線性方程組1.矩陣消元法.ppt
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1,,第二章：線性方程組。,上一章的克萊姆法則只能解決部分適合條件方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的線性方程組。科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中的許多問題往往可以歸結(jié)為解一個(gè)線性方程組，一般這樣的方程組中方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)是不同的，對這種方程組的研究在理論上和應(yīng)用上都具有重要意義，也是本章的主要任務(wù)。,本章主要解決兩個(gè)問題：1.線性方程組求解方法—矩陣消元法及解的結(jié)構(gòu)。2.為了解決第一個(gè)問題,需要引進(jìn)n維向量的概念，并討論n維向量的線性關(guān)系。,2,第一節(jié)：矩陣消元法本節(jié)主要介紹以下兩點(diǎn)一：矩陣消元法——解線性方程組的一種最古老但仍然被廣泛使用的方法之一。(引入矩陣及矩陣的初等行，列變換)二：線性方程組解的情況——初探。,*矩陣消元法也被稱為高斯消元法，但是我國古代的算書《九章算術(shù)》中早已有了許多線性方程組的應(yīng)用題，而且有了解線性方程組的消元法，這比高斯整整早了一千年。,3,,一：矩陣消元法.,在中學(xué)里，我們已經(jīng)學(xué)過用加減消元法解二,三元線性方程組，下面先看一個(gè)例子。例1.解線性方程組,解：,?-??3?-??2,符號?-??3表示第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的3倍,4,符號??(-1/5)表示第3的方程乘(-1/5)。,符號(②,③)表示互換第2，第3兩個(gè)方程的位置。,??(-1/5),(②,③),5,這種形式的線性方程組一般稱為階梯形方程組,特點(diǎn)是：自上而下的各個(gè)方程所含未知量的個(gè)數(shù)依次減少。,③+②7,,6,由原方程組化為階梯形方程組的過程稱為消元過程，而由階梯形方程組逐次求得各未知量的過程稱為回代過程。在求解過程中，對方程組反復(fù)施行了以下三種變換——稱為方程組的初等變換。,交換兩個(gè)方程的位置。用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程的兩邊。用一個(gè)數(shù)乘某個(gè)方程加到另一個(gè)方程上。,方程組的初等變換具有可逆性，即若方程組⑴經(jīng)過方程組的初等變換變?yōu)榉匠探M⑵，則方程組⑵必可經(jīng)過方程組的初等變換還原成方程組⑴。,7,在例1的求解過程中，我們只對未知量的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，因此求解過程可以寫的更簡單。,,線性方程組⑴可以用下面的矩形數(shù)表來表示：,(它的每一行表示一個(gè)方程),數(shù)表⑵中的橫排稱為行，縱排稱為列。這樣的三行四列數(shù)表就稱為一個(gè)三行四列矩陣，簡稱34矩陣，且稱其為線性方程組⑴的增廣矩陣。,8,對方程組⑴施以方程組的初等變換，就相當(dāng)于對矩陣⑵的各行施以相應(yīng)的變換，它們都稱為矩陣的初等行變換。,利用矩陣的記號，例1的消元過程可以寫成如下形式。,9,②－①3③－①2,②－①3③－①2,③(-1/5),③(-1/5),10,(②,③),(②,③),③+②7,③+②7,11,最后一個(gè)矩陣稱為階梯形矩陣，其特點(diǎn)是⑴自上而下的各行中，每行第一個(gè)非零元素左邊零的個(gè)數(shù)隨行數(shù)的增加而嚴(yán)格增加。⑵元素全為零的行(如果有的話)位于矩陣的下邊。,12,由最后一個(gè)矩陣可得原方程組的解：x1=2,x2=0,x3=-1.,(唯一解),這個(gè)階梯形矩陣稱為簡化階梯形矩陣。,,13,解：對方程組的增廣矩陣(是一個(gè)35的矩陣)施以矩陣的初等行變換，將其化為階梯形矩陣，過程如下：,在求解未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)不等的線性方程組時(shí)，也可以用上述的矩陣形式。,②－①3③－①2,,14,,,,,,③－②2,,(②,③),,15,所以原方程組也無解。,這是一個(gè)矛盾方程組，無解。,16,解：對方程組的增廣矩陣(是一個(gè)46的矩陣)施以矩陣的初等行變換，將其化為階梯形矩陣，(下面我們給出簡化過程),,,17,,,18,,階梯形矩陣，它對應(yīng)的階梯形方程組為,其中最后一個(gè)方程已化成‘0=0’，,說明該方程是“多余”的方程，不再寫出。