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1、
第2講 排列與組合
【2013年高考會這樣考】
1.考查排列組合的概念及其公式的推導.
2.考查排列組合的應(yīng)用.
【復(fù)習指導】
復(fù)習時要掌握好基本計算公式和基本解題指導思想,掌握一些排列組合的基本模式題的解決方法,如指標分配問題、均勻分組問題、雙重元素問題、涂色問題、相鄰或不相鄰問題等.
基礎(chǔ)梳理
1.排列
(1)排列的概念:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
(2)排列數(shù)的定義:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的
2、排列數(shù),用符號A表示.
(3)排列數(shù)公式
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
(4)全排列數(shù)公式
A=n(n-1)(n-2)…21=n!(叫做n的階乘).
2.組合
(1)組合的定義:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
(2)組合數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號C表示.
(3)組合數(shù)公式
C===
(n,m∈N*,且m≤n).特別地C=1.
(4)組合數(shù)的性質(zhì):①C=C;②C=C+C.
一個區(qū)別
排列與組合
3、,排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”.取出元素后交換順序,如果與順序有關(guān)是排列,如果與順序無關(guān)即是組合.
兩個公式
(1)排列數(shù)公式A=
(2)組合數(shù)公式C=利用這兩個公式可計算排列問題中的排列數(shù)和組合問題中的組合數(shù).
①解決排列組合問題可遵循“先組合后排列”的原則,區(qū)分排列組合問題主要是判斷“有序”和“無序”,更重要的是弄清怎樣的算法有序,怎樣的算法無序,關(guān)鍵是在計算中體現(xiàn)“有序”和“無序”.
②要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合,盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數(shù)相符,使復(fù)雜問題簡單化,這樣既可以加深對問題的理解,檢驗算法的正確與否,又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問
4、題的解決起到事半功倍的效果.
四字口訣
求解排列組合問題的思路:“排組分清,加乘明確;有序排列,無序組合;分類相加,分步相乘.”
雙基自測
1.8名運動員參加男子100米的決賽.已知運動場有從內(nèi)到外編號依次為1,2,3,4,5,6,7,8的八條跑道,若指定的3名運動員所在的跑道編號必須是三個連續(xù)數(shù)字(如:4,5,6),則參加比賽的這8名運動員安排跑道的方式共有( ).
A.360種 B.4 320種
C.720種 D.2 160種
解析 本題考查排列組合知識,可分步完成,先從8個數(shù)字中取出3個連續(xù)的三個數(shù)字共有6種可能,將指定的3名運動員安排在這三個編號的跑道上,最
5、后剩下的5個排在其他的編號的5個跑道上,故共有6AA=4 320種方式.
答案 B
2.以一個正五棱柱的頂點為頂點的四面體共有( ).
A.200個 B.190個 C.185個 D.180個
解析 正五棱柱共有10個頂點,若每四個頂點構(gòu)成一個四面體,共可構(gòu)成C=210個四面體.其中四點在同一平面內(nèi)的有三類:
(1)每一底面的五點中選四點的組合方法有2C個.
(2)五條側(cè)棱中的任意兩條棱上的四點有C個.
(3)一個底面的一邊與另一個底面相應(yīng)的一條對角線平行
(例如AB∥E1C1),這樣共面的四點共有2C個.
所以C-2C-C-2C=180(個),選D.
答案 D
3
6、.(2010山東)某臺小型晚會由6個節(jié)目組成,演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在前兩位,節(jié)目乙不能排在第一位,節(jié)目丙必須排在最后一位.該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有( ).
A.36種 B.42種 C.48種 D.54種
解析 因為丙必須排在最后一位,因此只需考慮其余五人在前五位上的排法.當甲排在第一位時,有A=24種排法,當甲排在第二位時,有AA=18種排法,所以共有方案24+18=42(種),故選B.
答案 B
1
2
3
3
1
2
2
3
1
4.如圖,將1,2,3填入33的方格中,要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字,右面是一種填法,則不同的填寫方法
7、共有( ).
A.6種 B.12種
C.24種 D.48種
解析 只需要填寫第一行第一列,其余即確定了.因此共有AA=12(種).
答案 B
5.某工程隊有6項工程需要先后單獨完成,其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行,工程丙必須在工程乙完成后才能進行,又工程丁必須在工程丙完成后立即進行,那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是________(用數(shù)字作答).
