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期中測試 (滿分：120分　考試時間：120分鐘) 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求) 1.拋物線y＝2x2－1的頂點坐標是(A) A．(0，－1) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1，0) 2．如果x＝－1是方程x2－x＋k＝0的解，那么常數(shù)k的值為(D) A．2 B．1 C．－1 D．－2 3．將拋物線y＝x2向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的解析式是(B) A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－1 4．小明在解方程x2－4x－15＝0時，他是這樣求解的：移項，得x2－4x＝15，兩邊同時加4，得x2－4x＋4＝19，∴(x－2)2＝19，∴x－2＝，∴x1＝2＋，x2＝2－.這種解方程的方法稱為(B) A．待定系數(shù)法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 5．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(C) 　　　 　　　　 　　　　　 A　　 　　　　　B　　　　　　　　　　　　C　　　　　　　　D 6．已知拋物線y＝－2x2＋x經過A(－1，y1)和B(3，y2)兩點，那么下列關系式一定正確的是(C) A．0＜y2＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y2＜y1＜0 D．y2＜0＜y1 7．已知a，b，c分別是三角形的三邊長，則方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情況是(D) A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．可能有且只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根 8．如圖，在△ABC中，∠C＝90，∠BAC＝70，將△ABC繞點A順時針旋轉70，B，C旋轉后的對應點分別是B′和C′，連接BB′，則∠BB′C′的度數(shù)是(A) A．35 B．40 C．45 D．50 　　　　　　 9．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是(D) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c 10．如圖，將△ABC繞著點B順時針旋轉60得到△DBE，點C的對應點E恰好落在AB的延長線上，連接AD，AC與DB交于點P，DE與CB交于點Q，連接PQ，若AD＝5 cm，＝，則PQ的長為(A) A．2 cm B. cm C．3 cm D. cm 二、填空題(本大題共5個小題，每小題3分，共15分) 11．在平面直角坐標系中，點A(0，1)關于原點對稱的點是(0，－1)． 12．方程x(x＋1)＝0的根為x1＝0，x2＝－1． 13．某樓盤xx年房價為每平方米8 100元，經過兩年連續(xù)降價后，xx年房價為7 600元．設該樓盤這兩年房價平均降低率為x，根據(jù)題意可列方程為8__100(1－x)2＝7__600． 14．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的部分對應值如下表： x －1 0 1 2 y 6 3 2 3 則當x＝－2時，y的值為11． 15.如圖，射線OC與x軸正半軸的夾角為30，點A是OC上一點，AH⊥x軸于H，將△AOH繞著點O逆時針旋轉90后，到達△DOB的位置，再將△DOB沿著y軸翻折到達△GOB的位置，若點G恰好在拋物線y＝x2(x＞0)上，則點A的坐標為(3，)． 三、解答題(本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(共題共2個小題，每小題5分，共10分) (1)解方程：x(x＋5)＝5x＋25； 解：x(x＋5)＝5(x＋5)，x(x＋5)－5(x＋5)＝0， ∴(x－5)(x＋5)＝0，∴x－5＝0或x＋5＝0， ∴x1＝5，x2＝－5. (2)已知點(5，0)在拋物線y＝－x2＋(k＋1)x－k上，求出拋物線的對稱軸． 解：將點(5，0)代入y＝－x2＋(k＋1)x－k，得0＝－52＋5(k＋1)－k，－25＋5k＋5－k＝0. ∴4k＝20，∴k＝5. ∴y＝－x2＋6x－5，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝－＝3. 17．(本題6分)如圖所示的是一橋拱的示意圖，它的形狀類似于拋物線，在正常水位時，該橋下面寬度為20米，拱頂距離正常水面4米，建立平面直角坐標系如圖所示．求拋物線的解析式． 解：設該拋物線的解析式為y＝ax2. 由圖象可知，點B(10，－4)在函數(shù)圖象上，代入y＝ax2得100a＝－1， 解得a＝－， ∴該拋物線的解析式為y＝－x2. 18．(本題7分)如圖，在平面直角坐標系中，有一Rt△ABC，已知△A1AC1是由△ABC繞某點順時針旋轉90得到的． (1)請你寫出旋轉中心的坐標是(0，0)； (2)以(1)中的旋轉中心為中心，畫出△A1AC1順時針旋轉90，180后的三角形． 解：如圖，△A1B1C2，△B1BC3即為所求作圖形． 19．(本題7分)已知一元二次方程x2＋x－2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，即x1＝1，x2＝－2. (1)求二次函數(shù)y＝x2＋x－2與x軸的交點坐標； (2)若二次函數(shù)y＝－x2＋x＋a與x軸有一個交點，求a的值． 解：(1)令y＝0，則有x2－x－2＝0. 解得x1＝1，x2＝－2. ∴二次函數(shù)y＝x2＋x－2與x軸的交點坐標為(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函數(shù)y＝－x2＋x＋a與x軸有一個交點， ∴令y＝0，即－x2＋x＋a＝0有兩個相等的實數(shù)根． ∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－. 20．(本題7分)如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90，先把△ABC繞點B順時針旋轉90至△DBE后，再把△ABC沿射線AB平移至△FEG，DE、FG相交于點H. (1)判斷線段DE、FG的位置關系，并說明理由； (2)連接CG，求證：四邊形CBEG是正方形． 