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圓的有關(guān)性質(zhì) 一、單選題 1、下列語句中，正確的是 （） A、長度相等的弧是等弧 B、在同一平面上的三點確定一個圓 C、三角形的內(nèi)心是三角形三邊垂直平分線的交點 D、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等 2、下列說法： ①三點確定一個圓； ②垂直于弦的直徑平分弦； ③三角形的內(nèi)心到三條邊的距離相等； ④圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑． 其中正確的個數(shù)是（ ） A、0 B、2 C、3 D、4 3、如圖，將半徑為6的⊙O沿AB折疊，弧AB與AB垂直的半徑OC交于點D且CD=2OD，則折痕AB的長為（） A、　　 B、 C、6　　　 D、 4、如圖，已知以直角梯形ABCD的腰CD為直徑的半圓O與梯形的上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切點分別是D、C、E．若半圓O的半徑為2，梯形的腰AB為5，則該梯形的周長是（）. A、9 B、10 C、12 D、14 5、 如圖，⊙O中，弦AB與CD交于點M，∠A=45，∠AMD=75，則∠B的度數(shù)是（ ） A、15 B、25 C、30 D、75 6、（ 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠B=30，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于點D，連接AE，則S△ADE：S△CDB的值等于（　　） A、1： B、1： C、1：2 D、2：3 7、 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是 上一點，且 = ，連接CF并延長交AD的延長線于點E，連接AC．若∠ABC=105，∠BAC=25，則∠E的度數(shù)為（　?。? A、45 B、50 C、55 D、60 8、 把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則 的度數(shù)是（　?。? A、120 B、135 C、150 D、165 9、 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的大小為（　?。? A、45 B、50 C、60 D、75 10、 如圖，BD是⊙O的直徑，點A、C在⊙O上， = ，∠AOB=60，則∠BDC的度數(shù)是（ ） A、60 B、45 C、35 D、30 11、如圖，直線AB，AD與⊙O相切于點B，D，C為⊙O上一點，且∠BCD=140，則∠A的度數(shù)是（　?。? A、70 B、105 C、100 D、110 12、如圖，小敏家廚房一墻角處有一自來水管，裝修時為了美觀，準(zhǔn)備用木板從AB處將水管密封起來，互相垂直的兩墻面與水管分別相切于D，E兩點，經(jīng)測量AD=10cm，BE=15cm， 則該自來水管的半徑為（ ）cm． A、5 B、10 C、6 D、8 二、填空題（共5題；共5分） 13、 如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BCD=110，則∠BAD=________度． 14、 如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，⊙O的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是________． 15、 如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，若AB=6，AD=5，則DE的長為________． 16、 如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點E，若CE：BE=2：3，則AE：DE=________ 17、 如圖1，小敏利用課余時間制作了一個臉盆架，圖2是它的截面圖，垂直放置的臉盆與架子的交點為A，B，AB=40cm，臉盆的最低點C到AB的距離為10cm，則該臉盆的半徑為________cm． 三、解答題 18、已知點P到圓的最大距離為11，最小距離為7，則此圓的半徑為多少？ 19、一條排水管的截面如圖所示．已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16．求截面圓心O到水面的距離． 四、綜合題 20、 如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延長線于點E． (1)求證：∠1=∠BAD； (2)求證：BE是⊙O的切線． 21、 如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，連結(jié)BD，∠BAD=105，∠DBC=75． (1)求證：BD=CD； (2)若圓O的半徑為3，求 的長． 22、 如圖1，2，3分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形（等邊三角形）、正四邊形（正方形）、正五邊形，BE和CD相交于點O． (1)在圖1中，求證：△ABE≌△ADC． (2)由（1）證得△ABE≌△ADC，由此可推得在圖1中∠BOC=120，請你探索在圖2中，∠BOC的度數(shù)，并說明理由或?qū)懗鲎C明過程． (3)填空：在上述（1）（2）的基礎(chǔ)上可得在圖3中∠BOC=________（填寫度數(shù)）． (4)由此推廣到一般情形（如圖4），分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正n邊形，BE和CD仍相交于點O，猜想得∠BOC的度數(shù)為________（用含n的式子表示）．  答案解析部分 一、單選題 【答案】D 【考點】圓的認(rèn)識，確定圓的條件，三角形的外接圓與外心，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 【解析】 【解答】A、能完全重合的弧才是等弧，故錯誤； B、不在同一直線上的三點確定一個圓，故錯誤； C、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，是三條角平分線的交點，故錯誤； D、三角形的外心是外接圓的圓心，到三頂點的距離相等，故正確； 故選D． 【分析】確定圓的條件及三角形與其外心和內(nèi)心之間的關(guān)系解得即可． 【答案】C 【考點】垂徑定理，確定圓的條件，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 【解析】【解答】解：不共線的三點確定一個圓，所以①錯誤； 垂直于弦的直徑平分弦，所以②正確； 三角形的內(nèi)心到三條邊的距離相等，所以③正確； 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，所以④正確． 故選C． 【分析】根據(jù)確定圓的條件對①進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理對②進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)對③進(jìn)行判斷；根據(jù)切線的性質(zhì)對④進(jìn)行判斷． 【答案】B 【考點】勾股定理，垂徑定理，翻折變換（折疊問題） 【解析】【解答】延長CO交AB于E點，連接OB， ∵CE⊥AB， ∴E為AB的中點， ∵OC=6，CD=2OD， ∴CD=4，OD=2，OB=6， ∴DE=（2OC-CD)=（62-4)=8=4， ∴OE=DE-OD=4-2=2， 在Rt△OEB中， ∵OE2+BE2=OB2 ∴ ∴AB=2BE= 故選B. 【分析】根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵。延長CO交AB于E點，連接OB，構(gòu)造直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理求出AB的長。 【答案】D 【考點】直角梯形，切線長定理 【解析】 【解答】根據(jù)切線長定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周長是52+4=14．故選D． 【分析】由切線長定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周長=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半徑，由此可求出梯形的周長． 