《新題庫第二章 第04節(jié)： 二次函數(shù)與二次方程,二次不等式》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新題庫第二章 第04節(jié)： 二次函數(shù)與二次方程,二次不等式（29頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、二次函數(shù)與二次方程，二次不等式 題型1 解不等式的綜合問題 1．已知集合A={x|1<|x-2|<2}, B={x|(x-a)(x-1)<0, a≠1}，且A∩B≠φ，試確定a的取值范圍． 解： A={x|1<|x-2|<2}={x|01時(shí)，B={x|13. （2）當(dāng)a<1時(shí)，B={x|a3或a<1}. 2．不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)對(duì)任意x∈R恒成立，求a與m之間的關(guān)系． 解：原不等式可以整理為(a-m+1

2、)x2+(a-m)x+(a-m)>0，對(duì)于x∈R恒成立． 當(dāng)a-m+1=0時(shí)，原不等式化為-x-1>0不恒成立，應(yīng)舍去． 當(dāng)a-m+1≠0時(shí)，必須有∴(a-m)[3(a-m+1)+1]>0. ∴ ∴a>m. 3．關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式≤(a-1)2與x2-3(a+1)+2(3a+1)≤0（其中a∈R）的解集依次為A與B．求使AB的a的取值范圍． 解：由≤(a-1)2，得-(a-1)2≤x-(a+1)2≤(a-1)2.解得2a≤x≤a2+1. ∴A={x|2a≤x≤a2+1, a∈R}. 由x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，得(x-2)[x-(3a+1)]≤0. 當(dāng)3a+1

3、≥2，即a≥時(shí)，得B={x|2≤x≤3a+1}； 當(dāng)3a+1<2，即a<時(shí)，得B={x|3a+1≤x≤2}. （1）當(dāng)a≥時(shí)，由AB，得解得1≤a≤3. （2）當(dāng)a<時(shí)，由A，得 解得a=-1. ∴使AB的a的取值范圍是{a|1≤a≤3，或a=-1}. 4．已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3, x2=4. （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式；。 解：（1）將， 得。 （2）不等式即為，即 ①當(dāng) ②當(dāng) ③. 5．已知不等式ax2+bx+c>0的解為0<α

4、0的解集。 解：因不等式ax2+bx+c>0的解為0<α0, αβ=>0，所以>0, <0，又a<0，所以c<0.由韋達(dá)定 理x1+x2=；x1x2=. ∴方程cx2-bx+a=0的兩根為。由0<α<β，∴，∴。∴不等式的解集 為{x|-0； （2）ax2-(a+1)x+1<0. 解：（1）原不等式化為(x-a)(x-a2)>0。 ①當(dāng)a2-a>0，即a>1或a<0時(shí)，原不等式的解為x>a2或x

5、-a<0，即0a； ③當(dāng)a2-a=0，即a=0或a=1時(shí)，原不等式的解為x≠a. （2）原不等式化為(ax-1)(x-1)<0. ①當(dāng)a=0時(shí)，其解為x>1; ②當(dāng)01時(shí)，其解為0，其解為x<或x>1. 7．解不等式56x2+ax-a2<0. 解：∵Δ=a2+456a2=225a2≥0,方程56x2+ax-a2=0的解是x1=-, x2=, ∴當(dāng)a>0時(shí)，原不等式變形為56x2<0．∴原不等式的解集是ф；

6、當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集是. 8．解關(guān)于x的不等式：(m+1)x2-4x+1≤0(m∈R)。 解：（1）當(dāng)m=-1時(shí)，原不等式變?yōu)閤≥。 （2）當(dāng)m>-1時(shí)，∵△=12m-4.故有： ①若△<0，即m>3時(shí)，恒有(m+1)x2-4x+1>0，此時(shí)不等式無解； ②若△=0，即m=3時(shí)，原不等式變形為(2x-1)2≤0，其解為：x=； ③若△>0，即-10恒成立，不等式有解：x≤，或x≥。 綜上所得，原不等式的解集如下：m=-1時(shí)，{x|x≥}； m<-1時(shí)，{x|x≤或x≥}；-1

7、 m=3時(shí)，{}； m>3時(shí)，φ。 9．解關(guān)于x的不等式組： 解：原不等式組令a-1=-a, a+1=-a, a-1=-a+1, a+1=-a+1，得a=, a=-, a=1, a=0。A的四個(gè)取值將數(shù)軸分成五個(gè)區(qū)間，分別討論解集如下： （1）當(dāng)a≤-時(shí)，因a-1

8、}； （5）當(dāng)a>1時(shí)，因-a<-a+1

9、0。 解：原不等式可化為：。 （1）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式可化為：>0，即<0, ∴-2。 （3）當(dāng)a<0時(shí)，化為：。 ①當(dāng)a<-時(shí)，有-2<<-a, ∴x<-2或

