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專題綜合檢測(cè)練（四） (120分鐘　150分) 第Ⅰ卷(選擇題,共60分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.在區(qū)域0≤x≤2,0≤y≤1 內(nèi)任取一點(diǎn)Px,y,滿足y≤-x2+2x的概率為 (　　) A.12 B.23 C.π4 D.4-π4 【解析】選C.如圖,曲線y=-x2+2x的軌跡是以(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓,由幾何概型得P=π22=π4. 2.已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且++4=0,現(xiàn)向△ABC內(nèi)隨機(jī)投擲一針,則該針扎在△PBC內(nèi)的概率為 (　　) A.14 B.13 C.12 D.23 【解析】選D.設(shè)邊BC的中點(diǎn)為D,因?yàn)?+4=0,所以2+4=0,所以=-2,所以S△PBC=23S△ABC,所以向△ABC內(nèi)隨機(jī)投擲一針,該針扎在△PBC內(nèi)的概率為23. 3.某景區(qū)在開(kāi)放時(shí)間內(nèi),每個(gè)整點(diǎn)時(shí)會(huì)有一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車,某人上午到達(dá)景區(qū)入口,準(zhǔn)備乘坐觀光車,則他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為 (　　) A.110 B.16 C.15 D.56 【解析】選B.因?yàn)槊總€(gè)整點(diǎn)發(fā)車,所以他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為1060=16. 4.甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為 (　　) A.13 B.12 C.23 D.34 【解析】選A.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種有9種不同的結(jié)果,分別為(紅,紅),(紅,白),(紅,藍(lán)),(白,紅),(白,白),(白,藍(lán)),(藍(lán),紅),(藍(lán),白),(藍(lán),藍(lán)).他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服有3種不同的結(jié)果,即(紅,紅),(白,白),(藍(lán),藍(lán)),故他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為39=13. 5.三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中,四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的大正方形,若直角三角形中較小的銳角α=π6,現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢,飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是 (　　) A.1-32 B.32 C.4-34 D.34 【解析】選A.因?yàn)樾≌叫蔚倪呴L(zhǎng)為 2cos π6-sin π6=3-1,小正方形的面積為(3-1)2=4-23, 所以向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢,飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是4-234=2-32=1-32. 6.已知正方形ABCD如圖所示,其中AC,BD相交于O點(diǎn),E,F,G,H,I,J分別為AD,AO,DO,BC,BO,CO的中點(diǎn),陰影部分中的兩個(gè)圓分別為△ABO與△CDO的內(nèi)切圓,若往正方形ABCD中隨機(jī)投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的概率為 (　　) A.1+(2-2)π2 B.1+(4-22)π4 C. 1+(6-42)π4 D.1+(6-22)π4 【解析】選C.依題意,不妨設(shè)AO=2,則四邊形EFOG與四邊形HIOJ的面積之和為S=2;兩個(gè)內(nèi)切圓的面積之和為S′=2π(2-2)2=(12-82)π,故所求概率 P=2+(12-82)π8=1+(6-42)π4. 7.(2018山東師范大學(xué)附中一模)在區(qū)間-π6,π2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則 sin x+cos x∈[1,2]的概率是 (　　) A.23 B.34 C.12 D.13 【解析】選B.因?yàn)閥=sin x+cos x=2sinx+π4∈[1,2], 又因?yàn)閤∈-π6,π2,所以x∈0,π2,所以所求的概率為P=π2π2+π6=34. 8.