4、 D.6
9.在△ABC中,B=π4,BC邊上的高等于13BC,則sin A=( )
A.310 B.1010 C.55 D.31010
10.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為( )
A.18+365 B.54+185 C.90 D.81
11.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,
AA1=3,則V的最大值是( )
A.4π B.9π2 C.6π D.32π3
12.已知O為坐標(biāo)原點,F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(
5、a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左,右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( )
A.13 B.12 C.23 D.34
第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
本卷包括必考題和選考題兩部分.第13~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22~24題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分.
13.設(shè)x,y滿足約束條件2x-y+1≥0,x-2y-1≤0,x≤1,則z=2x+3y-5的最小值為 .
14.函數(shù)y=sin x-3cos x的
6、圖象可由函數(shù)y=2sin x的圖象至少向右平移 個單位長度得到.
15.已知直線l:x-3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.則|CD|= .
16.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時, f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是 .
三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(Ⅰ)求a2,a3;
(Ⅱ)求{an}的通項公式.
18.(本小題滿分1
7、2分)
下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.
(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(Ⅱ)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量
.
附注:
參考數(shù)據(jù):∑i=17yi=9.32,∑i=17tiyi=40.17,∑i=17(yi-y)2=0.55,7≈2.646.
參考公式:相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2∑i=1n(yi-y)2,
回歸方程y^=a^+b^t中斜率和截距最小二乘估計公式分別為:b^=∑i=1n
8、(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2,a^=y-b^t.
19.(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.
(Ⅰ)證明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求四面體N-BCM的體積.
20.(本小題滿分12分)
已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點.
(Ⅰ)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ;
(Ⅱ)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方
9、程.
21.(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1.
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明當(dāng)x∈(1,+∞)時,11,證明當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.
請考生在第22~24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.
22.(本小題滿分10分)選修4—1:幾何證明選講
如圖,☉O中AB的中點為P,弦PC,PD分別交AB于E,F兩點.
(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(Ⅱ)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G,證明OG⊥CD.
23.(本小題滿分10分)選修4—
10、4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsinθ+π4=22.
(Ⅰ)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo).
24.(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.
(Ⅰ)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)≤6的解集;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當(dāng)x∈R時, f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.
2016年普通高等學(xué)
11、校招生全國統(tǒng)一考試(課標(biāo)全國卷Ⅲ)
一、選擇題
1.C 由補(bǔ)集定義知?AB={0,2,6,10},故選C.
2.D 由z=4+3i得|z|=32+42=5,z=4-3i,則z|z|=45-35i,故選D.
3.A cos∠ABC=BABC|BA||BC|=32,所以∠ABC=30,故選A.
4.D 由雷達(dá)圖易知A、C正確.七月份平均最高氣溫超過20 ℃,平均最低氣溫約為13 ℃;一月份平均最高氣溫約為6 ℃,平均最低氣溫約為2 ℃,所以七月的平均溫差比一月平均溫差大,故B正確.由題圖知平均最高氣溫超過20 ℃的月份為六、七、八月,有3個.故選D.
疑難突破 本題需認(rèn)真審題,采用估算
12、的方法來求解.
5.C 小敏輸入密碼的所有可能情況如下:
(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),
(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),
(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15種.
而能開機(jī)的密碼只有一種,所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率為115.
6.D 解法一:cos 2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ
=1-tan2θ1+tan2θ=45.故選D.
解法二:由tan θ=-13,可得sin θ=110,
因而cos 2θ=1-2sin2θ=45.
7.
13、A a=243=423,c=2513=523,而函數(shù)y=x23在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以323<423<523,即b16,則輸出n的值為4,故選B.
9.D 解法一:過A作AD⊥BC于D,設(shè)BC=a,由已知得AD=a3,∵B=π4,∴AD=BD,∠BAD=π4,
∴BD=a3,DC=23
14、a,tan∠DAC=DCAD=2.
∴tan∠BAC=tanπ4+∠DAC=tanπ4+tan∠DAC1-tanπ4tan∠DAC=1+21-2=-3.
cos2∠BAC=11+tan2∠BAC=110,sin∠BAC=1-cos2∠BAC=31010.故選D.
