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巧添輔助線證相似三角形 一、添加平行線構(gòu)造“A”、“8”型 1. 定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 （1）定理的基本圖形： （2）燕尾圖形輔助線的添加方法 注意： （1）選擇構(gòu)造平行線的點的原則為不破壞已知條件中的數(shù)量關(guān)系； （2）一般會出現(xiàn)兩組三角形相似，注意相似三角形的對應邊； （3）通過線段比例之間的等量代換求解。 2. 方法歸納： （1）遇燕尾，作平行，構(gòu)造“A”字“8”字一般行。 （2）引平行線應注意以下幾點： ①選點：一般選已知（或求證）中線段的比的前項或后項，以同一直線的線段的端點作為引平行線的點。 ②引平行線時，不破壞已知條件中的數(shù)量關(guān)系，盡量使較多已知線段、求證線段成比例。 二、作垂線構(gòu)造相似直角三角形 1. 基本圖形 2. 所用知識點 （1）等量代換——等角的余角相等。 （2）相似三角形對應高線的比等于相似比。 注意： （1）相似三角形中對應邊要找準。 （2）利用高線解決問題，一般會用到設(shè)未知數(shù)，列方程的思想。 例題 平行四邊形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求證：。 解析：作BM⊥AC于點M，可證△ABM∽△ACE，則AB?AE＝AM?AC，易得△BCM∽△CAF，則BC?AF＝CM?AC，故得出結(jié)論。 答案：作BM⊥AC于點M，則∠AMB＝∠AEC＝90， ∵∠BAM＝∠CAE，∴△ABM∽△ACE， ∴AB?AE＝AM?AC， ∵∠BCM＝∠CAF，易得△BCM∽△CAF， ∴BC?AF＝CM?AC， ∴。 ∵AD＝BC， ∴。 點撥：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，注意輔助線的添加。 【總結(jié)提高】 本節(jié)所講授內(nèi)容中，主要考查添加輔助線構(gòu)造相似三角形來解決線段、角度之間的關(guān)系。需注意以下四點： （1）添加輔助線的原則； （2）構(gòu)造出的基本模型； （3）相似三角形中的對應關(guān)系。 （4）復雜問題中等量代換的靈活應用。 例題 用一根手指頂住一個平面圖形內(nèi)的某點，如果平面圖形能保持平衡，那么這個點叫這個平面圖形的重心，平行四邊形的重心是對角線的交點，三角形的重心是三條中線的交點。請你用下圖證明三角形的重心分一條中線所成的兩條線段的比為1：2，即在△ABC中，BE，CD是兩條中線，它們交于G，求證：DG：CG＝EG：BG＝1：2。 解析：連接AG，交DE于點H，延長AG交BC于點F。根據(jù)三角形中位線定理得到，則F。通過△HEG∽△FBG的對應邊成比例證得結(jié)論。 答案：如圖，連接AG，交DE于點H，延長AG交BC于點F。 ∵點G是△ABC的重心， ∴點F是BC的中點。 ∴BF＝FC。 ∵D、E是AB、AC的中點， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE∥BC，， ∴HE∥BF，F(xiàn)。 ∴△HEG∽△FBG， ∴，即EG：BG＝1：2 同理 DG：CG＝1：2。 ∴。 點撥：本題考查了三角形的重心定理的證明，作輔助線構(gòu)造三角形的中位線和相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點。本定理要求學生能記住，并熟練應用。 （答題時間：30分鐘） 一、選擇題 *1.（綏化）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD上的一點，DE：EC＝2：3，連接AE、BE、BD，且AE、BD交于點F，則（　　） A. 2：5：23 B. 4：9：24 C. 2：3：5 D. 4：10：25 **2. 如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，點G、H在DC邊上，且。若AB＝15，BC＝16，則圖中陰影部分的面積是（　?。? A. 40 B. 60 C. 80 D. 70 **3. 如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q。求BP：PQ：QR＝（ ）。 A.3：1：2 B. 5：3：4 C. 6：5：4 D. 4：1：2 **4. 如圖，在△ABC中，D為AC上一點，CD＝2DA，∠BAC＝45，∠BDC＝60，CE⊥BD于E，連接AE，過E作EF∥CD交BC于F。下列結(jié)論：①BE＝EC；②BC2＝AC?DC；③S△BEC：S△BEA＝2：1；④；⑤。其中正確結(jié)論的個數(shù)有（　　） A. 2個 　 B. 3個 　 C. 4個 　 D. 5個 二、填空題 **5. （武清區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90，AB＝3，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為　 　。 **6. 