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2022年中考數(shù)學(xué)考前專題輔導(dǎo) 全等三角形及三角形全等的條件

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1、課 題 全等三角形及三角形全等的條件 教學(xué)目的 1、掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì),并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理計(jì)算。 2、理解并掌握三角形全等的判定定理,能準(zhǔn)確找到判定定理的條件,并熟練運(yùn)用。 教學(xué)內(nèi)容 1、 課前檢測(cè) 1.如圖(1),△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,則__________≌__________. 2.斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等的根據(jù)是__________,底邊和腰相等的兩個(gè)等腰三角形全等的根據(jù)是__________. 3.已知△ABC≌△DEF,△DEF的周長(zhǎng)為32 cm,DE=9 cm,EF=12 cm則AB=_______

2、_____,BC=____________,AC=____________. 圖(1)    圖(2)       圖(3)        4. 如圖(2),AC=BD,要使△ABC≌△DCB還需知道的一個(gè)條件是__________ 5. 如圖(3),若∠1=∠2,∠C=∠D,則△ADB≌__________,理由______________________. 6. 不能確定兩個(gè)三角形全等的條件是( ) A.三邊對(duì)應(yīng)相等 B.兩邊及其夾角相等 C.兩角和任一邊對(duì)應(yīng)相等 D.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 7△ABC和△DEF中,AB=DE,∠A=∠

3、D,若△ABC≌△DEF還需要 ( ) A.∠B=∠E B.∠C=∠F C.AC=DF D.前三種情況都可以 8 在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′?、?BC=B′C′?、跘C=A′C′ ④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′?、蕖螩=∠C′,則下列哪組條件不能保證△ABC≌△A′B′C′ ( ) A.具備①②④ B.具備①②⑤ C.具備①⑤⑥ D.具備①②③ 參考答案:1.△ADB △ADC 2.ASA(或AAS) SSS 3.9 cm 12 cm 11 cm 4.∠ACB=∠DBC或AB=CD 5. △ACB AAS 6D

4、 7D 8A 2、 知識(shí)梳理 知識(shí)要點(diǎn): 要點(diǎn)1:全等三角形的概念及其性質(zhì) (1)全等三角形的定義:能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形 。 (2)全等三角形性質(zhì):對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、周長(zhǎng)相等、面積相等 要點(diǎn)2:全等三角形的判定 (1)兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等SAS; (2)兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等ASA; (3)兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等AAS; (4)三邊對(duì)就應(yīng)相等SSS。 要點(diǎn)3:找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角的方法  (1)若給出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)即可找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。 (2)若給出一些對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角,則按照對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)

5、應(yīng)角, 反之,對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊就可找出其他幾組對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。 (3)按照兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角,兩對(duì)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊來(lái)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。 (4)一般情況下,在兩個(gè)全等三角形中,公共邊、公共角、對(duì)頂角等往往是對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角。 要點(diǎn)4:尋找兩個(gè)三角形全等的途徑 (1)三角形全等的判定是這個(gè)單元的重點(diǎn),也是平面幾何的重點(diǎn)    ①有兩組對(duì)應(yīng)角相等時(shí);找    ②有兩組對(duì)應(yīng)邊相等時(shí);找   ?、塾幸贿?,一鄰角相等時(shí);找    ④有一邊,一對(duì)角相等時(shí);找任一組角相等(AAS) (2)利用兩個(gè)三角形的公共邊或公共角尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系,推得新的等量元素 如圖(

6、一)中的AD,圖(二)中的BC都是相應(yīng)三角形的公共元素。 圖(三)中如有BF=CE,利用公有的線段FC就可推出BC=EF。 圖(四)中若有∠DAB=∠EAC,就能推出∠DAC=∠BAE。 三、例題講解: 例1. 如圖,四點(diǎn)共線,,,,。求證:。 . 思路分析:從結(jié)論入手,全等條件只有;由兩邊同時(shí)減去得到,又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全等條件,可以是,也可以是。 由條件,可得,再加上,,可以證明,從而得到。 解答過(guò)程:, 在與中 ∴(HL) ,即 在與中 (SAS) 解題后的思考:本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法:一方面從問(wèn)題或

