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巧用中點解決問題 一、中位線定理 1. 三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 2. 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。 如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC兩邊中點，求證DE平行且等于。利用全等和平行四邊形進行證明。 強調理解： （1）要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開。三角形中線是連接一頂點和它的對邊中點的線段，而三角形中位線是連接三角形兩邊中點的線段。 （2）三角形有三條中位線，首尾相接時，小三角形面積等于原三角形的四分之一，這四個三角形都互相全等。 二、直角三角形斜邊中線 如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是AB的中點，求證。利用矩形性質進行證明。 總結： （1）當圖形中有一個中點的時候考慮倍長中線，當圖形中有兩個中點的時候考慮連接后用中位線； （2）計算中經常使用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，特別要注意等腰直角三角形。 例題1 如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足為N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，則△ABC的周長是（　?。? A. 28 B. 32 C. 18 D. 25 解析：延長線段BN交AC于E，從而構造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），進而證明MN是中位線，從而求出CE的長。 答案：延長線段BN交AC于E?！逜N平分∠BAC， ∴∠BAN＝∠EAN，AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90， ∴△ABN≌△AEN，∴AB＝AE＝6，BN＝EN， 又∵M是△ABC的邊BC的中點，∴CE＝2MN＝21.5＝3， ∴△ABC的周長是AB＋BC＋AC＝6＋10＋6＋3＝25，故選D。 例題2 如圖，以邊長為1的正方形的四邊中點為頂點作四邊形，再以所得四邊形四邊中點為頂點作四邊形，…依次作下去，圖中所作的第三個四邊形的周長為 ；所作的第n個四邊形的周長為 。 解析：根據(jù)正方形的性質以及三角形中位線的定理，求出第二個，第三個四邊形的周長，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求出第n個四邊形的周長。 答案：根據(jù)三角形中位線定理得，第二個四邊形的邊長為＝，周長為2，第三個四邊形的周長為4＝2，第n個四邊形的周長為4（）n?1，故答案為2，4（）n?1。 利用中點判斷三角形形狀 示例 如圖，在線段AE同側作兩個等邊三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120），點P、點M分別是線段BE、AD的中點，則△CPM是（　?。? A. 鈍角三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形 D. 非等腰三角形 解析：首先根據(jù)等邊三角形的性質，得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60，則∠BCE＝∠ACD，從而根據(jù)SAS證明△BCE≌△ACD，得∠CBE＝∠CAD，BE＝AD；再由點P、點M分別是線段BE、AD的中點，得BP＝AM，根據(jù)SAS證明△BCP≌△ACM，得PC＝MC，∠BCP＝∠ACM，則∠PCM＝∠ACB＝60，從而證明該三角形是等邊三角形。 答案：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60?！唷螧CE＝∠ACD?！唷鰾CE≌△ACD?！唷螩BE＝∠CAD，BE＝AD。又點P、點M分別是線段BE、AD的中點，∴BP＝AM?！唷鰾CP≌△ACM。∴PC＝MC，∠BCP＝∠ACM。∴∠PCM＝∠ACB＝60?！唷鰿PM是等邊三角形。故選C。 轉化三角形構造中位線 示例 已知兩個共頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME。 （1）如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF； （2）如圖1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的長； （3）如圖2，當∠BCE＝45時，求證：BM＝ME。 解析：（1）如答圖1所示，延長AB交CF于點D，證明BM為△ADF的中位線即可； （2）如答圖2所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線； （3）如答圖3所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM＝DF，ME＝AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到AG＝DF，從而證明BM＝ME。 答案：（1）證明：如答圖1，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△DBC均為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，∴點B為線段AD的中點，又∵點M為線段AF的中點，∴BM為△ADF的中位線，∴BM∥CF。 （2）解：如答圖2所示，延長AB交CF于點D，則易知△DBC與△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝DC＝a，∴點B為AD中點，又∵點M為AF中點，∴BM＝DF。分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝2a，∴點E為FG中點，又∵點M為AF中點，∴ME＝AG。∵CG＝CF＝2a，CA＝CD＝a，∴AG＝DF＝a，∴BM＝ME＝a＝a。 （3）證明：如答圖3，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△DBC均為等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝DB，AC＝DC，∴點B為AD中點，又∵點M為AF中點，∴BM＝DF。延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE＝EF＝EG，CF＝CG，∴點E為FG中點，又∵點M為AF中點，∴ME＝AG。在△ACG與△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴AG＝DF，∴ME＝BM。 （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 直角三角形ABC的周長為2＋，斜邊上的中線長為1，則該三角形的面積等于（　?。? A. 1 B. C. D. 2. 如圖，∠MON＝90，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝1，運動過程中，點D到點O的最大距離為（　?。? A. ＋1 B. C. D. *3. 如圖，BE、CF分別是△ABC的高，M為BC的中點，EF＝5，BC＝8，則△EFM的周長是（　?。? A. 21 B. 18 C. 13 D. 15 **4. 如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，且AB＝CD。下列結論：①EG⊥FH，②四邊形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝（BC－AD），⑤四邊形EFGH是菱形。其中正確結論的個數(shù)是（　　） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 **5. 在正方形ABCD中，P為AB的中點，BE⊥PD的延長線于點E，連接AE、BE、FA⊥AE交DP于點F，連接BF，F(xiàn)C。下列結論：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF，其中結論正確的是（　?。? A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空題 *6. 如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC＝10，則PQ的長為　　　　　。 *7. 如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF，若菱形ABCD的邊長為2cm，∠A＝120，則EF＝　　　　　　　cm。 *8. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是AB，AC的中點，D，E為BC上的點，連接DN，EM。若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，圖中陰影部分的面積為　　　　　　。 *9. 命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點，AF＝BE，CE、BF交于點H，BF交AC于點M，O為AC的中點，OB交CE于點N，連接OH。下列結論中：①BF⊥CE；②OM＝ON；③OH＝CN；④ OH＋BH＝CH。其中正確的結論有________。 三、解答題 *10. 如圖，直線a、b相交于點A，C、E分別是直線b、a上兩點且BC⊥a，DE⊥b，點M、N分別是CE、BD的中點。 求證：（1）DM＝BM；（2）MN⊥BD。 *11. 已知：在△ABC中，∠ABC＝90，點E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點M為EC中點，連接BM，DM。 （1）如圖1，若點E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關系，并直接寫出你得到的結論； （2）如圖2，若點E在BA延長線上，你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明； （3）若點E在AB延長線上，請你根據(jù)條件畫出相應的圖形，并直接寫出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關系。 **12. 已知：在△ABC中，BC＞AC，動點D繞△ABC的頂點A逆時針旋轉，且AD＝BC，連接DC。過AB、DC的中點E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點M、N。 （1）如圖1，當點D旋轉到BC的延長線上時，點N恰好與點F重合，取AC的中點H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質，可得結論∠AMF＝∠BNE（不需證明）； （2）當點D旋轉到圖2或圖3中的位置時，∠AMF與∠BNE有何數(shù)量關系？請分別寫出猜想，并任選一種情況證明。  1. B 解析：∵CD是直角三角形ABC斜邊上的中線，∴AB＝2CD＝2，∵直角三角形ABC的周長是2＋，∴AC＋BC＝，兩邊平方得：AC2＋2AC?BC＋BC2＝6，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2＝4，∴2AC?BC＝2，ACBC＝1，∴S△ABC＝ACBC＝1＝。故選B。 2. A 解析：如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，∵OD＜OE＋DE，∴當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝AB＝1，DE＝＝＝，∴OD的最大值為：＋1。 3. C 解析：∵BE、CF分別是△ABC的高，M為BC的中點，∴在Rt△BCE中，EM＝BC＝4，在Rt△BCF中，F(xiàn)M＝BC＝4，∴△EFM的周長＝EM＋FM＋EF＝4＋4＋5＝13。故選C。 4. C 解析：∵E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，∴EF＝CD，F(xiàn)G＝AB，GH＝CD，HE＝AB，∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正確；②四邊形EFGH是矩形，錯誤；③HF平分∠EHG，正確；④當AD∥BC，如圖所示：E，G分別為BD，AC中點，∴連接CD，延長EG到CD上一點N，∴EN＝BC，GN＝AD，∴EG＝（BC－AD），只有AD∥BC時才可以成立，而本結論中AD與BC很顯然不平行，故本結論錯誤；⑤四邊形EFGH是菱形，正確。