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2022年中考數(shù)學(xué)考前專題輔導(dǎo) 冪函數(shù)

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1、教學(xué)目標(biāo) 1、掌握冪函數(shù)的形式特征,掌握具體冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)。 2、能應(yīng)用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題。 重點(diǎn)、難點(diǎn) 從具體函數(shù)歸納認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的一些性質(zhì)并簡(jiǎn)單應(yīng)用,引導(dǎo)學(xué)生概括出冪函數(shù) 的性質(zhì)。 考點(diǎn)及考試要求 考點(diǎn)1:冪函數(shù)的概念 考點(diǎn)2:指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì) 考點(diǎn)3:指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別 教 學(xué) 內(nèi) 容 第一課時(shí) 冪函數(shù)知識(shí)盤點(diǎn) 一、冪函數(shù) 1、冪函數(shù)定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù). 2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納. (1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(diǎn)(1,1); (2)時(shí),冪函數(shù)的圖象通

2、過原點(diǎn),并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸; (3)時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時(shí),圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.   函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線,貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終,而冪函數(shù)是其中的一部分內(nèi)容,這部分內(nèi)容雖然少而簡(jiǎn)單,卻包含了一些重要的數(shù)學(xué)思想.下面剖析幾例,以拓展你的思維. 二、冪函數(shù)解題思想  ?。ㄒ唬┓诸愑懻摰乃枷?   例1 已知函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸都無公共點(diǎn),且其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,求n的值,并畫出函數(shù)的圖象.   解:因?yàn)閳D象與y軸無公共

3、點(diǎn),故,又圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則為偶數(shù),由,得,又因?yàn)?,所以?   當(dāng)時(shí),不是偶數(shù);   當(dāng)時(shí),為偶數(shù);   當(dāng)時(shí),為偶數(shù);   當(dāng)時(shí),不是偶數(shù);   當(dāng)時(shí),為偶數(shù);   所以n為,1或3.   此時(shí),冪函數(shù)的解析為或,其圖象如圖1所示.  ?。ǘ?shù)形結(jié)合的思想   例2 已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上,點(diǎn),在冪函數(shù)的圖象上.   問當(dāng)x為何值時(shí)有:(1);(2);(3).   分析:由冪函數(shù)的定義,先求出與的解析式,再利用圖象判斷即可.   解:設(shè),則由題意,得,   ∴,即.再令,則由題意,得,   ∴,即.在同一坐標(biāo)系中作出 與的

4、圖象,如圖2所示.由圖象可知:  ?。?)當(dāng)或時(shí),;  ?。?)當(dāng)時(shí),;  ?。?)當(dāng)且時(shí),.   小結(jié):數(shù)形結(jié)合在討論不等式時(shí)有著重要的應(yīng)用,注意本題中的隱含條件.  ?。ㄈ┺D(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想   例3 函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ?。?  ?。粒 。拢 。茫 。模?   解析:要使函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù),可轉(zhuǎn)化為對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立,即且.   解得. 故選(B) 第二課時(shí) 冪函數(shù)習(xí)題精講 冪函數(shù)中的三類討論題:   所謂分類討論,實(shí)質(zhì)上是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”的策略. 分類討論時(shí)應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法

5、與技巧,做到確定對(duì)象的全體,明確分類的標(biāo)準(zhǔn),不重、不漏的分類討論.在冪函數(shù)中,分類討論的思想得到了重要的體現(xiàn),可根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),依據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性分類討論,使得結(jié)果得以實(shí)現(xiàn).   類型一:求參數(shù)的取值范圍   例1 已知函數(shù)為偶函數(shù),且,求m的值,并確定的解析式.   分析:函數(shù)為偶函數(shù),已限定了必為偶數(shù),且,,只要根據(jù)條件分類討論便可求得m的值,從而確定的解析式.   解:∵是偶函數(shù),∴應(yīng)為偶數(shù).   又∵,即,整理,得,∴,∴.   又∵,∴或1.   當(dāng)m=0時(shí),為奇數(shù)(舍去);當(dāng)時(shí),為偶數(shù).   故m的值為1,.   評(píng)注:利用分類討論思想解題時(shí),要充分挖掘已

6、知條件中的每一個(gè)信息,做到不重不漏,才可為正確解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).   類型二:求解存在性問題   例2 已知函數(shù),設(shè)函數(shù),問是否存在實(shí)數(shù),使得在區(qū)間是減函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù)?若存在,請(qǐng)求出來;若不存在,請(qǐng)說明理由.   分析:判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí),可以利用定義,也可結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷,但要注意問題中符號(hào)的確定,要依賴于自變量的取值區(qū)間.   解:∵,則.   假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得滿足題設(shè)條件,   設(shè),則 .   若,易知,,要使在上是減函數(shù),則應(yīng)有恒成立.   ∵,,∴.而,   ∴..   從而要使恒成立,則有,即.   若,易知,要使在上是增函數(shù),則應(yīng)