10、{x|-2}. 13．解關(guān)于的不等式 解：當(dāng)=0時(shí)，原不等式等價(jià)于解得當(dāng)時(shí)，原不等式化為： 當(dāng) 當(dāng). 當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于則 當(dāng)當(dāng)時(shí)，。 當(dāng) 14．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍. 解：當(dāng) 當(dāng)，，∴不成立. 綜上，為所求。 15．已知兩個(gè)非零向量為，解關(guān)于的不等式：。（其中） 解：，由得。 （1）當(dāng)時(shí)，原不等式，∴； （2）當(dāng)時(shí)，，由于，而，于是有： ① 當(dāng)，即時(shí)，，原不等式，∴； ② 當(dāng)，即時(shí)，，原不等式，∴或。 綜上所得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，不等式的解

11、集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為。 16．解關(guān)于x的不等式 解：。 ① 當(dāng)01時(shí)：。 當(dāng)a=3時(shí)，x<0；當(dāng)； 當(dāng)。 ∴。 綜上：當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)。 17 解關(guān)于的不等式： 解：當(dāng)， 。 18．解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1) 解 原不等式可化為：＞0。 ①當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解 由于，∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞) ②當(dāng)a＜1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2) ＜0同解 由于： 若a＜0，,解集為(，2)；若a=0時(shí)，，解集為； 若0＜a＜1，,解集為(2，)。 綜上所述

12、當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)； 當(dāng)a=0時(shí)，解集為；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(，2）。 19 己知三個(gè)不等式：①；②； ③。 (1)若同時(shí)滿足①、②的值也滿足③，求m的取值范圍； (2)若滿足的③值至少滿足①和②中的一個(gè)，求m的取值范圍。 解：記①的解集為A，②的解集為B，③的解集為C。解①得A=（-1，3）；解②得B=。 （1）因同時(shí)滿足①、②的值也滿足③，∴ABC。 設(shè)，由的圖象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3時(shí)，即可滿足。 （2）因滿足③的值至少滿足①和②中的一個(gè)，， 因此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因

13、而 。 20. 已知，求a的取值范圍。 解：化簡.設(shè). ①當(dāng)時(shí),即時(shí),,滿足. ②當(dāng)時(shí),或.若,則,圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,而[1,2],故應(yīng)舍去.若,則,圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,1[1,2],故滿足條件. ③當(dāng)時(shí)，的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).,方程的兩根位于1,2之間.ф。 題型2 二次函數(shù)的綜合問題 21．已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3,x2=4. （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式；。 解：（1）將得 。 （2）不等式即為：，即 ①當(dāng)； ②當(dāng)； ③.

14、22. 設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù). （1）解不等式； （2）試推斷函數(shù)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，說明理由. 解：（1）由得， ，不等式的解集是 （2） 內(nèi)在增函數(shù)，內(nèi)是減函數(shù). 23．已知函數(shù)y=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：由對(duì)數(shù)的定義及題設(shè)條件(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 ①，對(duì)x∈R恒成立?！喈?dāng)a2-1≠0時(shí)，應(yīng)有 解之a(chǎn)<-1或a>。 當(dāng)a2-1=0時(shí)，若a=1，不等式①不是絕對(duì)不等式；若a=-1，則不等式①為1>0，為絕對(duì)不等式。 ∴符合題意的a的集合為(-∞,

15、 -1)∪(, +∞)。 24. 若函數(shù)y=的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：依題意，當(dāng)x∈R時(shí)，(a2-1)x2+(a-1)x+≥0恒成立。 （1）當(dāng)a2-1=0，即當(dāng)時(shí)有a=1，此時(shí)有(a2-1)x2+(a-1)x+=1． 可知當(dāng)x∈R時(shí)，(a2-1)x2+(a-1)x+≥0恒成立，∴a=-1． （2）當(dāng)a2-1≠0，即當(dāng)時(shí)，有解得1

16、AB:x+y=3(x∈[0,3]). ① 把含參數(shù)的曲線轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程進(jìn)行討論，求方程①在區(qū)間[0，3]有唯一解（包括重根）的條件． （1）方程①在[0，3]有重根的條件是： （2）令f(x)=x2-(m+1)x+4，∵f(0)=4>0,當(dāng)f(3)=9-3(m+1)+4=0時(shí)，得m=,而當(dāng)m=時(shí)，方程①除了有根3外，還有一個(gè)根∈[0，3]，∴m=不合要求． （3）∵只需f(3)=9-3(m+1)+4<0,即m>. 綜合（1）、（2）、（3），可得m的取值范圍是m=3，或m>. 26．已知集合P=[, 2]，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域?yàn)镼。 （1）若P∩Q