某公司某件產(chǎn)品的定價(jià)x與銷量y之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表,根據(jù)數(shù)據(jù),用最小二乘法得出y與x的線性回歸直線方程為=6x+6,則表格中n的值為 (　　) x 1 3 4 5 7 y 10 20 n 35 45 A.25 B.30 C.40 D.45 【解析】選C.因?yàn)閤=4,y=110+n5, 所以110+n5=64+6,解得n=40. 9.(2018長(zhǎng)沙一模)某地區(qū)想要了解居民生活狀況,先把居民按所在行業(yè)分為幾類,然后每個(gè)行業(yè)抽取150的居民家庭進(jìn)行調(diào)查,這種抽樣方法是 (　　) A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.系統(tǒng)抽樣 C.分類抽樣 D.分層抽樣 【解析】選D.由于居民按所在行業(yè)可分為不同的幾類,符合分層抽樣的特點(diǎn). 10.(2018 鄭州一模)某高中從高三年級(jí)甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿分140分)的莖葉圖如圖所示,其中甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81,乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86,若正實(shí)數(shù)a,b滿足a,G,b成等差數(shù)列且x,G,y成等比數(shù)列,則1a+4b的最小值為 (　　) A.49 B.2 C.94 D.9 【解析】選C.因?yàn)榧装鄬W(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81, 所以x=1,因?yàn)橐野鄬W(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86, 所以76+80+82+80+y+96+93+917=86, 所以y=4, 因?yàn)閤,G,y成等比數(shù)列,所以G2=xy=4, 因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b滿足a,G,b成等差數(shù)列, 所以a+b=4,所以1a+4b=1a+4ba+b4= 145+ba+4ab≥14(5+24)=94, 當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,即b=83,a=43時(shí)取等號(hào). 11.(2018蘭州五校聯(lián)考)下列兩變量中不存在相關(guān)關(guān)系的是 (　　) ①人的身高與視力; ②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系; ③某農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量; ④某同學(xué)考試成績(jī)與復(fù)習(xí)時(shí)間的投入量; ⑤勻速行駛的汽車的行駛的距離與時(shí)間; ⑥家庭收入水平與納稅水平; ⑦商品的銷售額與廣告費(fèi). A.①②⑤ B.①③⑦ C.④⑦⑤ D.②⑥⑦ 【解析】選A.①人的身高與視力無(wú)任何關(guān)系,故①不存在相關(guān)關(guān)系; ②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間,存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,故②不存在相關(guān)關(guān)系; ③某農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量,兩變量有關(guān)系,但不確定,故存在相關(guān)關(guān)系; ④某同學(xué)考試成績(jī)與復(fù)習(xí)時(shí)間的投入量,兩變量有關(guān)系,但不確定,故存在相關(guān)關(guān)系; ⑤勻速行駛的汽車的行駛的距離與時(shí)間,它們之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系,故不存在相關(guān)關(guān)系; ⑥家庭收入水平與納稅水平,存在相關(guān)關(guān)系; ⑦商品的銷售額與廣告費(fèi),兩變量有關(guān)系,但不確定,故存在相關(guān)關(guān)系. 12.在1, 2, 3, 6這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù),則數(shù)字2是這三個(gè)不同數(shù)字的平均數(shù)的概率是 (　　) A.14 B.13 C.12 D. 34 【解析】選A.在1, 2, 3, 6這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù),基本事件總數(shù)(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)共4個(gè),則數(shù)字2是這三個(gè)不同數(shù)字的平均數(shù)所包含的基本事件只有(1, 2, 3) 1個(gè).因此,數(shù)字2是這三個(gè)不同數(shù)字的平均數(shù)的概率是P=14. 第Ⅱ卷(非選擇題,共90分) 二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把正確答案填在題中橫線上) 13.