2019屆九年級數(shù)學下冊 小專題(七)與圓的切線有關的計算與證明練習 (新版)湘教版.doc
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小專題(七) 與圓的切線有關的計算與證明 1.如圖,已知Rt△ABC,∠ABC=90,以直角邊AB為直徑作⊙O,交斜邊AC于點D,連接BD.取BC的中點E,連接ED,求證:ED與⊙O相切. 證明:連接OD. ∵OD=OB, ∴∠OBD=∠BDO. ∵AB是直徑(已知), ∴∠ADB=90. ∴∠ADB=∠BDC=90. 在Rt△BDC中,E是BC的中點, ∴BE=CE=DE.∴∠DBE=∠BDE. 又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90, ∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90. ∵OD是⊙O的半徑, ∴ED與⊙O相切. 2.如圖,四邊形ABCD為菱形,△ABD的外接圓⊙O與CD相切于點D,交AC于點E. (1)判斷⊙O與BC的位置關系,并說明理由; (2)若CE=2,求⊙O的半徑r. 解:(1)⊙O與BC相切. 理由:連接OD,OB, ∵⊙O與CD相切于點D, ∴OD⊥CD,∠ODC=90. ∵四邊形ABCD為菱形, ∴AD=CD=CB. ∵OD=OB,OC=OC,CB=CD. ∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC=90. 又∵OB為半徑,∴⊙O與BC相切. (2)∵AD=CD,∴∠ACD=∠CAD. ∵AO=OD,∴∠OAD=∠ODA. ∵∠COD=∠OAD+∠ADO, ∴∠COD=2∠ACD. 又∵∠COD+∠ACD=90, ∴∠ACD=30.∴OD=OC, 即r=(r+2). ∴r=2. 3.如圖,已知AB是⊙O的直徑,且AB=12,AP是半圓的切線,點C是半圓上的一動點(不與點A,B重合),過點C作CD⊥AP于點D,記∠COA=α. (1)當α=60時,求CD的長; (2)當α為何值時,CD與⊙O相切?說明理由. 解:(1)過點C作CE⊥AB于點E. 在Rt△OCE中, OE=OCcos∠COA =6=3, 則CD=OA-OE=6-3=3. (2)當∠α=90時,CD與⊙O相切. 理由:∠α=90,則在四邊形OCDA中, ∠COA=∠OAD=∠CDA=90, ∴∠OCD=90. ∴OC⊥CD. 又∵OC是⊙O的半徑, ∴CD是⊙O的切線. 4.(xx宿遷)如圖,AB,AC分別是⊙O的直徑和弦,OD⊥AC于點D.過點A作⊙O的切線與OD的延長線交于點P,PC,AB的延長線交于點F. (1)求證:PC是半圓O的切線; (2)若∠ABC=60,AB=10,求線段BF的長. 解:(1)證明:連接OC. ∵OD⊥AC,OD經過圓心O, ∴AD=CD.∴PA=PC. 在△OAP和△OCP中, ∴△OAP≌△OCP(SSS). ∴∠OAP=∠OCP. ∵PA是⊙O的切線,∴∠OAP=90. ∴∠OCP=90,即OC⊥PC. 又∵OC是⊙O的半徑, ∴PC是⊙O的切線. (2)∵OB=OC,∠OBC=60, ∴△OBC是等邊三角形. ∴∠COB=60. ∵AB=10,∴OC=5. 由(1)知,∠OCF=90, ∴CF=OCtan∠COB=5. 5.如圖,△ABC內接于⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長線于點P,OF∥BC交AC于點E,交PC于點F,連接AF. (1)判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由; (2)若AC=24,AF=15,求⊙O的半徑. 解:(1)AF與⊙O相切.理由如下: 連接OC, ∵PC是⊙O的切線,∴OC⊥PC. ∴∠OCF=90. ∵OF∥BC, ∴∠B=∠AOF,∠OCB=∠COF. ∵OB=OC,∴∠B=∠OCB. ∴∠AOF=∠COF. 在△OAF和△OCF中, ∴△OAF≌△OCF(SAS). ∴∠OAF=∠OCF=90. 又∵OA是⊙O的半徑, ∴AF與⊙O相切. (2)∵△OAF≌△OCF,∴∠AOE=∠COE. ∴OE⊥AC,AE=AC=12. ∴EF==9. ∵∠OAF=90,∴△OAE∽△AFE. ∴=,即=, ∴OA=20,即⊙O的半徑為20. 6.如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,對角線AC為⊙O的直徑,過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E,點F為CE的中點,連接DB,DC,DF. (1)求∠CDE的度數(shù); (2)求證:DF是⊙O的切線; (3)若AC=2DE,求tan∠ABD的值. 解:(1)∵AC為⊙O的直徑, ∴∠ADC=90. ∴∠CDE=90. (2)證明:連接OD. ∵∠CDE=90,F(xiàn)為CE中點, ∴DF=CE=CF. ∴∠FDC=∠FCD. 又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD. ∴∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠FCD. ∴∠ODF=∠OCF. ∵EC⊥AC,∴∠OCF=90. ∴∠ODF=90. ∵DO是⊙O的半徑, ∴DF為⊙O切線. (3)在△ACD與△ACE中,∠ADC=∠ACE=90,∠EAC=∠CAD,∴△ACD∽△AEC. ∴=.∴AC2=ADAE. 又AC=2DE,∴20DE2=(AE-DE)AE. ∴(AE-5DE)(AE+4DE)=0. ∴AE=5DE,AD=4DE. 在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,∴CD=2DE. 又∵∠ABD=∠ACD, ∴tan∠ABD=tan∠ACD==2. 7.如圖,已知以Rt△ABC的邊AC為直徑作⊙O交斜邊AB于點E,連接EO并延長交BC的延長線于點D,點F為BC的中點,連接EF. (1)求證:EF是⊙O的切線; (2)若⊙O的半徑為3,∠EAC=60,求AD的長. 解:(1)證明:連接FO,易證OF∥AB. ∵AC為⊙O的直徑, ∴CE⊥AE. ∵OF∥AB, ∴OF⊥CE. ∵OE=OC, ∴OF所在直線垂直平分CE. ∴FC=FE. ∴∠FEC=∠FCE,∠OEC=∠OCE. ∵∠ACB=90, ∴∠OCE+∠FCE=90. ∴∠OEC+∠FEC=90,即∠FEO=90. 又∵OE是⊙O的半徑, ∴FE為⊙O的切線. (2)∵⊙O的半徑為3,∴AO=CO=EO=3. ∵∠EAC=60,OA=OE,∴∠EOA=60. ∴∠COD=∠EOA=60. ∵在Rt△OCD中,∠COD=60,OC=3, ∴CD=3. ∵在Rt△ACD中,∠ACD=90,CD=3,AC=6, ∴AD==3.- 配套講稿:
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