7、結(jié)論入手,看還需要什么條件;另一方面從條件入手,看可以得出什么結(jié)論。再對(duì)比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系,從而得出解題思路。 小結(jié):本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件,而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目,得出解題思路 例2. 如圖,在中,是∠ABC的平分線,,垂足為。求證:。 思路分析:直接證明比較困難,我們可以間接證明,即找到,證明且。也可以看成將“轉(zhuǎn)移”到。 那么在哪里呢?角的對(duì)稱性提示我們將延長(zhǎng)交于,則構(gòu)造了△FBD,可以通過(guò)證明三角形全等來(lái)證明∠2=∠DFB,可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。 解答過(guò)程:延長(zhǎng)交于 在與中 (A

8、SA 又 。 解題后的思考:由于角是軸對(duì)稱圖形,所以我們可以利用翻折來(lái)構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。 例3. 如圖,在中,,。為延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)在上,,連接和。求證:。 思路分析:可以利用全等三角形來(lái)證明這兩條線段相等,關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形。以線段為邊的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置,而線段正好是的邊,故只要證明它們?nèi)燃纯伞? 解答過(guò)程:,為延長(zhǎng)線上一點(diǎn) 在與中 (SAS) 。 解題后的思考:利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn),不但有利于尋找全等三角形,而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。 小結(jié):利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法,但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可

9、以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來(lái)尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。 例4. 如圖,是的邊上的點(diǎn),且,,是的中線。求證:。 思路分析:要證明“”,不妨構(gòu)造出一條等于的線段,然后證其等于。因此,延長(zhǎng)至,使。 解答過(guò)程:延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接 在與中 (SAS) , 又 , 在與中 (SAS) 又 。 解題后的思考:三角形中倍長(zhǎng)中線,可以構(gòu)造全等三角形,繼而得出一些線段和角相等,甚至可以證明兩條直線平行。 4、 課堂練習(xí) 一、選擇題: 1. 能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是( ) A. 兩直角邊對(duì)應(yīng)相等 B.

10、 一銳角對(duì)應(yīng)相等 C. 兩銳角對(duì)應(yīng)相等 D. 斜邊相等 2. 根據(jù)下列條件,能畫(huà)出唯一的是( ) A. ,, B. ,, C. ,, D. , 3. 如圖,已知,,增加下列條件:①;②;③;④。其中能使的條件有( ) A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè) (第3題) (第4題) (第5題) (第6題) 4. 如圖,已知,,,則等于( ) A. B. C. D. 無(wú)法確定 二、填空題: 5. 如圖,在中,

11、,的平分線交于點(diǎn),且,,則點(diǎn)到的距離等于__________; 6. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊,為折痕,則的大小為_(kāi)________; 三、解答題: 7. 如圖,為等邊三角形,點(diǎn)分別在上,且,與交于點(diǎn)。求的度數(shù)。 8. 如圖,,,為上一點(diǎn),,,交延長(zhǎng)線于點(diǎn)。求證:。 9. 如圖,已知AE⊥AD,AF⊥AB,AF=AB,AE=AD=BC,AD//BC.求證:(1)AC=EF,(2)AC⊥EF 10. 已知:如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,∠1=∠2,CE⊥BD的延長(zhǎng)線于E.求證:BD=2CE.   參考答案 一、選

12、擇題: 1. A 2. C 3. B 4. C 二、填空題: 5. 4 6. 三、解答題: 7. 解:為等邊三角形 , 在與中 (SAS) 。 8. 證明:, 在與中 (AAS) 。 9. 證明:  ?。?)∵AD//BC,∴∠B+∠DAB=180   又∵∠DAB+∠4+∠EAF+∠3=360,∠3=∠4=90   ∴∠DAB+∠EAF=180   ∴∠B=∠EAF 在△ABC和△FAE中     ∴△ABC≌△FAE(SAS) ∴AC=EF  ?。?)∵△ABC≌△FAE

13、  ∴∠1=∠F 又∵∠1+∠3=∠2+∠F   ∴∠2=∠3 又∵∠3=90 ∴∠2=90 ∴AG⊥EF,即AC⊥EF 10. 證明:延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)F. ∵∠3=90,∴∠5+∠F=90   又∵BE⊥CE,∴∠4=90,∠7=90 ∴∠1+∠F=90,∠6=180-90=90   ∴∠1=∠5   在△ABD和△ACF中    ∴△ABD≌△ACF(ASA)   ∴BD=FC   在△BEF和△BEC中 ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴FC=2EC ∴B