17、≠φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[，2]內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：（1）P∩Q≠φ，則x∈[，2]，不等式ax2-2x+2>0有解，即a>=-2+2。 令t=∈[，2]，-2t2+2t=-2(t-)2+, ∴t=2時(shí)，g(t)min=-4。∴a>-4。 （2）由題意知，ax2-2x+2=4。由[，2]上有解，則a=，令=t，得h(t)=2(t+)2-，且t∈[，2], ∴h(t)∈[, 12], ∴a∈[, 12]. 27．已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1的左支交于A、B兩點(diǎn)，若另一條直線經(jīng)過點(diǎn)P(-2, 0)及線段AB的

18、中點(diǎn)Q，求直線在y軸上的截距b的取值范圍。 解：由有兩組解，且解中x<0，消去y，得(1-k2)x2+2kx-2=0，有兩個(gè)不同的負(fù)根，其充要條件是：。即k∈(-, -1)為b=f(k)的定義域。 又過點(diǎn)P(-2, 0)，AB中點(diǎn)Q，在y軸上的截距b。得P(-2, 0)、Q()、M(0, b)三點(diǎn)共線b=f(k)=, k∈(-, -1)，即f(k)=(-∞, -2)∪(2+, +∞)。 28．方程x2+ax+a=0在(0, 1上有解，求a的取值范圍。 解：設(shè)f(x)=x2+ax+a， （1）若f(x)=0在(0, 1上有兩解，則有∴此不等式無解。 （2）若f(x)=0在(0, 1上

19、有且僅有一解，則有解之得-≤a<0。 綜上所述得a的取值范圍為[-，0。 方法二：∵x∈(0, 1, ∴x≠=-1，原方程可變?yōu)閍=。 ∵0

20、－x2)＞0，又a＞0，得F(x)=a(x－x1)(x－x2)＞0，即x＜f(x)。 ∵x1－f(x)=x1－［x+F(x)］=x1－x+a(x1－x)(x－x2)=(x1－x)［1+a(x－x2)］?！?＜x＜x1＜x2＜， ∴x1－x＞0，1+a(x－x2)=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f(x)＞0，由此得f(x)＜x。 (2)依題意 x0=－，∵x1、x2是方程f(x)－x=0的兩根，即x1，x2是方程ax2+(b－1)x+c=0的根，∴x1+x2=－，∴x0=－，∵ax2＜1，∴x0＜ 30．設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為，若［1，4］，求實(shí)數(shù)a

21、的取值范圍 解 設(shè)f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)。 (1)當(dāng)Δ＜0時(shí)，－1＜a＜2，=［1，4］。 (2)當(dāng)Δ=0時(shí)，a=－1或2 當(dāng)a=－1時(shí)， ={－1}［1，4］；當(dāng)a=2時(shí)，={2}［1，4］ (3)當(dāng)Δ＞0時(shí)，a＜－1或a＞2 設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，那么=［x1，x2］， ［1，4］1≤x1＜x2≤4，即，解得 2＜a＜。 ∴ ［1，4］時(shí)，a的取值范圍是(－1，)。 31 已知對(duì)于自然數(shù)a，存在一個(gè)以a為首項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式，它有兩個(gè)小于1的正根，求證：a≥5．

22、 證：設(shè)二次三項(xiàng)式為：f(x)=a(x-x)(x-x)，a∈N． 依題意知：0＜x＜1，0＜x＜1，且x≠x．∴有f(0)＞0，f(1)＞0．又f(x)=ax-a(x+x)x+axx為整系數(shù)二次三項(xiàng)式，∴f(0)=axx、f(1)=a(1-x)(1-x)為正整數(shù)．故f(0)≥1，f(1)≥1． 從而f(0)f(1)≥1．　　　 ① 另一方面， 且由x≠x知等號(hào)不同時(shí)成立，∴ 由①、②得，a＞16．又a∈N，所以a≥5． 32．已知集合A={x|x2-5x+4≤0}與B={x|x2-2ax+a+2≤0, a∈R}滿足BA，求a的取值范圍． 解：根據(jù)題意有A={x|x2-5x

23、+4≤0}={x|1≤x≤4}.記f(x)=x2-2ax+a+2， 它的圖象是一條開口向上的拋物線． （1）若B=φ，顯然有BA，此時(shí)拋物線與x軸無交點(diǎn)．故△=4a2-4(a+2)<0. ∴-1

