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1、 09級畢業(yè)論文答辯稿 輔助函數(shù)在數(shù)學中的應(yīng)用 學 號： 902091126 組 別： 內(nèi)容提要 高等數(shù)學中運用輔助函數(shù)就像是在幾何中添加輔助線，在數(shù)學中的應(yīng)用是非常重要的.當我們遇到特殊的題目時，用常規(guī)方法可能比較復雜.這時我們就需要構(gòu)造輔助函數(shù)，就如同架起一座橋梁，不需要大量的算法就可以得到結(jié)果.因此，學習構(gòu)造輔助函數(shù)對于我們證明、解題是非常有幫助的.本論文是從證明定理與解題兩方面分別來闡述輔助函數(shù)的作用，通過本文我們會更好的了解輔助函數(shù)在數(shù)學

2、中的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞：輔助函數(shù) 定理 證明 Abstract Summary：The auxiliary function is applied to higher mathematics as adding auxiliary line in geometry. It’s applications of mathematics is very important. Use the conventional method may be complicated when we encounter special problems. Then we can construct

3、the auxiliary function like a bridge do not need a lot of algorithm to get the result. Therefore, it is very helpful for us to study the structure of auxiliary function to prove and solve problem. This paper expounds the application of auxiliary function respectively from two aspects of theorem prov

4、ing and problem solving. Through this paper we will know better in mathematics. Keywords: auxiliary function theorem testify 目錄 一、 緒論 1 二、 輔助函數(shù)在定理證明中的應(yīng)用 1 (一) 構(gòu)造輔助證明牛頓-萊布尼茲公式 1 (二) 構(gòu)造輔助函數(shù)證明泰勒公式 2 (三) 構(gòu)造輔助函數(shù)證明拉格朗日中值定理 4 三、 輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用 5 (一) 構(gòu)

5、造輔助函數(shù)證明恒等式 5 (二) 構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式 7 (三) 構(gòu)造輔助函數(shù)討論方程的根 9 (四) 構(gòu)造輔助函數(shù)證明中值問題 10 (五) 構(gòu)造輔助函數(shù)求極限 11 四、 總結(jié) 12 參考文獻 13 后記 13 輔助函數(shù)在數(shù)學中的應(yīng)用 一、 緒論 輔助函數(shù)是一種讓我們更好的，更簡單的學習數(shù)學知識的方法，.我在本文討論了一下輔助函數(shù)的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)它在數(shù)學中的應(yīng)用是非常廣泛的.我們學習數(shù)學不只是探索與發(fā)現(xiàn)，還有找到最簡單的方法解決問題，本文主要內(nèi)容是關(guān)于一些定理的證明，如牛頓-萊布尼茲公式的證明

6、，泰勒公式的證明和拉格朗日中值定理的證明.這三個定理是我們在學習數(shù)學過程中經(jīng)常用到的，掌握它們的證明非常關(guān)鍵.當然它們的證明有很多方法，這里我們只研究用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法來證明.另外還有關(guān)于解題時運用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，有關(guān)于不等式的證明，恒等式的證明等.我們可以知道在解題方面，輔助函數(shù)也是比較適用的，本文就輔助函數(shù)的構(gòu)造舉例來說明. 二、 輔助函數(shù)在定理證明中的應(yīng)用 (一) 構(gòu)造輔助證明牛頓-萊布尼茲公式 牛頓-萊布尼茲公式是微積分基本定理，他把定積分和不定積分兩者聯(lián)系起來，使得定積分的計算更加簡潔和完善，關(guān)于它的證明是我們必需要掌握的，學好牛頓-萊布尼茲公式也使我們能夠更好地了解微積

7、分.下面我們來看這個公式的證明. 定理1 若在上是連續(xù)的，且是在上的一個原函數(shù)，那么 分析 首先我們來構(gòu)造輔助函數(shù)，現(xiàn)在，我們來研究這個函數(shù)的性質(zhì). 我們定義函數(shù)，那么連續(xù)，若連續(xù)，則有. 證明：讓函數(shù)獲得一個增加的量，則對應(yīng)的函數(shù)增量 那么可以根據(jù)區(qū)間的可加性， 假設(shè)、分別是在上的最小值和最大值，我們可以根據(jù)積分第一中值定理，則存在實數(shù)，使得 當連續(xù)時，存在，使得 于是當趨近于0時，

8、趨近于0，即是連續(xù)的. 若連續(xù)，當，，，則 . 從而我們得出 現(xiàn)在，我們來證明牛頓-萊布尼茲公式. 證明 我們在上面已經(jīng)證得，所以， . 顯然，（因為積分區(qū)間為，故面積為0），所以. 于是有 , 當時 . 此時，我們就得到了牛頓-萊布尼茲公式. 證畢. (二) 構(gòu)造輔助函數(shù)證明泰勒公式 泰勒公式是一個用函數(shù)在已