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,8),其回歸直線方程是=13x+且x1+x2+…+x8=3,y1+y2+…+y8=5,則實(shí)數(shù)=____________. 【解析】因?yàn)閤1+x2+…+x8=3,所以x=38, 因?yàn)閥1+y2+…+y8=5,所以y=58, 因?yàn)榛貧w直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x,y), 所以58=1338+,解得=12. 答案:12 14.(2018湖北省八校聯(lián)考)通常,滿分為100分的試卷,60分為及格線.若某次滿分為100分的測(cè)試卷,100人參加測(cè)試,將這100人的卷面分?jǐn)?shù)按照[24,36), [36,48),…, [84,96)分組后繪制的頻率分布直方圖如圖所示.由于及格人數(shù)較少,某位老師準(zhǔn)備將每位學(xué)生的卷面得分采用“開(kāi)方乘以10取整”的方法進(jìn)行換算以提高及格率(實(shí)數(shù)a的取整等于不超過(guò)a的最大整數(shù)),如:某位學(xué)生卷面49分,則換算成70分作為他的最終考試成績(jī),則按照這種方式,這次測(cè)試的及格率將變?yōu)開(kāi)___________. 【解析】因?yàn)椴捎谩伴_(kāi)方乘以10取整”的方法進(jìn)行換算,原來(lái)的36分不及格變?yōu)?0分及格,因?yàn)樵瓉?lái)分?jǐn)?shù)低于36分的頻率為0.01512=0.180,所以換算后及格率將變?yōu)?-0.180=0.820. 答案:0.820 15.(2018衡水中學(xué)一模)某次考試有64名考生,隨機(jī)編號(hào)為0,1,2,…,63,依編號(hào)順序平均分成8組,組號(hào)依次為1,2,3,…,8.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為8的樣本,若在第一組中隨機(jī)抽取的號(hào)碼為5,則在第6組中抽取的號(hào)碼為_(kāi)___________. 【解析】因?yàn)樵诘谝唤M中隨機(jī)抽取的號(hào)碼為5,所以由系統(tǒng)抽樣方法的規(guī)則得在第6組中抽取的號(hào)碼為5+(6-1)8=45. 答案:45 16.為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下,隨時(shí)間變化繁殖情況,得如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),計(jì)算得回歸方程為 =0.85x-0.25.由以上信息,得到下表中c的值為_(kāi)___________. 天數(shù)t(天) 3 4 5 6 7 繁殖個(gè)數(shù)y(千個(gè)) 2.5 3 4 4.5 c 【解析】因?yàn)閤=15(3+4+5+6+7)=5,y=15(2.5+3+4+4.5+c)=14+c5, 所以這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是5,14+c5, 把樣本中心點(diǎn)代入回歸方程=0.85x-0.25, 所以14+c5=0.855-0.25, 所以c=6. 答案:6 三、解答題(本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟) 17.(12分)為了解甲、乙兩種產(chǎn)品的質(zhì)量,從中分別隨機(jī)抽取了10件樣品,測(cè)量產(chǎn)品中某種元素的含量(單位:毫克),如圖所示是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖.規(guī)定:當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素的含量不小于18毫克時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品. (1)試用樣品數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率. (2)若從甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品中各隨機(jī)抽取1件,抽到的2件優(yōu)等品中,“甲產(chǎn)品的含量28毫克優(yōu)等品必須在內(nèi),且乙產(chǎn)品的含量28毫克優(yōu)等品不包含在內(nèi)”為事件A,求事件A的概率. 【解析】(1)從甲產(chǎn)品抽取的10件樣品中優(yōu)等品有4件,優(yōu)等品率為410=25,從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中優(yōu)等品有5件,優(yōu)等品率為510=12,故甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率分別為25,12. (2)記甲種產(chǎn)品的4件優(yōu)等品分別記為A1,A2,A3,A4,且甲產(chǎn)品的含量28毫克優(yōu)等品設(shè)為A1; 乙種產(chǎn)品的5件優(yōu)等品分別記為B1,B2,B3,B4,B5,且乙產(chǎn)品的的含量28毫克優(yōu)等品設(shè)為B1;若從中各隨機(jī)抽取1件,構(gòu)成的所有基本事件為:A1B1,A1B2,A1B3, A1B4,A1B5,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A2B5,A3B1,A3B2,A3B3,A3B4,A3B5,A4B1,A4B2,A4B3,A4B4,A4B5,共有20種;事件A所含基本事件為:A1B2,A1B3,A1B4,A1B5,共有4種.