24、？若存在，求出實(shí)數(shù)a；如果不存在，請(qǐng)說明理由。 解：方程①有兩個(gè)不同的實(shí)根的充要條件是△=42-44a>0，即a<1. 方程②有兩個(gè)不同的實(shí)根的充要條件是△′=32-46a>0，即a<。于是，當(dāng)a<時(shí)，兩個(gè)方程都有不同的實(shí)根。 在a<的條件下，方程①的兩個(gè)根是并且x1

25、 有.顯然，不等式④無解。 結(jié)合以上各式，不存在滿足題目要求的a. 34．已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1)，反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為8，f(x)=f1(x)+f2(x) （1）求函數(shù)f(x)的表達(dá)式； （2）證明：當(dāng)a>3時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解。 解：（1）由已知，設(shè)f1(x)=ax2，則f1(1)=1，得a=1，∴f1(x)=x2.設(shè)f2(x)=，它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為A(),B(-,-)，由|AB|=8，得k=8,∴f2(x)=.故f(x)=x2+。 （2）f(x)=f(a),得x

26、2+=a2+，即=-x2+a2+，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)=和f3(x)=-x2+a2+的大致圖象，其中f2(x)的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，f3(x)的圖象是以(0,a2+)為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線。∴f2(x)與f3(x)的圖象在 第三象限有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)=f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解。 又∵f2(2)=4,f3(2)=-4+a2+,當(dāng)a>3時(shí)，f3(2)-f2(2)=a2+-8>0，當(dāng)a>3時(shí)， f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，即f(x)=f(a)有兩個(gè)正數(shù)解?！喾匠?f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解。 證法二：由f(x)=f(a)，得x2+=a2

27、+,即(x-a)(x+a-)=0，得方程的一個(gè)解x1=a，方程x+a-=0化為ax2+a2x-8=0,由a>3,Δ=a4+32a>0，得：x2=,x3=,∴x2<0,x3>0,∴x1≠x2,且x2≠x3，若x1=x3，即a=,則3a2=,a4=4a，得a=0或a=，這與a>3矛盾，∴x1≠x3。 故原方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解。 35．已知函數(shù) （1）當(dāng)且時(shí)，求證： （2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域、值域都是[]，若存在，則求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由. （3）若存在實(shí)，使得函數(shù)的定義域?yàn)閇]時(shí)，值域?yàn)閇]（），求的取值范圍. 解：（1） 在（

28、0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù). 由，且，可得和 即 故，即 （2）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b. 若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)的定義域、值域都是[a，b]，則 ①當(dāng)時(shí)，在（0，1）上為減函數(shù).故 即 解得a=b. 故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b. ②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù).故 即 此時(shí)a，b是方程的根，此方程無實(shí)根.故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b。 ③當(dāng)時(shí)，∵，而，故不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b. 綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b. （3）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb].則 ①當(dāng)時(shí)，由于在（0，1）上是減

29、函數(shù)，值域?yàn)閇ma，mb]， 即 此時(shí)a、b異號(hào)，不合題意.所以a，b不存在. ②當(dāng)或時(shí)，由（2）知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在，故只有在上是增函數(shù)， 即，a，b是方程的兩個(gè)根.即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根.設(shè)這兩個(gè)根為 則 即 解得故m的取值范圍是 36．已知二次函數(shù) （1）對(duì)于求證：方程有不等的兩實(shí)根，且必有一個(gè)實(shí)根屬于； （2）若方程內(nèi)的根為m，且成等差數(shù)列，設(shè)的對(duì)稱軸方程，求證：。 解：由，得 ，故此方程的判別式 ，即方程有兩不等實(shí)根. 令是二次函數(shù)，由 的根必有一個(gè)屬于 （2）由題設(shè)，得，即有 成等

30、差數(shù)列， 即 故，故. 37．已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍. 解：，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為.當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象知，上單調(diào)遞增，要使恒成立，只需， ∴ 當(dāng) 綜上所述，所求的取值范圍為 方法二：由變形得 當(dāng)即③式為恒成立，此時(shí)； 當(dāng)，③式為恒成立，其中即恒成 立，這樣就轉(zhuǎn)化到了求時(shí)函數(shù)的最小值問題，可得當(dāng)，即③式為恒成立，即恒成立.其中，這樣就轉(zhuǎn)化到了求的函數(shù)的最大值的問題，可得.綜合以上知，. 方法三： 由已知在。上恒成立，即 或，解得。 38 設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上，對(duì)任意m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n)，且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f(x)＜1 (1)求

31、證 f(0)=1，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1； (2)求證 f(x)在R上單調(diào)遞減； (3)設(shè)集合A={ (x，y)|f(x2)f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=，求a的取值范圍 解 (1) 令m＞0，n=0得 f(m)=f(m)f(0) ∵f(m)≠0，∴f(0)=1。取m=m，n=－m，(m＜0)得：f(0)=f(m)f(－m)，∴f(m)=。∵m＜0，∴－m＞0，∴0＜f(－m)＜1，∴f(m)＞1。 (2)任取x1，x2∈R，則f(x1)－f(x2)=f(x1)－f［(x2－x1)+x1］=f(x1)－f(x2－x

