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幾何問(wèn)題探究——相似與比例相關(guān)問(wèn)題 知識(shí)點(diǎn) 相似三角形的性質(zhì)與判定；相似三角形的綜合； 教學(xué)目標(biāo) 熟練掌握?qǐng)D形相似的證明方法； 教學(xué)重點(diǎn) 能夠靈活的運(yùn)用圖形的性質(zhì)去證明圖形中線段的關(guān)系； 教學(xué)難點(diǎn) 靈活運(yùn)用相似、旋轉(zhuǎn)、全等證明方法探究圖形的線段問(wèn)題； 知識(shí)講解 考點(diǎn)1 兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系 在數(shù)量關(guān)系的猜想中，證明兩條線段相等的情況較多，有時(shí)也出現(xiàn)證明兩條線段的倍數(shù)關(guān)系，如AB=2CD或AB=CD等。在證明兩條線短相等的過(guò)程中，可以根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)證明兩條線段相等，也可以證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明兩條線段相等。證明兩條線段的倍分關(guān)系時(shí)，利用構(gòu)造基本圖形模型證明，具體情況如下： 1.利用三角形的中位線或直角三角形證明a=b； 2.利用等腰三角形證明a=b； 3.利用含30角的直角三角形證明a=b等； 考點(diǎn)2 兩條線段之間的位置關(guān)系 在位置關(guān)系猜想中，兩條線段是垂直關(guān)系還是平行關(guān)系一目了然，關(guān)鍵是如何證明，方法如下： 1.在證明垂直關(guān)系時(shí)，由垂直定義，即兩條線段相交，所夾的角是90，一般利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余的角度進(jìn)行證明； 2.在證明兩條線段平行時(shí)，大多是根據(jù)平行線的判定方法進(jìn)行證明即可； 總之證明位置關(guān)系，需要根據(jù)圖形的性質(zhì)，利用三角形全等進(jìn)行證明，有時(shí)利用相似。在解答時(shí)，根據(jù)具體的題目條件，分解出基本圖形，靈活掌握并選擇方法證明。 考點(diǎn)3 相似三角形的判定 ①定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似． ②平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似． ③判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似． ④判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似． ⑤判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似． 考點(diǎn)4 證明題常用方法歸納 （1）總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似” （2）找相似： 通過(guò)“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論. （3）找中間比： 若沒(méi)有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這幾個(gè)字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換. 即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來(lái)。 ① ② ③ （4） 添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止. 注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。 （5）比例問(wèn)題：常用處理方法是將“一份”看著k;對(duì)于等比問(wèn)題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。 （6）對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來(lái)的辦法處理。 例題精析 例1 已知：如圖，若以△ABC邊AB、AC為邊向外作矩形ABDE和矩形ACGF，AC=k AF,AB=k AE ,M、N分別為BC和DG的中點(diǎn).試探究線段MN、BC之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.  例2如圖11，在△OAB和△OCD中，∠A < 90，OB = k OD(k > 1)，∠AOB =∠COD，∠OAB與∠OCD互補(bǔ)．試探索線段AB與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 說(shuō)明：如果你反復(fù)探索沒(méi)有解決問(wèn)題，可以選取⑴⑵中的一個(gè)條件 ⑴k = 1(如圖12)； ⑵點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合(如圖13)．  