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1、基于Lie對稱性方法的車輛非線性懸掛系統(tǒng)
振動特性研究
傅景禮[1] 鄭明亮[2]
(1. 浙江理工大學理學院 杭州 310018)
(2.浙江理工大學機械與控制學院 杭州 310018)
摘要:本文主要基于Lie對稱性方法精確求解了車輛懸掛系統(tǒng)的非線性結(jié)構(gòu)振動問題??紤]懸掛系統(tǒng)中空氣彈簧和液壓阻尼器的非線性特性,依據(jù)分析力學方法建立了單自由度懸掛系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動模型,運用微分方程Lie群變換理論求解了系統(tǒng)的對稱性和守恒量,以車輛乘客舒適度為系統(tǒng)振動性能指標,進行了系統(tǒng)振動特性對剛度、阻尼
2、、非線性系數(shù)、路面不平度等懸掛參數(shù)的全局靈敏度分析。實際算例表明用Lie對稱性理論研究機械結(jié)構(gòu)非線性動力學系統(tǒng)力學特性,方法新穎,適用范圍廣,結(jié)果可靠準確。
關(guān)鍵字:車輛懸掛系統(tǒng);非線性特性;Lie對稱性;振動靈敏度
中圖分類號:0322 文獻標識碼:A 文章編號:
引言:
懸架系統(tǒng)是現(xiàn)代車輛的重要總成之一,其主要任務是傳遞作用在車輪與車身之間的一切力和力矩,并緩和由不平路面?zhèn)鹘o車身的沖擊載荷,衰減由此引起的承載系統(tǒng)振動,它對車輛的運動乘坐舒適性、穩(wěn)定性等有很大的影響[1]?,F(xiàn)代車輛懸掛系統(tǒng)非線性因素在一定的載荷和頻率域內(nèi)對其動力學響應影響十分突出,因此,建立非線性懸架
3、模型并利用現(xiàn)代動力學理論開展研究,對于改善車輛動力學性能有重要意義。
目前,對于車輛懸架非線性動力學系統(tǒng)系統(tǒng)的研究,多以數(shù)值仿真為主,即采用數(shù)值積分方法,計算系統(tǒng)的振動響應,從而分析系統(tǒng)中存在的分岔、混沌現(xiàn)象[2-5]。而在非線性微分方程解析精確解求研究方面,大多基于攝動法、多尺度法等傳統(tǒng)的解析方法開展[6-7],其共同特點是引入小參數(shù),將原系統(tǒng)處理為弱非線性系統(tǒng)再研究;橢圓函數(shù)攝動法、廣義諧波函數(shù)攝動法、增量諧波平衡方法[8-10]等雖適用于強非線性系統(tǒng),但計算過程比較復雜。Lie對稱性理論在處理線性和非線性、常系數(shù)和變系數(shù)微分方程的問題都是等同的,它和其他的現(xiàn)代分析方法一起,是
4、求常/偏微分方程的解析解的最可能統(tǒng)一的工具,可以用來進行大范圍的參數(shù)研究,且計算過程簡介和易于程序化特點[11]。國內(nèi)外關(guān)于利用Lie對稱性方法研究車輛懸架系統(tǒng)非線性動力學還少有報道。本文基于Lie對稱性方法對車輛懸掛系統(tǒng)非線性響應進行研究,進而指出懸掛系統(tǒng)參數(shù)對結(jié)構(gòu)振動特性的影響,為實現(xiàn)懸架的優(yōu)化設(shè)計和合理控制策略提供理論依據(jù)。
1動力學系統(tǒng)的Lie對稱解法
設(shè)完整約束非奇異力學Lagrange系統(tǒng)以廣義加速度形式的微分方程為:
(1-1)
引進時間和坐標的特殊無限小變換:
5、 (1-2)
其中為無限小參數(shù),為無限小生成元。
微分運動方程的Lie對稱性是指方程(1-1)在上述無限小變換(1-2)下形式不變[12],即:
(1-3)
上式也可以表述成Lie對稱性確定方程:
(1-4)
其中:,,
。
Lie確定方程(1-4)展開形式為:
(1-5)
微分方程群分析是用來尋找微分方程的對稱性,連
6、續(xù)變換的對稱性都對應著一條守恒定律,一個守恒量對應一個首次積分,進而系統(tǒng)微分方程達到降階和約化,守恒律在微分方程的可積性、線性化、運動常數(shù)方面有重要作用。Lie對稱性可直接導致新型守恒量,再結(jié)合初始條件,從而很容易解出原高階系統(tǒng)的精確響應解。
系統(tǒng)的能量Lagrange函數(shù),如果存在某規(guī)范函數(shù)使結(jié)構(gòu)方程:
(1-6)
成立,則系統(tǒng)Lie對稱性對應的守恒量表達式為[12]:
(1-7)
直接對上式左邊積分并結(jié)合(
7、1-1)、(1-6)式可得到:。
2車輛懸掛系統(tǒng)非線性動力學模型
車輛懸掛系統(tǒng)主有彈性元件、減振器和導向機構(gòu)三個基本部分組成。此外還包括一些特殊功能的部件,如穩(wěn)定桿和緩沖塊等[13] ,如圖1所示??諝鈴椈勺鳛橐豢钚阅軆?yōu)異的彈性元件,具有很多優(yōu)點,主要由上下蓋板、橡膠墊、附加空氣室、高度控制閥與橡膠囊等部件組成,可緩和由道路不平順引起的沖擊。液壓減振器主要由活塞、上下聯(lián)件、液缸、和活塞桿等零件組成,液體阻尼的作用是使系統(tǒng)在運動過程中進行能量耗散,從而達到減振。
圖2 車輛懸架系統(tǒng)組成