9、知某一點的信息描述這一點附近所取值的公式，在函數(shù)某一點的各階導數(shù)值已知的情況下，泰勒公式可以將這些導數(shù)值的相應(yīng)倍數(shù)作系數(shù)構(gòu)建多項式來近似函數(shù)在這一點的值.這樣，有時不必計算大量的式子，用泰勒公式來直接近似函數(shù)值，會更簡單，更快捷的得出結(jié)果.我們接下來證明泰勒公式（拉格朗日余項型）. 定理2 若函數(shù)在開區(qū)間有直到階導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于的多項式和一個余項的和，即 分析 我們知道 ， 那么由拉格朗日中值定理導出的有限增量定理，得到 當，則時，

10、誤差.因此，在近似計算時時不夠精確，那么我們就需要構(gòu)造一個足夠精確的能把誤差估計出來的多項式，這個多項式是 來近似表示函數(shù)，并且，還要寫出誤差的具體表達式.這時，我們開始證明. 證明 設(shè)函數(shù)滿足，，，… ，，依次求出 顯然， ，則； ,； ，，…， ,; 至此，這個多項式的各項系數(shù)都已經(jīng)求出，得 接下來，我們需要求出誤差的具體表達式. 設(shè)，則 故得出 由柯西中值定理可以得到

11、 ，. 繼續(xù)使用柯西中值定理得 ， 這里在與之間；連續(xù)使用此后，得出 ， 但是，因為， 是一個常數(shù)，所以， 于是得 . 綜上所述，余項， 這樣，泰勒公式得證. (三) 構(gòu)造輔助函數(shù)證明拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，也是柯西中值定理的特殊情況.它的應(yīng)用非常廣泛，像洛必達法則，泰勒展開式都是它的應(yīng)用.對于它的證明，我們知道有很多的方法來證明它，現(xiàn)在我們做輔助函數(shù)來證明. 定理3 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，

12、則在至少存在一點，使得 分析 從結(jié)論中可以看出，若將換成變量，則可得到一階微分方程 其通解為 . 若將函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)，那么得到一個輔助函數(shù)， . 現(xiàn)在我們來開始證明 證明 做輔助函數(shù) ， 有 . 則滿足羅爾定理的三個條件，故在至少存在一點使 所以

13、 . 拉格朗日中值定理證畢. 三、 輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用 (一) 構(gòu)造輔助函數(shù)證明恒等式 恒等式是很常見的一種題型，對于這種題型的證明，找到簡單快速的證明方法可以節(jié)省很多時間.如對于下面的題，形式比較復雜，還存在一階導數(shù)，我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)，然后變幻形式，創(chuàng)建出中值定理的成立條件，利用中值定理來證明，就會很簡單了. 例1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明在內(nèi)至少存在一點，使得 分析 令 ， 則

14、 為關(guān)于與的對稱式，故取 . 證明 令 則在上連續(xù)，在內(nèi)可導，又因為 ， 所以在上滿足羅爾定理， 那么存在一個，使得. 即 ， 即 . 上題構(gòu)造輔助函數(shù)后應(yīng)用了羅爾定理，使得上式證明變得簡單明了.下面這個題屬于條件恒等式，我們要看好條件，可以適當?shù)倪M行變形，做輔助函數(shù). 例2 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，則至少存在一點，使得

15、 分析 我們先把看成變量，由于結(jié)論可化為 即 顯然其通解為把常數(shù)變成一個關(guān)于的函數(shù)我們就得到一個輔助函數(shù)， 證明 做輔助函數(shù) 那么 又由于已知條件我們可以得到 并且 若時，則那么就有 若時，那么一定存在使得 又因為在上連續(xù)，由介值定理可知，一定存在兩點，

16、使得 對在上使用羅爾定理，那么至少存在一點 使得 即 上題是將一個客觀存在的數(shù)看成是變量，利用拉格良朗日常數(shù)變易法的思想將方程通解里的常數(shù)變成一個的函數(shù)我們就得到了證明這個命題的輔助函數(shù)，并且在證明這種恒等式的例子中，運用中值定理比較廣泛，而在中值定理中，羅爾定理是最常用的，如上題.這種方法能開拓我們的學習做題的思路. (二) 構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式 用作差法證明不等式是最常用的一種方法，而輔助函數(shù)就是在作差之