解法二:過A作AD⊥BC于D,設(shè)BC=a,由已知得AD=a3,∵B=π4,∴AD=BD,∴BD=AD=a3,DC=23a,∴AC=a32+23a2=53a,在△ABC中,由正弦定理得asin∠BAC=53asin45,∴sin∠BAC=31010.故選D.
10.B 由三視圖可知,該幾何體是底面為正方形(邊長為3),高
15、為6,側(cè)棱長為35的斜四棱柱.其表面積S=232+2335+236=54+185.故選B.
易錯警示 學(xué)生易因空間想象能力較差而誤認(rèn)為側(cè)棱長為6,或漏算了兩底面的面積而致錯.
11.B 易得AC=10.設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則1268=12(6+8+10)r,所以r=2,因為2r=4>3,所以最大球的直徑2R=3,即R=32.此時球的體積V=43πR3=92π.故選B.
12.A 解法一:設(shè)點M(-c,y0),OE的中點為N,則直線AM的斜率k=y0a-c,從而直線AM的方程為y=y0a-c(x+a),令x=0,得點E的縱坐標(biāo)yE=ay0a-c.
同理,OE的中點N的縱坐標(biāo)
16、yN=ay0a+c.
因為2yN=yE,所以2a+c=1a-c,即2a-2c=a+c,所以e=ca=13.故選A.
解法二:如圖,設(shè)OE的中點為N,
由題意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,
∵PF∥y軸,∴|MF||OE|=|AF||AO|=a-ca,
|MF||ON|=|BF||OB|=a+ca,
又∵|MF||OE|=|MF|2|ON|,即a-ca=a+c2a,
∴a=3c,故e=ca=13.
方法總結(jié) 利用點M的坐標(biāo)為參變量,通過中點坐標(biāo)公式建立等式,再利用方程的思想求解.
二、填空題
13.答案 -10
解析 可
17、行域如圖所示(包括邊界),直線2x-y+1=0與x-2y-1=0相交于點(-1,-1),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過(-1,-1)時,z取最小值,zmin=-10.
14.答案 π3
解析 函數(shù)y=sin x-3cos x=2sinx-π3的圖象可由函數(shù)y=2sin x的圖象至少向右平移π3個單位長度得到.
方法總結(jié) 本題首先要將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的形式再求解,另外要注意圖象平移的方向.
15.答案 4
解析 圓心(0,0)到直線x-3y+6=0的距離d=61+3=3,|AB|=212-32=23,過C作CE⊥BD于E,因為直線l的傾斜角為30,所以|CD|
18、=|CE|cos30=|AB|cos30=2332=4.
解后反思 本題涉及直線和圓的位置關(guān)系,要充分利用圓的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想方法求解.
16.答案 y=2x
解析 當(dāng)x>0時,-x<0, f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x>0),點(1,2)在曲線y=f(x)上,易知f (1)=2,故曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是y-2=f (1)(x-1),即y=2x.
易錯警示 注意f (1)的求解方法,易因忽略x的取值范圍而直接求f(x)=e-x-1-x的導(dǎo)數(shù)致錯.
三、解答題
17.解析 (Ⅰ)由題意得a2=12,a3=
19、14.(5分)
(Ⅱ)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).
因為{an}的各項都為正數(shù),所以an+1an=12.
故{an}是首項為1,公比為12的等比數(shù)列,因此an=12n-1.(12分)
18.解析 (Ⅰ)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得
t=4,∑i=17(ti-t)2=28,∑i=17(yi-y)2=0.55,
∑i=17(ti-t)(yi-y)=∑i=17tiyi-t∑i=17yi=40.17-49.32=2.89,
r≈2.890.5522.646≈0.99.(4分)
因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說
20、明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(6分)
(Ⅱ)由y=9.327≈1.331及(Ⅰ)得b^=∑i=17(ti-t)(yi-y)∑i=17(ti-t)2=2.8928≈0.10,
a^=y-b^t=1.331-0.104≈0.93.
所以y關(guān)于t的回歸方程為y^=0.93+0.10t.(10分)
將2016年對應(yīng)的t=9代入回歸方程得:y^=0.93+0.109=1.83.
所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.83億噸.(12分)
思路分析 先根據(jù)折線圖及參考數(shù)據(jù)求解相關(guān)系數(shù)r,再對相關(guān)系數(shù)r的意義進(jìn)行闡述,然后根據(jù)最小二乘法得出
21、線性回歸系數(shù),注意運算的準(zhǔn)確性.