如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AD交AB于點E，M為AE的中點，BF⊥BC交CM的延長線于點F，BD＝4，CD＝3。下列結(jié)論：①∠AED＝∠ADC；②；③AC?BE＝12；④3BF＝4AC，其中結(jié)論正確的是　 。 **7. （溫州一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，以點C為圓心作弧，分別交AC、CB的延長線于點D、F，連結(jié)DF，交AB于點E，已知，tan∠DFC＝2，則BC＝　 　， ＝　 　。 **8.（嘉興）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，BA＝BC。點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF。給出以下四個結(jié)論：①；②點F是GE的中點；③；④，其中正確結(jié)論的序號是　 　。 三、解答題 9. 如圖，AB為半圓的直徑，D為AB上一點，分別在半圓上取點E、F，使EA＝DA，F(xiàn)B＝DB，過D作AB的垂線，交半圓于C。 求證：CD平分EF。 *10. 在△ABC中，∠C＝90，AC＝4，BC＝3。 （1）如圖1，四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長； （2）如圖2，三角形內(nèi)并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，求正方形的邊長； （3）如圖3，三角形內(nèi)并排的三個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，求正方形的邊長； （4）如圖4，三角形內(nèi)并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，求正方形的邊長。 **11. （豐臺區(qū)二模）閱讀下列材料： 已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4，BC＝3，P為AC邊上的一動點，以PB，PA為邊構(gòu)造平行四邊形，求對角線PQ的最小值及此時的值是多少。 在解決這個問題時，小明聯(lián)想到在學習平行線間的距離時所了解的知識：端點分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短。進而，小明構(gòu)造出了如圖2的輔助線，并求得PQ的最小值為3。參考小明的做法，解決以下問題： （1）繼續(xù)完成閱讀材料中的問題：當PQ的長度最小時，＝　 　； （2）如圖3，延長PA到點E，使AE＝nPA（n為大于0的常數(shù)）。以PE，PB為邊作平行四邊形，那么對角線PQ的最小值為　 　，此時＝　 ??； （3）如圖4，如果P為AB邊上的一動點，延長PA到點E，使AE＝nPA（n為大于0的常數(shù)），以PE，PC為邊作平行四邊形，那么對角線PQ的最小值為　 　，此時＝　 　。 **12. 若已知：如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于點E，EF⊥BD，垂足為F，我們可以證明成立（不要求考生證明）。 若將圖中的垂線改為斜交，如圖，AB∥CD，AD，BC相交于點E，過點E作EF∥AB交BD于點F，則： （1）還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由； （2）請找出間的關(guān)系式，并給出證明。  1. D 解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出DC＝AB，DC∥AB，求出DE：AB＝2：5，根據(jù)相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面積比，根據(jù)三角形的面積公式求出△DEF和△EBF的面積比，即可求出答案。 2. D 解析：連接EF，過O作MN⊥DC于N，交EF于M，求出四邊形DEFC是矩形，推出EF∥CD，EF＝CD＝15，證△EOF∽△GOH，推出，求出ON＝2，OM＝6，根據(jù)陰影部分的面積＝S矩形DEFC－S△EFO－S△HOG，分別求出，代入即可。 3. A 解析：由四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，可證得△PBC∽△RBE，繼而可得，PB＝PR，又由點R為DE的中點，△PCQ∽△RDQ，可得，繼而可求得BP：PQ：QR的值。 4. C 解析：作AH⊥BD的延長線于H，作BG⊥CD于G，根據(jù)條件利用直角三角形的性質(zhì)求出∠EBA＝∠EAB，就可以得出BE＝AE。由∠ECD＝∠EAD，得出CE＝AE。可以得出①是正確的，設(shè)參數(shù)利用勾股定理就可以求出BC的值，從而得出結(jié)論②；根據(jù)等底的兩三角形面積之比等于高之比，運用相似三角形的性質(zhì)求出高的比就可以得出結(jié)論③；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出三角形相似，根據(jù)性質(zhì)求出EF與AD的數(shù)量關(guān)系，而得出結(jié)論④；根據(jù)三角函數(shù)值的定義建立直角三角形，用參數(shù)表示出相應邊的值就可以求出結(jié)論⑤。 