解析 可將6項工程分別用甲、乙、丙、丁、a、b表示,要求是甲在乙前,乙在丙前,并且丙丁相鄰丙在丁前,可看作甲、乙、丙丁、a、b五個元素的排列,可先排a、b,再排甲、乙、丙丁共AC=20種排法,也可先排甲、乙、丙丁,再排a
8、、b,共CA=20種排法.
答案 20
考向一 排列問題
【例1】?六個人按下列要求站成一排,分別有多少種不同的站法?
(1)甲不站在兩端;(2)甲、乙必須相鄰;(3)甲、乙不相鄰;
(4)甲、乙之間恰有兩人;(5)甲不站在左端,乙不站在右端;
(6)甲、乙、丙三人順序已定.
[審題視點] 根據(jù)題目具體要求,選擇恰當?shù)姆椒ǎ缋壏?、插空法等?
解 (1)AA=480;
(2)AA=240;
(3)AA=480;
(4)AAA=144;
(5)A-2A+A=504;
(6)A=120.
有條件的排列問題大致分四種類型.
(1)某元素不在某個位置上問題,①可從
9、位置考慮用其它元素占上該位置,②可考慮該元素的去向(要注意是否是全排列問題);③可間接計算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個數(shù).
(2)某些元素相鄰,可將這些元素排好看作一個元素(即捆綁法)然后與其它元素排列.
(3)某些元素互不相鄰,可將其它剩余元素排列,然后用這些元素進行插空(即插空法).
(4)某些元素順序一定,可在所有排列位置中取若干個位置,先排上剩余的其它元素,這個元素也就一種排法.
【訓練1】 用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字排成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù),分別有多少個?(1)0不在個位;(2)1與2相鄰;(3)1與2不相鄰;(4)0與1之間恰有兩個數(shù);(5)1不在個位;(6)
10、偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列.
解 (1)AA=480;
(2)AAA=192;
(3)AA-AAA=408,
(4)AAA+AA=120;
(5)A-2A+A=504;
(6)A-A=60.
考向二 組合問題
【例2】?某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名,外科醫(yī)生8名,現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊,其中
(1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加,共有多少種不同選法?
(2)甲、乙均不能參加,有多少種選法?
(3)甲、乙兩人至少有一人參加,有多少種選法?
(4)隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生,有幾種選法?
[審題視點] “無序問題”用組合,注意分類處理.
解 (1)只需從其他
11、18人中選3人即可,共有C=816(種);
(2)只需從其他18人中選5人即可,共有C=8 568(種);
(3)分兩類:甲、乙中有一人參加,甲、乙都參加,共有CC+C=6 936(種);
(4)法一(直接法):至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類:一內(nèi)四外;二內(nèi)三外;三內(nèi)二外;四內(nèi)一外,所以共有CC+CC+CC+CC=14 656(種).
法二 (間接法):由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù),得C-(C+C)=14 656(種).
對于有條件的組合問題,可能遇到含某個(些)元素與不含某個(些)元素問題;也可能遇到“至多”或“至少”等組合問題的計算,
12、此類問題要注意分類處理或間接計算,切記不要因為“先取再后取”產(chǎn)生順序造成計算錯誤.
【訓練2】 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,(1)甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種?(2)甲、乙所選的課程中至少有一門不相同的選法有多少種?
解 (1)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,且甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法種數(shù)共有CCC=24(種).
(2)甲、乙兩人從4門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為CC,又甲乙兩人所選的兩門課程都相同的選法種數(shù)為C種,因此滿足條件的不同選法種數(shù)為CC-C=30(種).
考向三 排列、組合的綜合應(yīng)用
【例3】?(1)7個相同的小球,任意放入4個不同的盒
13、子中,試問:每個盒子都不空的放法共有多少種?
(2)計算x+y+z=6的正整數(shù)解有多少組;
(3)計算x+y+z=6的非負整數(shù)解有多少組.
[審題視點] 根據(jù)題目要求分類求解,做到不重不漏.
解 (1)法一 先將其中4個相同的小球放入4個盒子中,有1種放法;再將其余3個相同的小球放入4個不同的盒子中,有以下3種情況:
①某一個盒子放3個小球,就可從這4個不同的盒子中任選一個放入這3個小球,有C種不同的放法;
②這3個小球分別放入其中的3個盒子中,就相當于從4個不同的盒子中任選3個盒子,分別放入這3個相同的小球,有C種不同放法;
③這3個小球中有兩個小球放在1個盒子中,另1個小球放
14、在另一個盒子中,從這4個不同的盒子中任選兩個盒子排成一列,有A種不同的方法.