32、1)f(x1) =f(x1)［1－f(x2－x1)］。∵f(x1)＞0，1－f(x2－x1)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)。 (3)由，由題意此不等式組無解，數(shù)形結(jié)合得 ≥1，解得a2≤3?！郺∈［－，］。 39 已知函數(shù)f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］。 (1)求b、c的值； (2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； (3)若t∈R，求證 lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg 解 (1) 設(shè)y=，則(y－2)x2－bx+y－c=0 ① ∵x∈R，∴①的判別式Δ≥0，即 b2

33、－4(y－2)(y－c)≥0，即4y2－4(2+c)y+8c+b2≤0， ② 由條件知，不等式②的解集是［1，3］，∴1，3是方程4y2－4(2+c)y+8c+b2=0的兩根，∴，∴c=2，b=－2，b=2(舍）。 (2)任取x1，x2∈［－1，1］，且x2＞x1，則x2－x1＞0，且(x2－x1)(1－x1x2)＞0， ∴f(x2)－f(x1)=－＞0，∴f(x2)＞f(x1)，∴l(xiāng)gf(x2)＞lgf(x1)，即F(x2)＞F(x1)，∴F(x)為增函數(shù)。 即－≤u≤，根據(jù)F(x)的單調(diào)性知： F(－)≤F(u)≤F()，∴l(xiāng)g≤F(|t－|－|t+|)≤lg對(duì)任意實(shí)數(shù)t

34、成立。 40．已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時(shí) ＞0 (1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)； (2)解不等式 f(x+)＜f()； (3)若f(x)≤t2－2at+1對(duì)所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍 解 (1)任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，則f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2) =(x1－x2)?！撸?≤x1＜x2≤1，∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0， 又 x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上為

35、增函數(shù) (2) ∵f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，∴ 解得 {x|－≤x＜－1}。 (3)由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，且f(1)=1，對(duì)x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，∴要 f(x)≤t2－2at+1對(duì)所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0。 記g(a)=t2－2at，對(duì)a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0， g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2 ∴t的取值范圍是 {t|t≤－2或t=0或t≥2} 41 設(shè)f(x)=ax

36、2+bx+c，若f(1)=，問是否存在a、b、c∈R，使得不等式 x2+≤f(x)≤2x2+2x+對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論 解 由f(1)=，得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x =－1，由f(x)≤2x2+2x+推得f(－1)≤ 由f(x)≥x2+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=，故2(a+c)=5，a+c=且b=1， ∴f(x)=ax2+x+(－a) 依題意 ax2+x+(－a)≥x2+對(duì)一切x∈R成立，∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，∴f(x)=x2+x+1。 易驗(yàn)證 x2+x+1≤2x2+2x+對(duì)x

37、∈R都成立 ∴存在實(shí)數(shù)a=，b=1，c=1，使得不等式 x2+≤f(x)≤2x2+2x+對(duì)一切x∈R都成立 42 已知函數(shù)f(x)=x2+px+q，對(duì)于任意θ∈R，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2 (1)求p、q之間的關(guān)系式； (2)求p的取值范圍； (3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值 并求此時(shí)f(sinθ)的最小值 解 (1)∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，即當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)，f(x)≤0；當(dāng)x∈［1，3］時(shí)，f(x)≥0，∴當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=0 ∴1+p+q=0，∴q=－(1+p)。 (2)f(x)=x

38、2+px－(1+p)，當(dāng)sinθ=－1時(shí)，f(－1)≤0，∴1－p－1－p≤0，∴p≥0 (3)注意到f(x)在［1，3］上遞增，∴x=3時(shí)，f(x)有最大值 即9+3p+q=14，9+3p－1－p=14，∴p=3 此時(shí)，f(x)=x2+3x－4，即求x∈［－1，1］時(shí)f(x)的最小值 又f(x)=(x+)2－，顯然此函數(shù)在［－1，1］上遞增 ∴當(dāng)x=－1時(shí)f(x)有最小值： f(－1)=1－3－4=－6 43 設(shè)函數(shù)f(x)=ax滿足條件 當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＞1；當(dāng)x∈(0，1時(shí)，不等式 f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求實(shí)