例3已知點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60，∠AEB＝150， ∠BEC＝90． （1）當(dāng)α＝60時(shí)（如圖17）， ①判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由； ②求證：BD＝AE； （2）當(dāng)α＝90時(shí)（如圖18），求的值．  例4已知△ABC是等邊三角形，CD⊥AC，AE∥CD，且EA＝ED，BE與AD相交于點(diǎn)F． （1）若∠CAD＝∠DAE（如圖14），試判斷BF與FE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）若∠CAD＝2∠DAE（如圖15），求的值．  例5在△ABC中，∠A＝90，點(diǎn)D在線段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點(diǎn)F． （1）當(dāng)AB＝AC時(shí)，（如圖13）， ① ∠EBF＝_______； ② 探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明； （2）當(dāng)AB＝kAC時(shí)（如圖14），求的值（用含k的式子表示）．  課程小結(jié) 本節(jié)課主要研究了相似與比例相關(guān)問(wèn)題，抓住題干所提供的信息，利用證明所缺條件構(gòu)造出全等形或是相似形是本節(jié)課的重點(diǎn)，幾何問(wèn)題的探究，是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過(guò)程，注重幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，積累基本型是重中之重。 例1【規(guī)范解答】 證明：延長(zhǎng)BN使得BN=NH，連接HG、HC、NC, 又∵ ND=NG , ∠DNB=∠GNH ∴ △DNB≌△GNH ∴ BD=HG 延長(zhǎng)BA交HG于Q點(diǎn) ∵BD∥HG ∴∠AQG=∠ACG=90 ∴在四邊形ACGQ中，∠AQG+∠ACG=180，則 ∠HGC+∠QAC=180 又∵∠BAC+∠QAC=180, ∴∠HGC=∠BAC 又∵AC=kAF,AB=kAE , ∴△BAC∽△HGC, ∴BC=kHC ∵M(jìn)、N分別為BC和DG的中點(diǎn) ∴MN∥HC, ∴MN⊥BC, ∴HC=2MN ∴BC=2kMN 【總結(jié)與反思】延長(zhǎng)BN，構(gòu)造八字形全等，得到與BD相等的邊HG，構(gòu)造△BAC∽△HGC，從而可以得到HC與BC的關(guān)系，進(jìn)而得到BC與MN的關(guān)系。 例2【規(guī)范解答】 結(jié)論：AB =kCD 證明：（方法一）在OA上取一點(diǎn)E，使OE=k OC，連接EB， ∵OB= k OD，∴ ∵∠AOB=∠COD， ∴△OEB∽△OCD，∴，即EB=kCD，∠OEB=∠OCD ∵∠OAB+∠OCD=180 ，∴∠OAB+∠OEB=180 ， ∵∠AEB+∠OEB=180 ，∴∠OAB=∠AEB ∴EB =AB， ∴AB =kCD （方法二）延長(zhǎng)OC到點(diǎn)E，使OE=OA，連接DE．證明△DOE∽△BOA，再證明△DCE是等腰三角形，進(jìn)而證出結(jié)論． （方法三）作DE⊥OC交OC的延長(zhǎng)線于E，作BF⊥OA于F，證明△DOE∽△BOF，再證明△DCE∽△BAF，進(jìn)而證出結(jié)論．（評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)參照證法一） 選擇（1）結(jié)論：AB =CD 證明：（方法一）在OA上取一點(diǎn)E，使OE= OC，連接EB ∵OB=OD，∠AOB=∠COD，∴△OEB≌△OCD ∴EB=CD，∠OEB=∠OCD，∵∠OAB+∠OCD=1800，∴∠OAB+∠OEB=1800 ∵∠AEB+∠OEB=1800，∴∠OAB=∠AEB，∴EB =AB ∴AB =CD （方法二）延長(zhǎng)OC到點(diǎn)E，使OE=OA，連接DE．證明△DOE≌△BOA，再證明△DCE 是等腰三角形，進(jìn)而證出結(jié)論。 （方法三）作DE⊥OC交OC的延長(zhǎng)線于E，作BF⊥OA于F，證明△DOE≌△BOF， 再證明△DCE≌△BAF，進(jìn)而證出結(jié)論。 （評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)參照證法一） 選擇（2）結(jié)論：AB =CD 證明：∵∠OAB+∠OCB=1800，∵∠ACB+∠OCB=1800，∴∠OAB=∠ACB，∴CB =AB 即AB =CD 【總結(jié)與反思】 A B D C E 圖17 方法一是截取圖形構(gòu)造相似形，方法二是補(bǔ)出圖形構(gòu)造相似形，方法三是作垂創(chuàng)造條件構(gòu)造相似形。我們介紹的這三種證明方法，同時(shí)也適用于后面附加條件的證明。本題如若選擇條件證明會(huì)相應(yīng)的減掉一些分值。 