19.解析 (Ⅰ)證明:由已知得AM=23AD=2,
取BP的中點T,連結(jié)AT,TN,由N為PC中點知TN∥BC,TN=12BC=2.(3分)
又AD∥BC,故TNAM,故四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT.
因為AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.(6分)
(Ⅱ)因為PA⊥平面ABCD,N為PC的中點,所以N到平面ABCD的距離為12PA.(9分)
取BC的中點E,連結(jié)AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=AB2-BE2=5.
由AM∥BC得M到BC的距離為5,
故S△BCM=1245=25.
22、所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=13S△BCMPA2=453.(12分)
20.解析 由題設(shè)知F12,0.設(shè)l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠0,
且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.
記過A,B兩點的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.(3分)
(Ⅰ)由于F在線段AB上,故1+ab=0.
記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,則
k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.
所以AR∥FQ.(5分)
(Ⅱ)設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0),則S△ABF=12|b-a||FD|=12|
23、b-a|x1-12,S△PQF=|a-b|2.
由題設(shè)可得212|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去)或x1=1.
設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x,y).
當(dāng)AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x≠1).
而a+b2=y,所以y2=x-1(x≠1).
當(dāng)AB與x軸垂直時,E與D重合.
所以,所求軌跡方程為y2=x-1.(12分)
易錯警示 容易漏掉直線AB與x軸垂直的情形而失分.
21.解析 (Ⅰ)由題設(shè)知, f(x)的定義域為(0,+∞), f (x)=1x-1,令f (x)=0,解得x=1.
當(dāng)00, f
24、(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時, f (x)<0, f(x)單調(diào)遞減.(4分)
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.
所以當(dāng)x≠1時,ln x1,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,
則g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,
解得x0=lnc-1lnclnc.
當(dāng)x0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>x0時,g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.(9分)
由(Ⅱ)知1
25、<1.
又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)00.
所以當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.(12分)
疑難突破 在(Ⅲ)中,首先要解方程g(x)=0,為了判定g(x)的單調(diào)性,必須比較極值點x0與區(qū)間(0,1)的關(guān)系,注意到g(0)=g(1)=0是求解本題的突破點.
22.解析 (Ⅰ)連結(jié)PB,BC,則∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.
因為AP=BP,所以∠PBA=∠PCB,
又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.
又∠PFB+∠BFD=180,∠PFB=2∠PCD,
所以3∠PCD=180,因此∠PCD=60.(5
26、分)
(Ⅱ)因為∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180,由此知C,D,F,E四點共圓,其圓心既在CE的垂直平分線上,又在DF的垂直平分線上,故G就是過C,D,F,E四點的圓的圓心,所以G在CD的垂直平分線上.又O也在CD的垂直平分線上,因此OG⊥CD.(10分)
方法總結(jié) 三角形和四邊形的外接圓的圓心是各邊中垂線的交點.因此中點、垂直、圓心是緊緊相連、相互轉(zhuǎn)化、相互作用的.
23.解析 (Ⅰ)C1的普通方程為x23+y2=1.
C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.(5分)
(Ⅱ)由題意,可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(3cos α,sin α).因為C2是直線,所以|PQ|的最
27、小值即為P到C2的距離d(α)的最小值,d(α)=|3cosα+sinα-4|2=2sinα+π3-2.(8分)
當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+π6(k∈Z)時,d(α)取得最小值,最小值為2,此時P的直角坐標(biāo)為32,12.(10分)
思路分析 求圓上一動點到直線上點的距離的最小值時,利用圓的參數(shù)方程化為三角函數(shù)的最值問題,能極大提高解題效率.
24.解析 (Ⅰ)當(dāng)a=2時, f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.(5分)
(Ⅱ)當(dāng)x∈R時,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a
=|1-a|+a,
當(dāng)x=12時等號成立,
所以當(dāng)x∈R時, f(x)+g(x)≥3等價于|1-a|+a≥3.①(7分)
當(dāng)a≤1時,①等價于1-a+a≥3,無解.
當(dāng)a>1時,①等價于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范圍是[2,+∞).(10分)
方法總結(jié) 含有絕對值的不等式恒成立問題主要有兩種解決方法:一是利用|ab|≤|a|+|b|;二是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法.
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2016年高考 全國三卷 文科數(shù)學(xué)