17、后構(gòu)造的式子，是非常簡潔方便的，并且構(gòu)造出來的輔助函數(shù)也很明了.我們先來看一個簡單的例子. 例3當，證明 分析 構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式用作差法是最常用的，主要就是將不等號右端的式子移到左邊，形成一個減法式，右邊為零，試證不等號左邊式子的單調(diào)性，就可以證明了； 證明 我們做輔助函數(shù)顯然，當時，有 因此，在時是增函數(shù)，而在處連續(xù)，并且 所以 這樣，原不等式證畢. 上個證明是比較簡單的，證明其單調(diào)性就能快速得出答案.而下面這個例子，我們需要研究一下它的左右兩邊的性質(zhì)，這有利于我們思考如何構(gòu)造輔助

18、函數(shù). 例4 證明不等式. 分析 因為此式左邊相乘的項數(shù)多，直接移項作差證明會非常困難，而不等式左右兩邊的式子都是冪級數(shù)形式，并且右邊為，故我們可以先把兩邊取對數(shù)形式，化簡后作差，構(gòu)造輔助函數(shù)更簡單一些. 證明 把不等式的兩邊取對數(shù)得 我們先來研究不等式的左邊 左邊 構(gòu)造輔助函數(shù) 對求導得 從而得知，當時，為嚴格遞增. 而 故得出 則原不等式成立，證畢. 其實，在證明不等式的方法中，還有很多，如比較法，分析法，綜合法等，但是有時，這些方法比較麻煩，運算過程

19、多.這時，若是針對題目構(gòu)造一個適當?shù)妮o助函數(shù)，把題轉(zhuǎn)化為對這個題的性質(zhì)的研究，就像對定義域、值域、單調(diào)性、連續(xù)性、最值等的研究.這樣，運算就比較簡單了. (三) 構(gòu)造輔助函數(shù)討論方程的根 關(guān)于方程的根的討論主要是根的存在性個個數(shù)問題，構(gòu)造輔助函數(shù)來解這方面的一些題，如同證明不等式，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法類似，會比一般的方法更為簡單. 例5方程證明方程至少有一個正根且不超過. 分析 此題我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)在上連續(xù)，若能得出異號，則存在，使得那么就是方程的根且不超過，即運用介值定理. 證明 設(shè)在上連續(xù)，則顯然

20、 現(xiàn)在我們討論，若時，即 則方程有一個正根為 另一種情況，若即則符合介值定理條件，則存在一點，使得 那么就是方程的根， 綜上所述，方程至少有一個正根且不超過，證畢. 例6方程證明方程有且只有一個正根. 分析 我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)先證明此方程有根，然后再證有且只有一個正根. 證明 做輔助函數(shù)顯然在上連續(xù)， 由零點定理可知， 存在一點使得，則點為方程的根，接下來，我們用反證法證明有且只有一個根. 設(shè)存在一點且得，由于在上可導，對于任意有 那么根據(jù)微分中值定理可知，存在使得 但矛盾，故原方程有且只

21、有一個正根，證畢. 在上題可知，在解這類關(guān)于方程的根的問題，我們需要結(jié)合在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理來思考. (四) 構(gòu)造輔助函數(shù)證明中值問題 討論這樣的問題，是我們經(jīng)常遇到的一類問題，一般我們是把問題適當變形，然后觀察變形后的式子，構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)，使之符合中值定理，介值定理，零點定理之類的條件，就可以輕松證明了. 例7 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且求證存在使得 證明 構(gòu)造輔助函數(shù)顯然 又因為在上連續(xù)，在內(nèi)可導，故根據(jù)羅爾定理可知，存在一點使得即 即，則證畢. 例8設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導在內(nèi)至少存在一點，使

22、 證明 做輔助函數(shù) 則依題設(shè)有在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且 由羅爾定理，在內(nèi)至少有一地點，使 從而即有 證畢. 中值問題很明顯，是關(guān)于微分中值定理（其中包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的問題.做一個這個題的輔助函數(shù)，它必需滿足其中一個中值定理的條件，則根據(jù)中值定理的性質(zhì)即可得出. (五) 構(gòu)造輔助函數(shù)求極限 一些求極限的題目，我們也可以用做輔助函數(shù)來解決，求極限的方法有很多，簡單的方法也不少，只是一些特殊的

23、題目可能用我們學過的方法很不好解開，而構(gòu)造輔助函數(shù)后就非常容易了. 例9 求 解 作輔助函數(shù)則所以 故. 例10求的極限. 解 變形 構(gòu)造輔助函數(shù)，這個積分函數(shù)將變成了積分函數(shù)，求這個函數(shù)的積分，就是的極限. 所以，的極限是. 解這方面的題時，需要我們將題中的離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量.像例1中，還需考慮趨近的過程，還運用了洛必達法則，主要是求輔助函數(shù)的極限，則原函數(shù)的極限也求出.例2中的條件剛好滿足定積分的定義，將其轉(zhuǎn)化為定積分，求這個定積分的值，

