定點(diǎn),OM,ON是定線, 點(diǎn)B.點(diǎn)C是OM、ON上要找的點(diǎn),是動(dòng)點(diǎn). 作法:作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A’,過點(diǎn)A’作A’C⊥ON, 交OM于點(diǎn)B,B.C即為所求。 例8:在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最小,即PA-PB最小. 作法:連接AB,作AB的中垂線與l的交點(diǎn),即為所求點(diǎn)P 此時(shí)|PA-PB |=0 原理:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等 例9:在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C,使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最大,即|PA-PB |最大 作法:延長(zhǎng)BA交l于點(diǎn)C,點(diǎn)C即為所求, 即點(diǎn)B.A.C三點(diǎn)共線時(shí),最大值為AB的長(zhǎng)度。 原理:三角形任意兩邊之差小于第三邊 例10:在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C,使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最大,即|PA-PB|最大 作法:作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB, 交交l于點(diǎn)P即為所求,最大值為AB的長(zhǎng)度。 原理:三角形任意兩邊之差小于第三邊 典型例題 三角形 1.如圖,在等邊△ABC中,AB = 6,AD⊥BC,E是AC上的一點(diǎn),M是AD上的一點(diǎn),且AE = 2,求EM+EC的最小值 解:點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B,連接BE,交AD于點(diǎn)M,則ME+MD最小, 過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H, 則EH = AH – AE = 3 – 2 = 1,BH = = = 3 在直角△BHE中,BE = = = 2- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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