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期中測試 (時間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(每小題3分，共30分) 1．若函數(shù)y＝axa2－2是二次函數(shù)且圖象開口向上，則a＝(B) A．－2 B．2 C．2或－2 D．1 2．下列二次函數(shù)中，圖象以直線x＝2為對稱軸、且經(jīng)過點(diǎn)(0，1)的是(C) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1　 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3 3．如圖，在半徑為5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC＝(B) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 4．如圖，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A是⊙O上的一點(diǎn)，∠OAC＝32，則∠B的度數(shù)是(A) A．58 B．60 C．64 D．68 5．如圖為坐標(biāo)平面上二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，且此圖象經(jīng)過(－1，1)，(2，－1)兩點(diǎn)．下列關(guān)于此二次函數(shù)的敘述中正確的是(D) A．y的最大值小于0 B．當(dāng)x＝0時，y的值大于1 C．當(dāng)x＝1時，y的值大于1 D．當(dāng)x＝3時，y的值小于0 6．如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上．若∠BCD＝130，則∠BOD的度數(shù)是(D) A．50 B．60 C．80 D．100 7．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是(D) A．c>－1 B．b>0 C．2a＋b≠0 D．9a＋c>3b 　　 8．如圖，CA，CB分別與⊙O相切于點(diǎn)D，B，圓心O在AB上，AB與⊙O的另一交點(diǎn)為E，AE＝2，⊙O的半徑為1，則BC的長為(A) A. B．2 C. D. 9．已知圓內(nèi)接正三角形的面積為，則該圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是(B) A．2 B．1 C. D. 10．已知拋物線y＝a(x－3)2＋(a≠0)過點(diǎn)C(0，4)，頂點(diǎn)為M，與x軸交于A，B兩點(diǎn)．如圖所示以AB為直徑作圓，記作⊙D，下列結(jié)論：①拋物線的對稱軸是直線x＝3；②點(diǎn)C在⊙D外；③直線CM與⊙D相切．其中正確的有(C) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 二、填空題(每小題3分，共24分) 11．如圖，已知BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60，則∠COD的度數(shù)是120． 12．已知拋物線y＝x2－3x＋m與x軸只有一個公共點(diǎn)，則m＝． 13．已知Rt△ABC的兩直角邊的長分別為6 cm和8 cm，則它的外接圓的半徑為5cm. 14．如果將拋物線y＝x2＋2x－1向上平移，使它經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)，那么所得新拋物線的表達(dá)式是y＝x2＋2x＋3． 15．若二次函數(shù)y＝2x2－3的圖象上有兩個點(diǎn)A(1，m)，B(2，n)，則m＜n.(填“＜”“＝”或“＞”) 16．如圖，點(diǎn)A，B，D在⊙O上，∠A＝25，OD的延長線交直線BC于點(diǎn)C，且∠OCB＝40，直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切． 17．如圖，已知AB是⊙O的一條直徑，延長AB至C點(diǎn)，使AC＝3BC，CD與⊙O相切于D點(diǎn)．若CD＝，則劣弧AD的長為π． 18．如圖，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上，C點(diǎn)在斜邊上，設(shè)矩形的一邊AB＝x m，矩形的面積為y m2，則y的最大值為300__m2． 三、解答題(共66分) 19．(6分)已知二次函數(shù)y＝x2＋4x.用配方法把該函數(shù)化為y＝a(x－h(huán))2＋k(其中a，h，k都是常數(shù)，且a≠0)的形式，并指出函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)． 解：∵y＝x2＋4x＝(x2＋4x＋4)－4＝(x＋2)2－4， ∴對稱軸為直線x＝－2.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－4)． 20．(6分)如圖所示，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝120，延長BO交⊙O于D點(diǎn)． (1)試求∠BAD的度數(shù)； (2)求證：△ABC為等邊三角形． 解：(1)∵BD是⊙O的直徑， ∴∠BAD＝90(直徑所對的圓周角是直角)． (2)證明：∵∠BOC＝120， ∴∠BAC＝∠BOC＝60. 又∵AB＝AC， ∴△ABC是等邊三角形． 21．(8分)如圖，一次函數(shù)y1＝kx＋1與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx－2(a≠0)交于A，B兩點(diǎn)，且A(1，0)，拋物線的對稱軸是直線x＝－. (1)求k和a，b的值； (2)根據(jù)圖象求不等式kx＋1＞ax2＋bx－2的解集． 解：(1)把A(1，0)代入一次函數(shù)表達(dá)式，得k＋1＝0，解得k＝－1. 根據(jù)題意，得解得 (2)解方程組得或 則B的坐標(biāo)是(－6，7)． 根據(jù)圖象可得，不等式kx＋1＞ax2＋bx－2的解集是－6＜x＜1. 22．