39、數(shù)m的取值范圍 解 由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1恒成立 在x∈(0，1恒成立 整理，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，恒成立，即當(dāng) x∈(0，1時(shí)，恒成立，且x=1時(shí)，恒成立， ∵在x∈(0，1上為減函數(shù)，∴＜－1，∴m＜恒成立m＜0 ∵，在x∈(0，1上是減函數(shù)，∴＜－1 m＞恒成立m＞－1 ∴當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，恒成立m∈(－1，0) ① 當(dāng)x=1時(shí)，，即是∴m＜0 ② ∴①、②兩式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1時(shí)， f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)

40、＞f(m+2)恒成立，即m的取值范圍是(－1，0) 44．若10時(shí)，只需可得a>0。②當(dāng)a<0時(shí)，只需f(1)≤0，即0≥a≥-1. 綜上可得a≥-1. 解法二：（因不等式恒成立，所以不等式對(duì)應(yīng)的函數(shù)在(1, 2上的最大值恒小于0，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉

41、區(qū)間上的最值問題。) 設(shè)f(x)=ax2-2ax+1，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-1，滿足不等式f(x)<0。 當(dāng)a>0時(shí)，f(x)對(duì)稱軸為x=1，結(jié)合二次函數(shù)圖象，(1, 2為f(x)的增區(qū)間，∴f(x)max=f(2)=-1<0, ∴a>0成立； 當(dāng)a<0時(shí)，f(x)對(duì)稱軸為x=1，區(qū)間(1, 2為f(x)的減區(qū)間?！鄁(x)max=f(1)=-a-1≤0. ∴a≥-1, ∴-1≤a<0. 綜上所述：a≥-1。 45．已知函數(shù)f(x)=ax2-c，滿足-4≤f(1)-1和-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍． 解：由-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，可得 設(shè)

42、9a-c=A(a-c)+B(4a-c)，則有A+4B=9和-A-B=-1，解得A=-, B=，∴9a-c=-(a-c)+(4a-c). ∵≤-(a-c)≤, -≤(4a-c)≤，相加得-1≤9a-c≤20. ∴f(3)的取值范圍為[-1, 20]. 解法二：由可得 則f(3)=9a-c=9 =由-1≤f(2)≤5，得-≤f(2)≤.由-4≤f(1)≤-1，得≤-f(1)≤. 相加得-1≤f(2)-f(1)≤20. ∴f(3)的取值范圍為[-1, 20]. 解法三：令a=x, c=y, z=9x-y，則問題轉(zhuǎn)化為在的條件下，求目標(biāo)函數(shù)z=9x-y的取值范圍． 由圖1-3-1可知

43、，當(dāng)x=3, y=7時(shí)，z=9x-y取到最大值20．當(dāng)x=0, y=1時(shí)，z=9x-y取到最小值-1．∴f(3)的取值范圍為[-1, 20]. 46．已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a, b, c均為實(shí)數(shù))，且同時(shí)滿足下列條件： ①f(-1)=0； ②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)-x≥0； ③當(dāng)x∈(0, 2)時(shí)，有f(x)≤。 （1）求f(1)； （2）求a, b, c的值； （3）當(dāng)x∈[-1, 1]時(shí)，函數(shù)g(x)=f(x)-mx(m是實(shí)數(shù))是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍。 解：（1）由f(-1)=0，得a-b+

44、c=0. ①，令x=1，有f(1)-1≥0和f(1)≤，∴f(1)=1. （2）由（1）可知a+b+c=1. ② 聯(lián)立（1）（2）可有b=a+c= ③ 則由題意可得，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(x)-x≥0，即ax2-x+c≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立。于是a>0且△≤0，即有ac≥. ④ 故c>0. 由③、④得a+c≥2≥2，則a=c=，故a=c=, b=. （3）由（2）可得g(x)=f(x)-mx=x2+(-m)x+=[x2+(2-4)x+1]，又x∈[-1, 1]時(shí)，函數(shù)g(x)是單調(diào)的，所以|-|≥1，解之，有m≤0或m≥1. 故m的取值范圍是m≤0或m≥1. ∴原不等式

45、解集為：{x|-5≤x<0}∪{x|0≤x≤-1+}={x|-5≤x≤-1+}. 47. 已知拋物線 （1）當(dāng)m為何值時(shí),拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)? （2）若關(guān)于x的方程的兩個(gè)不等實(shí)根的倒數(shù)平方和不大于2,求m的取值范圍. （3）如果拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且△ABC的面積等于2，試確定m的值。 解：（1）據(jù)題意,須,且,即,得,且. （2）在,1的條件下,,且,得. ,得, ,m的取值范為:. （3）由得.得,解得：. 48．設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+的定義域和值域分別為[a, b]和[2a, 2b]，求a, b的值。 解：定義域[a, b]是動(dòng)態(tài)的