例3【規(guī)范解答】（1）①判斷：△ABC是等邊三角形． 證明：∵ ∴ ∴△ABC是等邊三角形 ②同理△EBD也是等邊三角形 連接DC，則AB=BC，BE=BD， 圖18 C E A B D ∴△ABE ≌ △CBD，∴AE=CD， ∴， 在Rt△EDC中 ， ∴． （2）連接DC， ∵，∴△ABC ∽△EBD ， ∴， 又∵，∴△ABE ∽ △CBD ， ，，∴ 設(shè)BD=x 在Rt△EBD中，DE=2x，BE= 在Rt△EDC中，CD= ∴，即 【總結(jié)與反思】 （1）題中給出了特殊角60，我們通過(guò)導(dǎo)角便可以得出△ABC是等邊三角形，同理△EBD也是等邊三角形.由圖形全等可以得到一個(gè)特殊三角形Rt△EDC，從而得到BD=AE. （2）補(bǔ)全圖形，仿照（1），證明相似，通過(guò)邊之間的關(guān)系便可以確定BD與AE的比值了。 例4【規(guī)范解答】解(1) 判斷：BF=FE 證明： 作BQ⊥AC，交AC于點(diǎn)P ，交AD于點(diǎn)Q ． ∵CD⊥AC，∴∠ACD =90，∵AE∥CD ，∴∠EAC= 90，∵∠CAD=∠DAE，∴∠CAD =30，∠DAE=60 ∵EA=ED，∴△EAD是等邊三角形，∴EA=AD=2 CD，又∵△ABC是等邊三角形 ∴AP=PC，∠APB=90=∠EAC=∠ACD，∴AE∥BQ∥CD，∴ 即Q是AD中點(diǎn) ∠EAF=∠BQF，∠AEF=∠QBF，∴PQ=CD，AC=CD 在Rt△ABP中，BP=AP=AC=CD，∴BQ= BP+ PQ=2CD=EA ∴△AFE ≌△QFB，∴BF=FE （2） 作BQ⊥AC，交AC于點(diǎn)P ，交AD于點(diǎn)Q ,連接EQ． 同理P、Q為AC、AD的中點(diǎn)，∠EAF=∠BQF，∠AEF=∠QBF ∴△AFE∽△QFB，∴ ∵∠EAC= 90,∠CAD=2∠DAE，∴∠CAD =60，∠DAE=30 ∴PQ=CD, AC=CD, AD=CD，∴BQ= BP+ PQ= AC+CD=CD+CD=CD AQ=AD=CD ，又∵EA=ED，∴EQ⊥AD ∴EA= AQ=CD= CD ∴ 【總結(jié)與反思】 （1）作垂線，通過(guò)題干所提供的信息得到BQ與AE的關(guān)系，從而構(gòu)造全等△AFE ≌△QFB，去證明BF=FE。 （2）作垂線，過(guò)題干所提供的信息，從而構(gòu)造全等△AFE∽△QFB，去證明BF與EF的比值是3：2. 例5【規(guī)范解答】解：（1）①22.5② 結(jié)論：BE＝FD 證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DG∥CA，與BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，與AB相交于點(diǎn)H 則∠GDB＝∠C ∠BHD＝∠A＝90＝∠GHB，∵∠EDB＝∠C＝∠GDB＝∠EDG又∵DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90， ∴△DEB≌△DEG，∴BE＝GE＝GB，∵AB＝AC ∠A＝90，∴∠ABC＝∠C＝∠GDB，∴HB＝HD ∵∠DEB＝∠BHD＝90 ∠BFE＝∠DFH，∴∠EBF＝∠HDF，∴△GBH≌△FDH，∴GB＝FD，∴BE＝FD （2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DG∥CA，與BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，與AB相交于點(diǎn)H 同理可證：△DEB≌△DEG，BE＝GB，∠BHD＝∠GHB＝90，∠EBF＝∠HDF，∴△GBH∽△FDH ∴＝ 即＝，又∵DG∥CA，∴△BHD∽△BAC，∴＝ 即＝＝k ∴＝ 第二種解法： 解：（1）①∵AB＝AC∠A＝90，∴∠ABC＝∠C＝45，∵∠EDB＝ ∠C，∴∠EDB＝22.5 ∵BE⊥DE，∴∠EBD＝67.5，∴∠EBF＝67.5－45＝22.5 ②在△BEF和△DEB中，∵∠E＝∠E＝90，∠EBF＝∠EDB＝22.5，∴△BEF∽△DEB 如圖：BG平分∠ABC， ∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形，設(shè)EF＝x，BE＝y(tǒng)，則：BG＝GD＝ y，F(xiàn)D＝ y＋y－x ∵△BEF∽△DEB，∴ ＝ ，即： ＝ ，得：x＝（ －1）y，∴FD＝ y＋y－（ －1）y＝2y ∴FD＝2BE． （2）如圖：作∠ACB的平分線CG，交AB于點(diǎn)G， ∵AB＝kAC，∴設(shè)AC＝b，AB＝kb，BC＝ b 利用角平分線的性質(zhì)有：＝ ，即： ＝ ，得：AG＝ ∵∠EDB＝ ∠ACB，∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝ ，∵∠EDB＝ ∠ACB ∠ABC＝90－∠ACB，∴∠EBF＝90－∠ABC－∠EDB＝ ∠ACB，∴△BEF∽△DEB，∴EF＝ BE ED＝ BE＝EF＋FD，∴FD＝ BE－ BE＝ BE．∴ ＝ ． 【總結(jié)與反思】我們介紹了兩種方法一種是作平行線，目的是將半角變成倍角，另一種方法是作角平分線，目的是將倍角變成半角，無(wú)論哪種方式，最終的目的都是為了構(gòu)造全等形或是相似形。