這個(gè)階梯形方程組還可以寫成下面的形式。,,19,所以原方程組有無窮多解。,,,,,,我們繼續(xù)對階梯形矩陣(2)進(jìn)行初等行變換，,20,②+③9①–③3,③(-1),,②(-1/5),,,21,(這種階梯形矩陣稱為簡化階梯形矩陣，特點(diǎn)是？),①–②2,,,,22,我們稱⑶為原方程組的一般解：即用自由未知量表示其余未知量的表達(dá)式。,23,由上面的例1—例3，可以看出線性方程組可能無解，也可能有解，在有解的情況下，可能有唯一解，也可能有無窮多解。,將矩陣消元法小結(jié)如下：寫出線性方程組的增廣矩陣,一般用表示。2.對用矩陣的初等行變換化為階梯形矩陣或簡化階梯形矩陣。3.判斷線性方程組是否有解，有解時(shí)，給出相應(yīng)的解。(有無窮多解時(shí)，給出一般解。),24,二：線性方程組解的情況,定義：,為了便于討論一般的線性方程組解的情況，現(xiàn)在引入矩陣的概念。,,,25,有時(shí)為了說明矩陣的行數(shù)與列數(shù)也可以用Amn或A=(aij)mn來表示一個(gè)mn矩陣。,其中的橫排稱為矩陣的行，縱排稱為矩陣的列。矩陣中的數(shù),定義：對一個(gè)矩陣可以施以下述三種變換,26,這三種變換中的每一種都稱為矩陣的初等行(列)變換，矩陣的初等行變換，初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。(具有可逆性),*解方程組時(shí)，只用其中的初等行變換。,27,方程組中未知量的系數(shù)可以組成數(shù)域F上的一個(gè)mn矩陣,28,矩陣A稱為線性方程組(1)的系數(shù)矩陣，而稱m(n+1)矩陣,為線性方程組(1)的增廣矩陣。請比較系數(shù)矩陣與增廣矩陣的相同與不同之處。,,,為了討論線性方程組(1)的解的情況，,,29,30,由后m–1行，右邊的n列可以組成一個(gè)(m–1)n矩陣，對此矩陣?yán)^續(xù)施以上述變換，必要時(shí)可以重新排列未知量的順序，直到將其化為如下形式的階梯形矩陣為止：,(想一想是否一定可以化為階梯形?若能，請給出證明。),31,階梯形矩陣,,它對應(yīng)的階梯形方程組為,32,33,因?yàn)橄^程只是對線性方程組的系數(shù)（含常數(shù)項(xiàng)）進(jìn)行運(yùn)算而與方程中未知量的取值無關(guān)，,所以上面的階梯形線性方程組⑵與原線性方程組⑴同解。我們只要對階梯形線性方程組⑵討論就可以知道原線性方程組解的情況。,由消元過程不難得出必有r≤n。(關(guān)于這一點(diǎn)你能否想清楚)這時(shí)可能出現(xiàn)下述情況：,34,1)如果r=n則線性方程組⑵相當(dāng)于,⑶,對⑶式，由可以自下而上的依次求出,35,寫出⑶式對應(yīng)的階梯形矩陣，自下而上逐次施以矩陣的初等行變換，進(jìn)一步化為簡化階梯形矩陣，可得線性方程組⑴的唯一解。,線性方程組⑵有唯一解，因而線性方程組⑴也有唯一解。這一過程也可以用下法代替。,用下圖表示。,36,簡化階梯形矩陣,,37,記為⑷,其中xr+1,xr+2...xn稱為自由未知量，任意取定自由未知量的一組值，都可以唯一的確定其余未知量x1,x2...xr(不自由)的一組值，,從而可得線性方程組的一組解。,38,因此原來的線性方程組有無窮多組解。此時(shí)，對階梯形方程組⑷對應(yīng)的階梯形矩陣可以經(jīng)過矩陣的初等行變換進(jìn)一步化為簡化階梯形矩陣：,,39,由此可得原線性方程組的一般解：,對于具體的線性方程組，若有無窮多解時(shí)，自由未知量的選取要根據(jù)具體題目具體分析，不一定取后面的未知量為自由未知量！但是，自由未知量的個(gè)數(shù)是唯一確定的！,40,且有：自由未知量的個(gè)數(shù)=線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)n-(簡化)階梯形矩陣中非零行的行數(shù)r，非零行是指--不全為零的行。,總結(jié)一下，我們有下述結(jié)論：,線性方程組⑴的增廣矩陣經(jīng)過矩陣的初等行變換,可以化為階梯形(或簡化階梯形)矩陣，對應(yīng)的階梯形方程組與原線性方程組同解，并且有：,1.當(dāng)dr+1≠0時(shí)，線性方程組⑴無解。2.當(dāng)dr+1=0時(shí)且r=n時(shí)，線性方程組⑴有唯一解。3.當(dāng)dr+1=0時(shí)且r下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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