14、D=2EC 5、 課堂小結(jié) (1) 全等三角形的概念及其性質(zhì) (2) 全等三角形的判定 (3) 找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角的方法 (4) 尋找兩個(gè)三角形全等的途徑 六、課后作業(yè) 一、填空題 1如圖(1),∠C=∠E,∠1=∠2,AC=AE,則△ABD按邊分是__________ 三角形. 2如圖(2),AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,交BD于P,則PD__________PE(填“<”或“>”或“=”). 3.如圖(3),△ABC中,AB=AC,現(xiàn)想利用證三角形全等證明∠B=∠C,若證三角形全等所用的公理是SSS公理,則圖中所添加的輔助線應(yīng)是____

15、________________________. 圖(1) 圖(2)        圖(3)          圖(4) 4. 一個(gè)三角形的三邊為2、5、x,另一個(gè)三角形的三邊為y、2、6,若這兩個(gè)三角形全等,則x+y=__________. 5. 如圖(4),AD=AE,若△AEC≌△ADB,則需增加的條件是______________.(至少三個(gè)) 2、 選擇題 6.如圖(8),圖中有兩個(gè)三角形全等,且∠A=∠D,AB與DF是對(duì)應(yīng)邊,則下列書(shū)寫(xiě)最規(guī)范的是( ) A.△ABC≌△DEF B.△ABC≌△DFE C.△BAC

16、≌△DEF D.△ACB≌△DEF 7.如圖(9),AC=AB,AD平分∠CAB,E在AD上,則圖中能全等的三角形有____________對(duì) A.1 B.2 C.3 D.4 圖(8)     圖(9)      圖(10)      圖(11) 8.如圖(10),△ABC中,D、E是BC邊上兩點(diǎn),AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=110,∠BAE=60,則∠CAD等于 ( ) A.70  B.60 C.50 D.110 9.如圖(11),AB∥CD,且AB=CD,則△ABE≌△CDE的根據(jù)是 ( )

17、A.只能用ASA B.只能用SAS C.只能用AAS D.用ASA或AAS 10.如圖(12),△ABC≌△AEF,AB和AE,AC和AF是對(duì)應(yīng)邊,那么∠EAC等于( ) A.∠ACB B.∠BAF C.∠F D.∠CAF 11.如圖(13),△ABC中,∠C=90,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E且AB=6 cm,則△DEB的周長(zhǎng)為 ( ) A.40 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm      圖(12)      圖(13)          圖(14) 12.如圖(14),∠

18、1=∠2,∠C=∠D,AC,BD相交于點(diǎn)E,下面結(jié)論不正確的是( ) A.∠DAE=∠CBE B.△DEA與△CEB不全等 C.CE=CD D.△AEB是等腰三角形 三、解答題 13.已知EF是AB上的兩點(diǎn),AE=BF,AC∥BD,且AC=DB,求證:CF=DE. 圖(15) 14.一塊

19、三角形玻璃損壞后,只剩下如圖(16)所示的殘片,你對(duì)圖中作哪些數(shù)據(jù)測(cè)量后就可到建材部門割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說(shuō)明理由. 圖(16) 15.如圖(17),在△ABC中,AM是中線,AD是高線. 圖(17) (1)若AB比AC長(zhǎng)5 cm,則△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)多__________ cm. (2)若△AMC的面積為10 cm2,則△ABC的面積為_(kāi)_________cm 2. A.10 B.20  C.30  D.40 (3)若AD又是△AMC的角平分線,∠AMB=130,求∠ACB的度數(shù). 16.已知如圖(

20、18),B是CE的中點(diǎn),AD=BC,AB=DC.DE交AB于F點(diǎn) 求證:(1)AD∥BC  (2)AF=BF. 圖(18) 參考答案 一、1等腰 2.= 3.AD為△ABC的中線 4.11 5.∠AEC=∠ADB或∠C=∠B或AC=AB或BE=CD.(多寫(xiě)一個(gè)加一分) 二、6.B 7.C 8.B  9.D  10.B 11.B 12.B  三、13.證明:△ACF≌△BDE(SAS) ∴CF=DE 14.測(cè)量∠A,∠B的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)度,做∠A′=∠A,A’B’=AB∠B′=∠B,則△A′B′C′和原三角形全等,據(jù)ASA定理. 15.(1)5 (2)B (3)解:△ADM≌△ADC,∴∠AMD=∠ACM,∵∠AMB=130,∴∠AMC=∠ACB=50. 16.(1)證明:△ADB≌△CBD(SSS),∴∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC. (2)證:△AFD≌△BFE(AAS),∴AF=FB. 17.(1)證明:△ABD≌△CAE(HL),∴∠DAB=∠ACE. 又∵∠ACE+∠CAE=90,∴∠DAB+∠CAE=90 ∴∠BAC=90,∴AB與AC垂直.

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