解：(1)FG⊥DE，理由如下： ∵△ABC繞點B順時針旋轉90至△DBE，∴∠DEB＝∠ACB. ∵把△ABC沿射線平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A. ∵∠ABC＝90，∴∠A＋∠ACB＝90.∴∠DEB＋∠GFE＝90.∴∠FHE＝90. ∴FG⊥DE. (2)證明：根據(jù)旋轉和平移可得∠GEF＝90，∠CBE＝90，CG∥EB，CB＝BE， ∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠CBE＝90.∴四邊形CBEG是矩形． ∵CB＝BE， ∴四邊形CBEG是正方形. 21．(本題12分)我市某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為40元，若銷售價為60元，每天可售出20件，為迎接“雙十一”，專賣店決定采取適當?shù)慕祪r措施，以擴大銷售量，經市場調查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價1元，那么平均可多售出2件．設每件童裝降價x元(x＞0)時，平均每天可盈利y元． (1)寫出y與x的函數(shù)關系式； (2)根據(jù)(1)中你寫出的函數(shù)關系式，解答下列問題： ①當該專賣店每件童裝降價5元時，平均每天盈利多少元？ ②當該專賣店每件童裝降價多少元時，平均每天盈利400元？ ③該專賣店要想平均每天盈利600元，可能嗎？請說明理由． 解：(1)根據(jù)題意得y＝(20＋2x)(60－40－x)＝(20＋2x)(20－x)＝400＋40x－20x－2x2＝－2x2＋20x＋400. ∴y＝－2x2＋20x＋400. (2)①當x＝5時，y＝－252＋205＋400＝450， ∴當該專賣店每件童裝降價5元時，平均每天盈利450元． ②當y＝400時，400＝－2x2＋20x＋400， 整理得x2－10x＝0，解得x1＝10，x2＝0(不合題意，舍去)， ∴當該專賣店每件童裝降價10元時，平均每天盈利400元． ③該專賣店平均每天盈利不可能為600元． 理由：當y＝600時，600＝－2x2＋20x＋400，整理得x2－10x＋100＝0， ∵Δ＝(－10)2－41100＝－300＜0， ∴方程沒有實數(shù)根，即該專賣店平均每天盈利不可能為600元． 22．(本題12分)綜合與實踐： 問題情境： (1)如圖1，兩塊等腰直角三角板△ABC和△ECD如圖所示擺放，其中∠ACB＝∠DCE＝90，點F，H，G分別是線段DE，AE，BD的中點，A，C，D和B，C，E分別共線，則FH和FG的數(shù)量關系是FH＝FG，位置關系是FH⊥FG； 合作探究： (2)如圖2，若將圖1中的△DEC繞著點C順時針旋轉至A、C、E在一條直線上，其余條件不變，那么(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； (3)如圖3，若將圖1中的△DEC繞著點C順時針旋轉一個銳角，那么(1)中的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． 解：(1)FH＝FG，F(xiàn)H⊥FG. 提示：∵CE＝CD，AC＝BC，A，C，D和B，C，E分別共線，∠ECD＝∠ACB＝90， ∴AD⊥BE，BE＝AD. ∵F，H，G分別是DE，AE，BD的中點， ∴FH＝AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G＝BE，F(xiàn)G∥BE. ∴FH＝FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG. (2)(1)中的結論還成立． 證明：∵CE＝CD，AC＝BC，∠ECD＝∠ACD＝90， ∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE.∵∠CBE＋∠CEB＝90， ∴∠CAD＋∠CEB＝90，即AD⊥BE. ∵F，H，G分別是DE，AE，BD的中點， ∴FH＝AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G＝BE，F(xiàn)G∥BE，∴EH＝FG. ∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，∴(1)中結論還成立． (3)(1)中的結論仍成立， 理由：如圖，連接AD、BE，兩線交于點Z，AD交BC于點X. 同(1)可得FH＝AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G＝BE，F(xiàn)G∥BE. ∵△ECD，△ACB都是等腰直角三角形，∴CE＝CD，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90. ∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠EBC＝∠DAC，∴FH＝FG. ∵∠DAC＋∠CXA＝90，∠CXA＝∠DXB， ∴∠DXB＋∠EBC＝90，∴∠EZA＝180－90＝90，∴AD⊥BE. ∵FH∥AD，F(xiàn)G∥BE，∴FH⊥FG，∴(1)中的結論仍成立． 23．(本題14分)綜合與探究： 如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋x＋4的圖象與x軸交于點B，點C(點B在點C的左邊)，與y軸交于點A，連接AC、AB. (1)求證：AO2＝BOCO； (2)若點N在線段BC上運動(不與點B，C重合)，過點N作MN∥AC，交AB于點M，當△AMN的面積取得最大值時，求直線AN的解析式； (3)連接OM，在(2)的結論下，試判斷OM與AN的數(shù)量關系，并證明你的結論． 解：(1)證明：當y＝0時，－x2＋x＋4＝0， 整理，得x2－6x－16＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴B(－2，0)，C(8，0)． 令x＝0得y＝4，∴A(0，4)，∴AO＝4，BO＝2，CO＝8，∴AO2＝BOCO. (2)設點N(n，0)(－2＜n＜8)，則BN＝n＋2，CN＝8－n，BC＝10. ∵MN∥AC，∴＝＝，S△ABN＝(n＋2)4＝2n＋4. ＝＝＝， ∴S△AMN＝S△ABN＝(2n＋4)＝(8－n)(n＋2)， 即S△AMN＝－(n－3)2＋5. ∵－<0，∴當n＝3時，即N(3，0)，△AMN的面積最大． 設直線AN的解析式為y＝kx＋b.將A(0，4)，N(3，0)代入，得 解得 ∴此時直線AN的解析式為y＝－x＋4. (3)OM2＝AN.證明：∵N(3，0)，∴ON＝3，∴CN＝8－3＝5. ∵BC＝10，∴N為線段BC的中點， ∵MN∥AC，∴M為AB的中點，∴AB＝＝＝2. ∵∠AOB＝90，∴OM＝AB＝， ∵AN＝＝＝5， ∴OM2＝AN，即OM與AN的數(shù)量關系是OM2＝AN.