7、有恒成立.   ∵,,   ∴,而,∴.   要使恒成立,則必有,即.   綜上可知,存在實(shí)數(shù),使得在上是減函數(shù),且在上是增函數(shù).   評(píng)注:本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目,是冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí),可從定義入手,也可根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷,但對(duì)分析問題和解決問題的能力要求較高,這在平時(shí)要注意有針對(duì)性的訓(xùn)練.   類型三:類比冪函數(shù)性質(zhì),討論函數(shù)值的變化情況   例3 討論函數(shù)在時(shí)隨著x的增大其函數(shù)值的變化情況.   分析:首先應(yīng)判定函數(shù)是否為常數(shù)函數(shù),再看冪指數(shù),并參照冪函數(shù)的性質(zhì)討論.   解:(1)當(dāng),即或時(shí),為常函數(shù);  ?。?)當(dāng)時(shí),或,此時(shí)函數(shù)

8、為常函數(shù);  ?。?)即時(shí),函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)值隨x的增大而減??;  ?。?)當(dāng)即或時(shí),函數(shù)為增函數(shù),函數(shù)值隨x的增大而增大;   (5)當(dāng)即時(shí),函數(shù)為增函數(shù),函數(shù)值隨x的增大而增大;  ?。?)當(dāng),即時(shí),函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)值隨x的增大而減?。?   評(píng)注:含參數(shù)系數(shù)問題,可以說是解題中的一個(gè)致命殺手,是導(dǎo)致錯(cuò)誤的一個(gè)重要因素.這應(yīng)引起我們的高度警覺. 第三課時(shí) 冪函數(shù)鞏固練習(xí)   例1 若,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.   正解(分類討論):  ?。?)   解得;   (2)此時(shí)無解;  ?。?), 解得.   綜上可得.   

9、例2 若,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.   正解(利用單調(diào)性):由于函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,解得.   例3若,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.   解:由圖3,,解得?。?   例4 若,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.   解析:作出冪函數(shù)的圖象如圖4.由圖象知此函數(shù)在上不具有單調(diào)性,若分類討論步驟較繁,把問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)單調(diào)區(qū)間上是關(guān)鍵.考慮時(shí),.于是有,即.   又∵冪函數(shù)在上單調(diào)遞增,   ∴, 解得,或m>4. 典型例題 例1.寫出下列函數(shù)的定義域,并指出它們的奇偶性: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解

10、:(1)此函數(shù)的定義域?yàn)镽, ∴此函數(shù)為奇函數(shù). (2) ∴此函數(shù)的定義域?yàn)? 此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ∴此函數(shù)為非奇非偶函數(shù). (3) ∴此函數(shù)的定義域?yàn)? ∴此函數(shù)為偶函數(shù) (4) ∴此函數(shù)的定義域?yàn)? ∴此函數(shù)為偶函數(shù) (5) ∴此函數(shù)的定義域?yàn)? 此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ∴此函數(shù)為非奇非偶函數(shù) (6) ∴此函數(shù)的定義域?yàn)? ∴此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 變式訓(xùn)練1:討論下列函數(shù)的定義域、值域,奇偶性與單調(diào)性: (1) (2) (3)(4)(5)

11、 例2比較大?。? (1) (2) (3) (4) 解:(1)∵在上是增函數(shù),,∴ (2)∵在上是增函數(shù), ,∴ (3)∵在上是減函數(shù), ,∴; ∵是增函數(shù),, ∴; 綜上, (4)∵,,, ∴ 變式訓(xùn)練2:將下列各組數(shù)用小于號(hào)從小到大排列: (1) (2) (3) 例3已知冪函數(shù)()的圖象與軸、軸都無交點(diǎn),且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,求的值. 分析:冪函數(shù)圖象與軸、軸都無交點(diǎn),則指數(shù)小于或等于零;圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)為奇函數(shù).結(jié)合,便可逐步確定的值. 解:∵冪函數(shù)()的圖象與軸、軸都無交點(diǎn), ∴,∴; ∵,∴,又函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, ∴是奇數(shù),∴或. 變式訓(xùn)練3:證明冪函數(shù)在上是增函數(shù). 小結(jié)歸納 1.注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別. 2.冪函數(shù)的性質(zhì)要熟練掌握

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