24、就求出了這個極限. 四、 總結(jié) 在這篇論文中，列舉了大量的例子來說明輔助函數(shù)在數(shù)學中的應(yīng)用，并且如何構(gòu)造輔助函數(shù)，本文也有所涉及，下面我列舉了幾種方法. 常數(shù)k值法構(gòu)造輔助函數(shù)是將所得的結(jié)論進行變形，然后把常數(shù)部分分離出來，并使常數(shù)部分得k，將這個式子進行恒等變形，使式子變成一端成為和的表達式，另一端成為和的表達式，再將和的值換為，這樣得出的式子就為所做得輔助函，詳見例1. 微分方程法構(gòu)造輔助函數(shù)是關(guān)于解存在，使這類的問題，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是先將變?yōu)椋獬銎渫ń庑问綖?，此時輔助函數(shù)為，詳見例2. 作差法構(gòu)造輔助函數(shù)是將題適當變形后，將等號（或不等號）右邊的式子移到左邊做差，得到的式

25、子即為輔助函數(shù)，即若解不等式，可以將這個式子的差作為輔助函數(shù)，那么，，則只需證明在其定義域內(nèi)大于零即可.詳見例3、例4、例6； 原函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)是將題中的式子進行適當變形，使之成為一個易于積分，能夠消除導數(shù)的形式，然后求出原函數(shù)，可將它的積分常數(shù)取為零，然后移項，使之成為等式一端為零，一端則為輔助函數(shù).這類題形詳見例7.還有很多構(gòu)造輔助函數(shù)的方法這里不再一一敘述. 在數(shù)學中構(gòu)造輔助函數(shù)的方法基本是無處不在的.學會構(gòu)造輔助函數(shù)的方法也是至關(guān)重要的，如我們上文所舉的例子中，應(yīng)用了常數(shù)k值法，微分方程法，作差法和原函數(shù)法，關(guān)于定理的證明我們需要觀察式子的特性，應(yīng)用相關(guān)的方法以便構(gòu)造輔助函數(shù).

26、而關(guān)于解題方面的證明，同樣需要仔細觀察，在各種題型的應(yīng)用中，我們需要靈活運用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，使之成為我們更好的學習工具.如此，我們可以看出，輔助函數(shù)在數(shù)學中的應(yīng)用是廣泛并且非重要的.在高等數(shù)學中，證明和解題是主要的，在這過程中，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是我們必須所掌握的，這有利于增強我們的解題思維.并且能夠快速的理通思路，方便我們理解題意，找到解決的辦法.輔助函數(shù)在數(shù)學中的應(yīng)用非常廣泛，也非常實用，在我們解題遇到困難時，有時它就是用來解除障礙的有力工具.它所涉及的領(lǐng)域很多，關(guān)于構(gòu)造輔助函數(shù)的方面我還要更好的學習. 參考文獻 1. 廖凡達，《輔助函數(shù)法在不等式問題中的應(yīng)用》，《高中數(shù)學教與

27、學》2009年04期. 2. 殷堰工，《輔助函數(shù)在數(shù)學中的應(yīng)用》，昭通師專學報（自然科學版），一九八六年第一期. 3. 林遠華，《淺談輔助函數(shù)在數(shù)學分析中的作用》，河池師范高等?？茖W校學報（自然科學版）第20卷第4期，2000年12月. 4. 李兆強，蔣善利《“輔助函數(shù)法”在數(shù)學分析中的應(yīng)用》漯河職業(yè)技術(shù)學院學報2009年9月，第8卷第5期. 5. 程惠東，《再談作輔助函數(shù)解題》，高等數(shù)學研究，2005年9月，第8卷第5期. 6. 陳華，《微分中值定理中應(yīng)用輔助函數(shù)的構(gòu)造方法》，西昌學院院報，自然科學版，2009年12月，第23卷第4期. 7. 左元斌，《談?wù)勢o助函數(shù)的設(shè)置及應(yīng)用》，鹽城工學院學報，1998年3月，第11卷第1期. 后記 最后，非常感謝我的導師.在寫論文的過程中，導師幫我每一次都幫我仔細修改，并指導我的論文思路，給我搜集了大量的論文材料參考.導師每次都看的很仔細，指導的很認真，我也能盡量達到導師的指導目標.在這里，再次鄭重的感謝導師！謝謝您！ 13