所求概率為P(A)=420=15. 18.(12分)某校從高一年級(jí)參加期末考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)了他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分為100分),將數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分組,并根據(jù)各組人數(shù)制成如下頻率分布表: 分組 頻數(shù) 頻率 [40,50) a 0.04 [50,60) 3 b [60,70) 14 0.28 [70,80) 15 0.30 [80,90) c d [90,100] 4 0.08 合計(jì) 50 1 (1)寫出a,b,c,d的值,并估計(jì)本次考試全年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (2)現(xiàn)從成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)的學(xué)生中任選出兩名同學(xué),從成績(jī)?cè)赱40,50)內(nèi)的學(xué)生中任選一名同學(xué),共三名同學(xué)參加學(xué)習(xí)習(xí)慣問(wèn)卷調(diào)查活動(dòng).若A1同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?3分,B1同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?5分,求A1,B1兩同學(xué)恰好都被選出的概率. 【解析】(1)a=2,b=0.06,c=12,d=0.24. 估計(jì)本次考試全年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為 450.04+550.06+650.28+750.3+850.24+950.08=73.8. (2)設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)的四名同學(xué)分別為B1,B2,B3,B4, 成績(jī)?cè)赱40,50)內(nèi)的兩名同學(xué)分別為A1,A2, 則選出的三名同學(xué)可以為: A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4、A1B2B3、A1B2B4、A1B3B4、A2B1B2、A2B1B3、A2B1B4、A2B2B3、A2B2B4、A2B3B4,共有12種情況. A1,B1兩名同學(xué)恰好都被選出的有A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4,共有3種情況,所以A1,B1兩名同學(xué)恰好都被選出的概率為P=312=14. 19.(12分)某廠家為了了解一款產(chǎn)品的質(zhì)量,隨機(jī)抽取200名男性使用者和100名女性使用者,對(duì)該款產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)分,繪制出如下頻率分布直方圖. (1)利用組中值(數(shù)據(jù)分組后,一個(gè)小組的組中值是指這個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)的數(shù)的平均數(shù)),估計(jì)100名女性使用者評(píng)分的平均值. (2)根據(jù)評(píng)分的不同,運(yùn)用分層抽樣從這200名男性中抽取20名,在這20名中,從評(píng)分不低于80分的人中任意抽取3名,求這3名男性中恰有一名評(píng)分在區(qū)間 [90,100]的概率. 【解析】(1)平均分為550.0110+650.0210+750.0410+850.02510+950.00510=74.5. (2)運(yùn)用分層抽樣從這200名男性用戶中抽取20名,評(píng)分不低于80分的有6人,其中評(píng)分小于90分的人數(shù)為4人,記為A,B,C,D,評(píng)分在區(qū)間[90,100]的人數(shù)為2人,記為M,N,共有20個(gè)基本事件,3 人中恰有一名評(píng)分在區(qū)間[90,100]包含如下12個(gè)基本事件: (M,A,B)、(M,A,C)、(M,A,D)、(M,B,C)、(M,B,D)、(M,C,D)、(N,A,B)、(N,A,C)、(N,A,D)、(N,B,C)、(N,B,D)、(N,C,D), 這3名男性中恰有一名評(píng)分在區(qū)間[90,100]的概率為 1220=35. 20.