綜上所述，①③⑤，共3個正確。故選C。 5. D 解析：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝∠90＝∠BEF，∵∠APD＝∠EPB，∴∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF，∴①正確；∵AE＝AF，BE＝DF，∴∠AEF＝∠AFE＝45，取EF的中點M，連接AM，∴AM⊥EF，AM＝EM＝FM，∴BE∥AM，∵AP＝BP，∴AM＝BE＝ME，∴∠EMB＝∠EBM＝45，∴∠AMB＝90＋45＝135＝∠FMB，∵BM＝FM，AM＝FM，∴△ABM≌△FBM，∴AB＝FB，∴②正確；∴∠BAM＝∠BFM，∵∠BEF＝90，AM⊥EF，∴∠BAM＋∠APM＝90，∠EBF＋∠EFB＝90，∴∠APF＝∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD＝∠FDC，∴∠EBF＝∠FDC，∵BE＝DF，BF＝DC，∴△BEF≌△DFC，∴FE＝CF，∠FEB＝∠CFD＝90，∴③正確，④正確；故選D。 6. 3 解析：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴點Q是AE中點，點P是AD中點（三線合一），∴PQ是△ADE的中位線，∵BE＋CD＝AB＋AC＝26－BC＝26－10＝16，∴DE＝BE＋CD－BC＝6，∴PQ＝DE＝3。 7. 解：連接BD、AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∵∠BAD＝120，∴∠BAC＝60，∴∠ABO＝90－60＝30，∵∠AOB＝90，∴AO＝AB＝2＝1，由勾股定理得：BO＝DO＝，∵A沿EF折疊與O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF為△ABD的中位線，∴EF＝BD＝（＋）＝，故答案為：。 8. 30cm2 解析：連接MN?！進，N分別是AB，AC的中點，∴MN是△ABC的中位線，∴MN∥BC，且MN＝BC＝5cm；過點A作AF⊥BC于F。則AF⊥MN，AF＝12cm（勾股定理）。∵圖中陰影部分的三個三角形的底長都是5cm，且高的和為12cm；∴S陰影＝512＝30cm2。 9. ①②④ 解析：∵AF＝BE，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90，∴△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∠BFA＝∠CEB，∴∠BEC＋∠BCE＝∠BEH＋∠ABF＝90，∴∠BHE＝90，即BF⊥EC，①正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴BO⊥AC，BO＝OC，由題意，正方形ABCD中，∠ABO＝∠BCO，已證∠BCE＝∠ABF，∴∠ECO＝∠FBO，∴△OBM≌△OCN，∴OM＝ON，即②正確；③∵△OBM≌△OCN，∴BM＝CN，只有當H為BM的中點時，OH等于CN的一半，故③錯誤；④過O點作OG垂直于OH，OG交CH于點G，在△OGC與△OHB中，，故△OGC≌△OHB，∵OH⊥OG，∴△OHG是等腰直角三角形，，，所以結論④正確。綜上所述，①②④正確。 10. 證明：（1）∵BC⊥a，DE⊥b，∴∠CBE＝∠CDB＝90，∴△CBE，△CDE為直角三角形，∵點M是CE的中點，∴DM＝BM＝EC，∴DM＝BM；（2）∵DM＝BM，∴△MDB為等腰三角形，又∵N為BD的中點， ∴MN為BD邊上的中線，∴MN⊥BD（三線合一）。 11. 解：（1）結論：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD。 理由如下：∵BM、DM分別是Rt△EBC、Rt△DEC的斜邊上的中線，∴BM＝DM＝CE；又∵BM＝MC，∴∠MCB＝∠MBC，即∠BME＝2∠BCM；同理可得∠DME＝2∠DCM；∴∠BME＋∠DME＝2（∠BCM＋∠DCM），即∠BMD＝2∠BCD。（2）在（1）中得到的結論仍然成立。即BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD。 證明：∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，∴BM＝EC＝MC，又∵點M是Rt△DEC的斜邊EC的中點，∴DM＝EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝MC，DM＝MC，∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，∴∠BMD＝∠EMB－∠EMD＝2∠BCM－2∠DCM＝2（∠BCM－∠DCM）＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD。（3）所畫圖形如圖所示： 圖1中有BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD；圖2中∠BCD不存在，有BM＝DM；圖3中有BM＝DM，∠BMD＝360－2∠BCD。解法同（2）。 12. 解：圖1：∠AMF＝∠BNE；圖2：∠AMF＝∠BNE；圖3：∠AMF＋∠ENB＝180。 證明：如答圖2，取AC的中點H，連接HE、HF?！逨是DC的中點，H是AC的中點，∴HF∥AD，HF＝AD，∴∠AMF＝∠HFE，同理，HE∥CB，HE＝CB，∴∠BNE＝∠HEF?！逜D＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE， ∴∠BNE＝∠AMF。如答圖3：取AC的中點H，連接HE、HF?！逨是DC的中點，H是AC的中點，∴HF∥AD，HF＝AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180，同理，HE∥CB，HE＝CB，∴∠ENB＝∠HEF。∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠AMF＋∠ENB＝180。 答圖2 答圖3