46、，由于值域的確定要依賴于區(qū)間[a, b]的位置的確定，須就[a, b]位置作分類討論。 （1）a>0, f(x)在[a, b]上為減函數(shù)，則，即，兩式相減，得(a-b)(a+b)+4(b-a)=0?！遖≠b, ∴。 （2）b<0, f(x)在[a, b]上為增函數(shù)，∴，解得，又b<0,b=-2-，且a

47、，解得. 下面檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)是否成立：若，即,.此時(shí),而.時(shí)，也成立。綜上可知:. 50. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽. （1）求實(shí)數(shù)m有取值范圍； （2）當(dāng)m變化時(shí)，若y的最小值為f(m)，求函數(shù)f(m)的值域。 解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽. 當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)镽，應(yīng)滿足，解得，。 （2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， ，。。 51. 若關(guān)于x的方程(2-2-|x-3|)2=3+a有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：從函數(shù)的觀點(diǎn)看，原題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)a=(2-2-|x-3|)2-3(x∈R)的值域。令t=2-|x-3|，則0

48、減函數(shù)?！鄁(1)≤f(t)

49、+, ∴f(x)的最大值為。又f(x)在x∈[m, n]上的最大值為2n, 則2n≤, ∴n≤?！鄁(x)在[m, n]上為增函數(shù)，得,∴m, n是f(x)=2x的兩個(gè)不等實(shí)根?！?x2+x=2x. ∴x2+2x=0, x1=-2, x2=0. ∴m=-2, n=0. 53. 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤},求函數(shù)g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值 解 由且x≠0,故0

50、－3，3)上是減函數(shù)，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得 x>2或x<－3,綜上得2

51、點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則 ∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上， ∴。 (Ⅱ)由。當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式無解當(dāng)時(shí)，，解得∴原不等式的解集為 （Ⅲ）， ① ② ⅰ） ⅱ） 55 已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式的解集為（1，3）. （1）若方程有兩個(gè)相等的根，求的解析式； （2）若的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍. 解：（1） ① 由方程 ② ∵方程②有兩個(gè)相等的根， ∴，即 由于代入①得的解析式 （Ⅱ）由， 及由 解得故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍 是 56．已知二次函數(shù)（R，0）． （Ｉ）當(dāng)０＜＜時(shí)，（Ｒ）的最大值為，求的最小值

52、． （II）如果[0，1]時(shí)，總有||．試求的取值范圍． （III）令，當(dāng)時(shí)，的所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)為，求證：數(shù)列的前項(xiàng)的和 解：（Ｉ）由知，故當(dāng)時(shí)取得最大值為， 即所以的最小值為； ① ② （II）由得對(duì)于任意恒成立，當(dāng)時(shí)，使成立；當(dāng)時(shí)，有 對(duì)于任意的恒成立；，則,故要使①式成立，則有，又； 又，則有，綜上所述：； （III）當(dāng)時(shí)，，則此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向上，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，均為整數(shù)， 故，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故， ① 又， ② 由①—②得， 57． 已知函數(shù) （Ⅰ）求f(x)的值域； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(

53、x)=ax－2,x∈[－2，2].若對(duì)于任意x1∈[－2，2]，總存在x0∈[－2，2]，使得g(x0)=f(x1) 成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解：（I）當(dāng)上是增函數(shù)， 此時(shí) 當(dāng)； 當(dāng). ∴f(x)的值域?yàn)椤? （II）（1）若a=0，g(x)=－2，對(duì)于任意x1∈[－2，2]，f(x1)∈，不存在 x0∈[－2，2]，使得g(x0)=f(x1)成立. （2）若a>0,g(x)=ax－2在[－2，2]是增函數(shù)，g(x) ∈[－2a－2,2a－2]. 任給x1∈[－2，2]， f(x1) ∈,若存在x0∈[－2，2]，使得g(x0)=f(x1)成立， 則

54、 （3）若a<0,g(x)=ax－2在[－2，2]是減函數(shù)，g(x) ∈[2a－2,－2a－2]. 同理可得 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 58．已知函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)、滿足 （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求證：的圖象被x軸截得的線段長的取值范圍是； （Ⅲ）問能否得出中至少有一個(gè)數(shù)為正數(shù)？證明你的結(jié)論. 解：（I）、滿足 ∴的一個(gè)實(shí)根， （II）設(shè)、，0，∴方程的一個(gè)根為 1，另一根為 （Ⅲ）設(shè)由已知 不妨設(shè)∴ ∵∴上為增函數(shù)，∴同理當(dāng) ∴中至少有一個(gè)為正數(shù). 59. 設(shè)集合A=[-1, 1], B=[-,]，函數(shù)f(x)=2x2+mx-1。 （1）設(shè)