(8分)如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45. (1)求BD的長； (2)求圖中陰影部分的面積． 解：(1)連接OD.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90. ∵BC＝6 cm，AC＝8 cm，∴AB＝10 cm.∴OB＝5 cm. ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45. ∴∠BOD＝90.∴BD＝＝5 cm. (2)S陰影＝S扇形ODB－S△OBD ＝π52－55 ＝(cm2)． 23．(8分)如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度y(單位：m)與飛行時間x(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系y＝－5x2＋20x，請根據(jù)要求解答下列問題： (1)在飛行過程中，當(dāng)小球的飛行高度為15 m時，飛行時間是多少？ (2)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是多少？ (3)在飛行過程中，小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？ 解：(1)當(dāng)y＝15時，15＝－5x2＋20x， 解得x1＝1，x2＝3. 答：在飛行過程中，當(dāng)小球的飛行高度為15 m時，飛行時間是1 s或3 s. (2)當(dāng)y＝0時，0＝－5x2＋20x， 解得x1＝0，x2＝4， ∵4－0＝4， ∴在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是4 s. (3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20， ∴當(dāng)x＝2時，y取得最大值，此時，y＝20. 答：在飛行過程中，小球飛行高度第2 s時最大，最大高度是20 m. 24．(8分)為了響應(yīng)政府提出的由中國制造向中國創(chuàng)造轉(zhuǎn)型的號召，某公司自主設(shè)計了一款成本為40元的可控溫杯，并投放市場進(jìn)行試銷售，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)該產(chǎn)品每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系：y＝－10x＋1 200. (1)求出利潤S(元)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系式；(利潤＝銷售額－成本) (2)當(dāng)銷售單價定為多少時，該公司每天獲取的利潤最大？最大利潤是多少元？ 解：(1)S＝y(tǒng)(x－40)＝(－10x＋1 200)(x－40)＝－10x2＋1 600x－48 000. (2)S＝－10x2＋1 600x－48 000＝－10(x－80)2＋16 000， 則當(dāng)銷售單價定為80元時，工廠每天獲得的利潤最大，最大利潤是16 000元． 25.(10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，以AC為直徑作⊙O交AB于D點(diǎn)，連接CD. (1)求證：∠A＝∠BCD； (2)若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由． 解：(1)證明：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90. ∴∠A＝90－∠ACD. 又∵∠ACB＝90， ∴∠BCD＝90－∠ACD. ∴∠A＝∠BCD. (2)點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)時，直線DM與⊙O相切．理由如下： 連接OD，作DM⊥OD，交BC于點(diǎn)M，則DM為⊙O的切線． ∵∠ACB＝90，∴∠B＝90－∠A，BC為⊙O的切線． 由切線長定理，得DM＝CM. ∴∠MDC＝∠BCD. 由(1)可知∠A＝∠BCD，CD⊥AB. ∴∠BDM＝90－∠MDC＝90－∠BCD. ∴∠B＝∠BDM.∴DM＝BM. ∴CM＝BM， 即點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)． 26．(12分)如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A(2，1)，且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個交點(diǎn)為B. (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)在拋物線上求點(diǎn)M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍； (3)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使△OBN與△OAB相似？若存在，求出點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－2)2＋1. ∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)(0，0)，代入，得a＝－. ∴y＝－(x－2)2＋1. (2)設(shè)點(diǎn)M(a，b)，S△AOB＝41＝2. 則S△MOB＝6，∴點(diǎn)M必在x軸下方． ∴4|b|＝6.∴b＝－3. 將y＝－3代入y＝－(x－2)2＋1中，得 x＝－2或6. ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2，－3)或(6，－3)． (3)存在．∵△OBN相似于△OAB， 相似比OA∶OB＝∶4， ∴S△AOB∶S△OBN＝5∶16. 而S△AOB＝2.∴S△OBN＝. 設(shè)點(diǎn)N(m，n)，點(diǎn)N在x軸下方． S△OBN＝4|n|＝.n＝－. 將其代入拋物線表達(dá)式，求得橫坐標(biāo)為2， ∴存在點(diǎn)N，使△OBN與△OAB相似，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2，－)．