綜上可知,滿足題設(shè)條件的放法為C+C+A=20(種).
法二 “每個盒子都不空”的含義是“每個盒子中至少有一個小球”,若用“擋板法”,可易得C=20.
(2)可看做將6個相同小球放入三個不同盒子中,每盒非空有多少種放法.轉(zhuǎn)化為6個0,2個1的排列,要求1不排在兩端且不相鄰,共有C=10種排法,因此方程x+y+z=6有10組不同的正整數(shù)解;
(3)可看做將6個相同小球放入三個不同的盒子中,轉(zhuǎn)化為6個0,2個1的排列,共有C=28種排法,因此方程x+y+z=6有28組不同的非負整數(shù)解.
排列與組合的根本區(qū)別在
15、于是“有序”還是“無序”,對于將若干個相同小球放入幾個不同的盒子中,此類問題可利用“擋板法”求解,實質(zhì)上是最終轉(zhuǎn)化為組合問題.(2)在計算排列組合問題時,可能會遇到“分組”問題,要特別注意是平均分組還是不平均分組.可從排列與組合的關(guān)系出發(fā),用類比的方法去理解分組問題,比如將4個元素分為兩組,若一組一個、一組三個共有CC種不同的分法;
而平均分為兩組則有種不同的分法.
【訓練3】 有6本不同的書按下列分配方式分配,問共有多少種不同的分配方式?
(1)分成1本、2本、3本三組;
(2)分給甲、乙、丙三人,其中一人1本,一人2本,一人3本;
(3)分成每組都是2本的三組;
(4)分給甲、
16、乙、丙三人,每人2本.
解 (1)分三步:先選一本有C種選法;再從余下的5本中選2本有C種選法;對于余下的三本全選有C種選法,由分步乘法計數(shù)原理知有CCC=60種選法.
(2)由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配的問題,因此共有CCCA=360種選法.
(3)先分三步,則應(yīng)是CCC種選法,但是這里面出現(xiàn)了重復(fù),不妨記6本書為分別A、B、C、D、E、F,若第一步取了(AB,CD,EF),則CCC種分法中還有(AB、EF、CD),(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A種情況,而且這A種情況僅是AB、CD、EF的順序
17、不同,因此,只算作一種情況,故分配方式有=15(種).
(4)在問題(3)的基礎(chǔ)上再分配,故分配方式有A=CCC=90(種).
閱卷報告16——實際問題意義不清,計算重復(fù)、遺漏致誤
【問題診斷】 排列組合問題由于其思想方法獨特計算量龐大,對結(jié)果的檢驗困難,所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則,如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等,只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩,考慮周全,這樣才能做到不重不漏,正確解題.
【防范措施】 “至少、至多型”問題不能利用分步計數(shù)原理求解,多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對立事件求解
18、
【示例】? 有20個零件,其中16個一等品,4個二等品,若從20個零件中任意取3個,那么至少有1個一等品的不同取法有多少種?
錯因 第二步若取出一等品則與第一步取出的一等品有了先后順序,從而使取法重復(fù).
實錄 按分步原理,第一步確保1個一等品,有C種取法;第二步從余下的19個零件中任意取2個,有C種不同的取法,故共有CC=2 736種取法.
正解 法一 將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類:“恰有1個一等品”,“恰有2個一等品”,“恰有3個一等品”,由分類計數(shù)原理有:CC+CC+C=1 136(種).
法二 考慮其對立事件“3個都是二等品”,用間接法:C-C=1 136(種).
【試一試】 在10名演員中,5人能歌,8人善舞,從中選出5人,使這5人能演出一個由1人獨唱4人伴舞的節(jié)目,共有幾種選法?
[嘗試解答] 本題中的“雙面手”有3個,僅能歌的2人,僅善舞的5人.把問題分為:(1)獨唱演員從雙面手中選,剩下的2個雙面手和只能善舞的5個演員一起參加伴舞人員的選拔;(2)獨唱演員不從雙面手中選拔,即從只能唱歌的2人中選拔,這樣3個雙面手就可以和只能善舞的5個演員一起參加伴舞人員的選拔.故選法種數(shù)是CC+CC=245.
7