由于實際結(jié)構(gòu)復雜、動力學影響因素較多,所以要想建立精確的懸掛系統(tǒng)模型是很
8、困難的。為分析問題方便且所得到的結(jié)果又比較合理可靠,不失一般性,本文以1/4車體為研究對象,建立了單自由度結(jié)構(gòu)振動力學模型,如圖2所示。
圖2 結(jié)構(gòu)振動力學模型
其中為車體質(zhì)量,為軌道不平順激勵,為彈簧恢復力,為減振器阻尼力,為車體的位移,懸掛的空氣彈簧與阻尼器均為非線性,其特征可描述為[14]:
(2-1)
(2-2)
其中,為剛度和阻尼的非線性小系數(shù)。
9、 下面我們利用分析力學的方法推導出系統(tǒng)的振動微分方程,取系統(tǒng)平衡位置為坐標原點,系統(tǒng)的動能、勢能和Lagrange函數(shù)為:
(2-3)
系統(tǒng)粘性阻尼耗散函數(shù)為:
(2-4)
任何振動或運動系統(tǒng),根據(jù)分析力學中第二類Lagrange方程[12]
系統(tǒng)廣義激振力,展開得到懸掛系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動方程為:
(2-5)
位移激勵采用余弦函數(shù)波譜:,為道路不平度幅值,為激勵角頻率,令,上式簡化為
10、:
(2-6)
3懸掛系統(tǒng)振動特性靈敏度分析
微分方程(2-6)式代入Lie對稱無限小變換確定方程(1-5)式,得到:
(3-1)
顯然它有解,代入到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程(1-6)和守恒量方程(1-7)得到:
(3-2)
對車輛結(jié)構(gòu)振動舒適性的評價,主要是通過車身垂直振動加速度的均方根植來計算。令:
(3-3)
其中,T為合理的時間測試常數(shù),一般可
11、取30~80。一般越小,表示振動越舒服。
取系統(tǒng)的懸掛參數(shù)為剛度、阻尼、非線性系數(shù)、路面不平度,則振動舒適度全局靈敏度向量為:
(3-4)
對于具體的車輛系統(tǒng)模型,可以進一步計算舒適度對懸掛參數(shù)的靈敏度數(shù)值大小。
4. 算列說明
以普通某型客車為例進行懸架系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動特性分析,車輛參數(shù)示于表1中:
表1 汽車懸架系統(tǒng)的基本參數(shù)
車體質(zhì)量
(kg)
激勵幅值
(m)
彈簧剛度
(kN/m)
剛度非線性系數(shù)
液壓阻尼
(kN*s/m)
阻尼非線性系數(shù)
12、
系統(tǒng)自由振動方程的Lie對稱性導致的守恒量為:
系統(tǒng)強迫振動的響應解析解與數(shù)值解對比如圖:
圖3 車體振動響應曲線
圖中可以看出,曲線趨勢基本吻合,Lie對稱性法結(jié)果是比較合理可靠的。
改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)剛度、阻尼、非線性系數(shù)以及激勵幅值得到振動舒適度隨之的變化影響:
圖4振動舒適度與剛度關(guān)系圖 圖5振動舒適度與阻尼關(guān)系圖
圖6振動舒適度與激勵幅值關(guān)系圖 圖7 振動舒適度與非線性系數(shù)關(guān)系圖
由上述圖我們可知,激勵幅值變化
13、對懸掛振動舒適度影響非常明顯,對振動舒適度影響比較明顯,而對其影響卻不明顯,改變非線性系數(shù),同樣以影響舒適度,但當系數(shù)趨于一定數(shù)值時不產(chǎn)生巨大變化。同時,當激振力頻率在懸架固有頻率附近4.5變化時,系統(tǒng)有可能發(fā)生共振,舒適度最差。綜上所述,由解析計算結(jié)果看出,合理選取各懸掛參數(shù)值,使懸架系統(tǒng)的變形量降到最小,對汽車振動舒適度問題具有重要的作用。
總結(jié)語:
本文應用Lie對稱分析方法研究了車輛懸架系統(tǒng)兩自由度受迫振動系統(tǒng),得到了系統(tǒng)的精確的動態(tài)響應曲線,并將結(jié)果與數(shù)值計算方法進行了對比,結(jié)果表明,Lie分析方法對于求解非線性方程是高效、準確的。其次,研究了車輛振動舒適度
14、關(guān)于剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、路面激勵幅值以及非線性系數(shù)等的全局靈敏度分析,實際算例表明,激勵幅值對車輛懸掛系統(tǒng)的振動影響很大,系統(tǒng)參數(shù)剛度即立方非線性項對其振動特性較大,阻尼即平方非線性項對其振動特性沒有明顯的影響,振動舒適度隨非線性系數(shù)增大而變化,結(jié)果指明了車輛系統(tǒng)動力學懸掛參數(shù)的修改方向。本文的研究內(nèi)容也為車輛懸掛系統(tǒng)的先進控制方法和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提高奠定了基礎(chǔ)。
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