5. 解析：以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應該過O作BC的垂線P′O，然后根據(jù)△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出PQ的最小值。解題的關(guān)鍵是作高線構(gòu)造各種相似三角形。 6. ①③④ 解析：①∠AED＝90－∠EAD，∠ADC＝90－∠DAC，∠EAD＝∠DAC；②易證△ADE∽△ACD，得DE：DA＝DC：AC＝3：AC，AC不一定等于4。③由①證△BED∽△BDA，得，得＝12；④連接DM，可證DM∥BF∥ AC，得FM：MC＝BD：DC＝4：3；易證△FMB∽△CMA，得比例線段求解。 7. 解析：由在Rt△ABC中，∠ABC＝90，tan∠DFC＝2，可得BE＝2BF，又由S△BEF＝9，即可求得BF與BE的長，然后過點C作CH⊥DF于點H，設(shè)DH＝h，可求得h的值，繼而由勾股定理求得BC的長；首先過點D作DM⊥BC于點M，利用三角形的面積求得DM的長，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得AB的長，繼而求得答案。 8. ①③ 解析：根據(jù)題意首先易證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例與BA＝BC，繼而證得正確；由點D是AB的中點，易證得BC＝2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE＝∠BCD，即可得，繼而可得；即可得，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，即可求得；則可得。 9. 證明：如圖，分別過點E、F作AB的垂線，G、H為垂足，連FA、EB。 易知：。 兩式相減得：，即。 于是：。 ∴DH＝GD。顯然，EG∥CD∥FH。故CD平分EF。 10. 解：（1）在圖1中作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N。 在Rt△ABC中，∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5，CN＝， ∵GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴， 設(shè)正方形邊長為x，則 ，∴x＝； （2）在圖2中作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N。 ∵GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴， 設(shè)每個正方形邊長為x，則， ∴x＝； （3）在圖3中作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N， ∵GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴， 設(shè)每個正方形的邊長為x，則， ∴x＝； （4）設(shè)每個正方形的邊長為x，同理得到：，則x＝。 11. 解：（1）如圖2， ∵四邊形APBQ是平行四邊形， ∴AP∥BQ，AP＝BQ。 ∵QP⊥AC，∠ACB＝90， ∴∠APQ＝∠C＝90。 ∴PQ∥BC。 ∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C＝90， ∴四邊形PCBQ是矩形。 ∴QB＝PC。 ∴AP＝PC。 ∴。 （2）如圖5， 由題意可知：當QP⊥AC時，PQ最短。 ∵QP⊥AC，∠ACB＝90，∴∠APQ＝∠C＝90?！郟Q∥BC。 ∵四邊形PBQE是平行四邊形，∴EP∥BQ，EP＝BQ。 ∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C＝90，∴四邊形PCBQ是矩形。 ∴QB＝PC，PQ＝BC＝3?！郋P＝PC。 ∵AE＝nPA，∴。 ∴。 ∴。 （3）過點C作CH⊥AB，垂足為H，如圖6， 由題意可知：當QP⊥AB時，PQ最短。 ∵QP⊥AB，CH⊥AB， ∴∠APQ＝∠AHC＝90。 ∴PQ∥HC。 ∵四邊形PCQE是平行四邊形， ∴EP∥CQ，EP＝CQ。 ∵PH∥CQ，PQ∥HC，∠PHC＝90， ∴四邊形PHCQ是矩形。 ∴QC＝PH，PQ＝HC。 ∴EP＝PH。 ∵AE＝nPA， ∴。 ∴。 ∵∠ACB＝90，BC＝3，AC＝4， ∴AB＝5。 ∵∠HAC＝∠CAB，∠AHC＝∠ACB＝90， ∴△AHC∽△ACB。 ∴。 ∵BC＝3，AC＝4，AB＝5， ∴。 ∴，。 ∴，。 ∴ 。 ∴。 ∴。 ∴。 12. 解：（1）成立。 證明：∵AB∥EF ∴ ∵CD∥EF ∴ ∴ ∴； （2）關(guān)系式為： 證明如下：分別過A作AM⊥BD于M，過E作EN⊥BD于N，過C作CK⊥BD交BD的延長線于K。 由題設(shè)可得： ∴ 即 又∵BD?AM＝S△ABD，BD?CK＝S△BCD ，BD?EN＝S△BED ∴。