(12分)海盜船是一種繞水平軸往復(fù)擺動(dòng)的游樂(lè)項(xiàng)目,因其外形仿照古代海盜船而得名,現(xiàn)有甲、乙兩游樂(lè)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了一天6個(gè)時(shí)間點(diǎn)參與海盜船游玩的游客數(shù)量,具體數(shù)據(jù)如下: 時(shí)間點(diǎn) 8點(diǎn) 10點(diǎn) 12點(diǎn) 14點(diǎn) 16點(diǎn) 18點(diǎn) 甲游樂(lè)場(chǎng) 10 3 12 6 12 20 乙游樂(lè)場(chǎng) 13 4 3 2 6 19 (1)從所給6個(gè)時(shí)間點(diǎn)中任選一個(gè),求參與海盜船游玩的游客數(shù)量甲游樂(lè)場(chǎng)比乙游樂(lè)場(chǎng)少的概率. (2)記甲、乙兩游樂(lè)場(chǎng)6個(gè)時(shí)間點(diǎn)參與海盜船游玩的游客數(shù)量分別為xi,yi (i=1,2,3,4,5,6),現(xiàn)從該6個(gè)時(shí)間點(diǎn)中任取2個(gè),求恰有1個(gè)時(shí)間滿足xi>yi的概率. 【解析】(1)事件“參與海盜船游玩的游客數(shù)量甲游樂(lè)場(chǎng)比乙游樂(lè)場(chǎng)少”的情況有8點(diǎn)、10點(diǎn)兩個(gè)時(shí)間點(diǎn),一共有6個(gè)時(shí)間點(diǎn),所以所求概率為P=26=13. (2)依題意,xi>yi有4個(gè)時(shí)間點(diǎn),記為A,B,C,D;xi6, 故滿足認(rèn)購(gòu)條件①. ②再分析該窯爐燒制的單件平均利潤(rùn)值: 由直方圖可知,該新型窯爐燒制的產(chǎn)品T為一、二、三等品的概率估計(jì)值分別為0.36,0.54,0.1. 故2 000件產(chǎn)品中,一、二、三等品的件數(shù)估計(jì)值分別為720件,1 080件, 200件. 一等品的銷售總利潤(rùn)為72089(20-10) =6 400元; 二等品的銷售總利潤(rùn)為1 08023(16-10)-1 08013(10-8)=3 600元; 三等品的銷售總利潤(rùn)為20025(12-10)-20035(10-6)=-320元. 故2 000件產(chǎn)品的單件平均利潤(rùn)值的估計(jì)值為 (6 400+3 600-320)2 000=4.84(元), 滿足認(rèn)購(gòu)條件②,綜上所述,該新型窯爐達(dá)到認(rèn)購(gòu)條件. ②方法二: 再分析該窯爐燒制的單件平均利潤(rùn)值: 由直方圖可知,該新型窯爐燒制的產(chǎn)品T為一、二、三等品的概率估計(jì)值分別為0.36,0.54,0.1. 故2 000件產(chǎn)品的單件平均利潤(rùn)值的估計(jì)值為 0.3689(20-10)+0.5423(16-10)-13(10-8)+0.1 25(12-10)-35(10-6)=4.84(元), 滿足認(rèn)購(gòu)條件②. 綜上所述,該新型窯爐達(dá)到認(rèn)購(gòu)條件. 3.我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世界衛(wèi)生組織設(shè)定的最寬限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下,空氣質(zhì)量為一級(jí);在35微克/立方米～75微克/立方米之間,空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米以上,空氣質(zhì)量為超標(biāo).某城市環(huán)保局從該市市區(qū)2017年上半年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取18天的數(shù)據(jù)作為樣本,將監(jiān)測(cè)值繪制成莖葉圖如圖所示(十位為莖,個(gè)位為葉). (1)求這18個(gè)數(shù)據(jù)中不超標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. (2)在空氣質(zhì)量為一級(jí)的數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)據(jù),求其中恰有一個(gè)為PM2.5日均值小于30微克/立方米的數(shù)據(jù)的概率. (3)以這18天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況,則一年(按360天計(jì)算)中約有多少天的空氣質(zhì)量超標(biāo). 【解析】(1)平均值x=40,方差s2=133. (2)由題目條件可知,空氣質(zhì)量為一級(jí)的數(shù)據(jù)共有4個(gè),分別為26,27,33,34.則由一切可能的結(jié)果組成的基本事件為(26,27),(26,33),(26,34),(27,33), (27,34),(33,34),共6個(gè), 設(shè)“其中恰有一個(gè)為PM2.5日均值小于30微克/立方米的數(shù)據(jù)”為事件A, 則A包含的基本事件有(26,33),(26,34),(27,33),(27,34),共有4個(gè), 所以P(A)=46=23. (3)由題意知,一年中空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率P=818=49,49360=160,所以一年(按 360天計(jì)算)中約有160天的空氣質(zhì)量超標(biāo).