《高中數學（北師大版）選修2-2教案：第1章 類比推理應用中錯誤辨析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學（北師大版）選修2-2教案：第1章 類比推理應用中錯誤辨析（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 類比推理應用中錯誤辨析 類比在數學思維中的作用主要表現為發(fā)現問題、提出猜想、建立模型。歐拉曾經說過，類比是偉大的引路人，他曾多次利用類比的方法做出重大的數學發(fā)現。然而，類比推理在所有的推理中是最不嚴格、最不確定的，它是一種或然推理，其結論正確與否有待實踐來證明。本文所舉幾例正是學生在解題正不恰當的利用類比致使解題失誤。 應用類比推理時只有本質相同或相近的事物才能進行類比，如果把僅僅形式上相似而本質上都不相同的事物不分青紅皂白的亂用類比，就會造成錯誤。 1、性質類比致誤 例1、函數的最小正周期是____________. 錯解：因為函數y＝tanx的最小正周期是，所以函

2、數的最小正周期是. 剖析：先前研究過函數的周期性，由其圖象（圖1）可知它的最小正周期是y＝sinx周期的一半，由此類比；認為的周期就是y＝tanx周期的一半。 現作出的圖象（圖2），易見其最小正周期仍為. 2、方法類比致誤 例2、一張三角形紙片內有99個點，連同該三角形的頂點共102個點，這些點無任何三點共線。若以這些點為頂點把三角形紙片剪成小三角形，可得到小三角形紙片（ ）個。 A、 B、 C、200 D199 錯解：從這99（或102）個點中任取3個點，可以得到三角形的個數為 - 1 - / 4

3、 （或），因而選A（或B） 剖析：此題初看似幾何組合問題，因而誤用組合計數來計算結果。但△DEC顯然不合要求（圖3）是否可用“去雜法”求解呢？事實證明這一想法也很難實現，下面給出兩種正確解決方案： 解法1：設△ABC內有n個點時所得符合條件的小三角形的個數我f（n），當增加一個點H后（圖4），點H將它所在的△BCF又分成了3個小三角形：△BFH、△BCH、△CFH，即每增加一個點后，小三角形的個數就增加兩個，于是有fn＋1）＝f（n）＋2，所以f（n）是公差為2的等差數列，且首項f（1）＝3，所以f（n）＝2n＋1，則 f（99）＝299＋1＝199個，因而選D. 解

4、法2：將圖3中△ABC內各點全部“拎”起，使之成為一個凸多面體（圖5），問題轉化為：已知一個多面體的頂點數V＝102，每個面都是三角形，求其面數F. 因為楞數E＝F，代入歐拉公式V＋F＝E＋2得102＋F＝F＋2，所以F＝200，注意到△ABC已被剪掉，所以正確結果我200－1＝199個，選D. 點評：這一解法將平面圖形類比到空間圖形，轉化為多面體的面數問題，進而利用歐拉公式來處理，手法之新穎令人拍案叫絕。 3、類比法則產生錯誤 例3、求方程有實數根的條件。 解：因為原方程有實數根，所以，所以，當時，原方程有實根。 剖析：本題的方程是虛系數方程，條件既不是它有實

5、數根的充分條件，也不是必要條件。 正解：設方程有一實數根，則有 所以，＝0……………………………………（1） ………………………………………（2） 由（2）得＝－b，代入（1）得 所以，當b＝0或b＝1時，原方程有實數根。 點評：在復數的運算這一內容的學習中,首先要正確理解復數的各種運算法則的條件和實質。然后要明確實數集的運算性質在復數集中哪些仍然適用，哪些又不適用,不能適用的要防止實數集擴展到復數集的負遷移。即： (1)|Z|2≠Z2 　　(2)Z1－Z2不能確定正負； 　　(3)Z2≥0不成立； 　　(4)Z12＋Z22＝0不能推出Z1＝0，Z2＝0； 　　(5)

6、實數集內的根式運算法則在復集內受到很大的約束，要盡量避免在復數運算中使用根號，防止濫用根式運算法則。在復數各種運算法則的應用吵僅要注重真正用，更重要的是要注重其逆向應用和變形應用。 例4、若a、b都是非零向量，a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，則a與b的夾角為________. 錯解：由題意得 即 （1） －（2）得：46a.b=23b,即：2a.b=b…………………………………………（3） 消去b得：2a＝b 所以：，所以 剖析：在（3）中，不能約去b得出2a＝b，這一點與實數乘法是不同的。把（3）代入（1），可得于是cos所以，即a與b的夾角為。 從以上幾例可以看出，類比作為一種推理方法，既能成就偉大的發(fā)現，也會導致“美麗”的錯誤，所以在學習中既要大膽地、創(chuàng)造性地運用類比的方法提出猜想，也應明確類比并不是 具有證明效果的推理方法，對類比的結果應始終保持謹慎、探究的科學態(tài)度。通過圖形印證、特例反駁等各種手段進行檢驗，謹防類比惹了“禍”。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！