55、不等式f(x)≤0的解集為C，當(dāng)C(A∪B)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2）當(dāng)m∈A, x∈B時(shí)，證明|f(x)|≤。 解：（1）A∪B=[-1, 1], ∵C(A∪B)，且△=m2+8>0，∴2x2+mx-1=0的兩根在[-1，1]上，即f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)在[-1，1]上?！?1≤m≤1。∴當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，f(x)≤0的解集為C(A∪B)。 （2）∵m∈A, x∈B|m|≤1, x2≤，∴|f(x)|=|2x2+mx-1|≤|2x2-1|+|mx|=1-2x2+|mx| ≤1-2x2+|x|=-2|x|2+|x|+1=-2(|x|-)2+≤。當(dāng)且僅當(dāng)|x|=時(shí)，等號(hào)成立?！鄚

56、f(x)|≤。 60. 給定函數(shù)F(x)=ax2+bx+c，以及G(x)=cx2+bx+a，其中|F(0)|≤1, |F(1)|≤1, |F(-1)|≤1，證明：對(duì)于|x|≤1有：（1）|F(x)|≤； （2）|G(x)|≤2。 解：（1）∵F(0)=c, F(1)=a+b+c, F(-1)=a-b+c. ∴a=, b=, ∴F(x)=ax2+bx+c, x+F(0) ，∵-1≤x≤1, ∴0≤1+x≤2, 0≤1-x2≤1， ∴|F(x)|≤(1+x)+ (1-x)+(1-x2)=-x2+|x|+1=-(|x|-)2+≤. ∴|F(x)|≤。 （2）|G(x)

57、|= . 61. 設(shè)的導(dǎo)數(shù)為. 若則： （1）求的解析式； （2）對(duì)于任意的，求證：①； ②. 解：（1）由，得由已知，得 解得 又 （2）① 由即 ②. 62．已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，－1≤x≤1時(shí)|f(x)|≤1 (1)證明 |c|≤1； (2)證明 當(dāng)－1 ≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2； (3)設(shè)a＞0，有－1≤x≤1時(shí)， g(x)的最大值為2，求f(x) 解 (1) 由條件當(dāng)=1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1，取x=0，得|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1 (2)

58、 依題設(shè)|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1 當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函數(shù)，于是g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1) ∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2， g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，因此得|g(x)|≤2。(－1≤x≤1) 當(dāng)a＜0時(shí)，g(x)=ax+b在［－1，1］上是減函數(shù)，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)。 ∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴|g(x)|=|f(1)－

59、c|≤|f(1)|+|c|≤2 綜上所述，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，都有|g(x)|≤2 方法二 ∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，∵f(x)=ax2+bx+c， ∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，根據(jù)絕對(duì)值不等式性質(zhì)得 |a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2， ∵g(x)=ax+b，∴|g(1)|=|a+b|=|ab|≤2，函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是一條直線，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在區(qū)

60、間的端點(diǎn)x=－1或x=1處取得，于是由|g(1)|≤2得|g(x)|≤2， (－1＜x＜1 (3)∵a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2① ∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1 ∵當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，直線x=0為f(x)的圖象的對(duì)稱軸，∴－＜0 ，即b=0 由①得a=2，所以f(x)=2x2－1 63 已知函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，設(shè)方程f(x)=x的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2。 (1

61、)如果x1＜2＜x2＜4，設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=x0，求證x0＞－1； (2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范圍 解 (1)設(shè)g(x)=f(x)－x=ax2+(b－1)x+1，且x＞0 ∵x1＜2＜x2＜4，∴(x1－2)(x2－2)＜0， 即x1x2＜2(x1+x2)－4， (2) 由方程g(x)=ax2+(b－1)x+1=0，可知x1x2=＞0，所以x1，x2同號(hào)。 ① 若0＜x1＜2，則x2－x1=2，∴x2=x1+2＞2，∴g(2)＜0，即4a+2b－1＜0。 ① 又(x2－x1)2=，∴2a+1= ，(∵a＞0)代入①式得， 2＜3－2b， ② 解②得：b＜。 ② 若 －2＜x1＜0，則x2=－2+x1＜－2，∴g(－2)＜0，即4a－2b+3＜0。 ③ 又2a+1=，代入③式得：2＜2b－1 ④ 解④得：b＞ 綜上，當(dāng)0＜x1＜2時(shí)，b＜；當(dāng)－2＜x1＜0時(shí)，b＞ 64 己知。 （1） （2），證明：對(duì)任意，的充要條件是； （3）討論：對(duì)任意，的充要條件。 證：（1）依題意，對(duì)任意，都有， （2）充分性： 必要性：對(duì)任意， 。 綜上，對(duì)任意的。 （3）， 即。 而當(dāng)。 。 29