【答案】C 【考點】三角形的外角性質(zhì)，圓周角定理 【解析】【解答】解：∵∠A=45，∠AMD=75， ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75﹣45=30， ∴∠B=∠C=30， 故選C． 【分析】由三角形外角定理求得∠C的度數(shù)，再由圓周角定理可求∠B的度數(shù)．本題主要考查了三角形的外角定理，圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵． 【答案】D 【考點】圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【解答】解： ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90， ∵∠B=30， ∴ ， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴ ， ∴AD= AB，BD= AB， 過C作CE⊥AB于E，連接OE， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴ = ， ∴OE⊥AB， ∴OE= AB，CE= AB， ∴S△ADE：S△CDB=（ AD?OE）：（ BD?CE）=（ ）：（ ）=2：3． 故選D． 【分析】由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90，根據(jù)已知條件得到 ，根據(jù)三角形的角平分線定理得到 ，求出AD= AB，BD= AB，過C作CE⊥AB于E，連接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE= AB，CE= AB，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．本題考查了圓周角定理，三角形的角平分線定理，三角形的面積的計算，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 【答案】B 【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=105， ∴∠ADC=180﹣∠ABC=180﹣105=75． ∵ = ，∠BAC=25， ∴∠DCE=∠BAC=25， ∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75﹣25=50． 故選B． 【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，再由圓周角定理得出∠DCE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解答此題的關(guān)鍵． 【答案】C 【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系，翻折變換（折疊問題） 【解析】【解答】解：如圖所示：連接BO，過點O作OE⊥AB于點E，由題意可得：EO= BO，AB∥DC， 可得∠EBO=30， 故∠BOD=30， 則∠BOC=150， 故 的度數(shù)是150． 故選：C． 【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠BOD=30，再利用弧度與圓心角的關(guān)系得出答案．此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及弧度與圓心角的關(guān)系，正確得出∠BOD的度數(shù)是解題關(guān)鍵． 【答案】C 【考點】平行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 【解析】【解答】解：設(shè)∠ADC的度數(shù)=α，∠ABC的度數(shù)=β； ∵四邊形ABCO是平行四邊形， ∴∠ABC=∠AOC； ∵∠ADC= β，∠AOC=α；而α+β=180，∴ ， 解得：β=120，α=60，∠ADC=60， 故選C． 【分析】設(shè)∠ADC的度數(shù)=α，∠ABC的度數(shù)=β，由題意可得 ，求出β即可解決問題．該題主要考查了圓周角定理及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握該定理并能靈活運用． 【答案】D 【考點】圓周角定理 【解析】【解答】解：連結(jié)OC，如圖， ∵ = ， ∴∠BDC= ∠AOB= 60=30． 故選D． 【分析】本題考查了圓周角定理定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑．直接根據(jù)圓周角定理求解． 【答案】C 【考點】圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線的性質(zhì) 【解析】【解答】解：過點B作直徑BE，連接OD、DE． ∵B、C、D、E共圓，∠BCD=140， ∴∠E=180-140=40． ∴∠BOD=80． ∵AB、AD與⊙O相切于點B、D， ∴∠OBA=∠ODA=90． ∴∠A=360-90-90-80=100． 故選C． 【分析】過點B作直徑BE，連接OD、DE．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可求∠E的度數(shù)；根據(jù)圓周角定理求∠BOD的度數(shù)；根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求解．此題考查了切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、圓周角定理、四邊形內(nèi)角和定理等知識點，難度中等．連接切點和圓心是解決有關(guān)切線問題時常作的輔助線． 【答案】A 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理 【解析】【解答】解：連接OD，OE， x2-25x-150=0， （x-10）（x-15）=0， 解得：x1=10，x2=15， ∴設(shè)AD=10，BE=15，設(shè)半徑為x， ∴AB=AD+BE=25， ∴（AD+x）2+（BE+x）2=AB2 ， ∴（10+x）2+（15+x）2=252 ， 解得：x=5， 故選A． 【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程，得出AD=10，BE=15，再利用切線長定理得出AB=25，進(jìn)而求出即可．此題主要考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理，根據(jù)已知得出（AD+x）2+（BE+x）2=AB2是解題關(guān)鍵． 二、填空題 【答案】70 【考點】圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠BCD+∠BAD=180（圓內(nèi)接四邊形的對角互補）； 又∵∠BCD=110， ∴∠BAD=70． 故答案為：70． 【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補求∠BAD的度數(shù)即可．本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解答此題時，利用了圓內(nèi)接四邊形的對角互補的性質(zhì)來求∠BCD的補角即可． 【答案】3π 【考點】圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算 【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠C=60， 根據(jù)圓周角定理可得∠AOB=2∠C=120， ∴陰影部分的面積是 =3π， 故答案為：3π． 【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)及圓周角定理可得扇形對應(yīng)的圓心角度數(shù)，再根據(jù)扇形面積公式計算可得．本題主要考查扇形面積的計算和圓周角定理，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和圓周角定理求得圓心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵． 【答案】 【考點】勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【解答】解：如圖，連接BD， ∵AB為⊙O的直徑，AB=6，AD=5， ∴∠ADB=90， ∴BD= = ， ∵弦AD平分∠BAC， ∴ ， ∴∠DBE=∠DAB， 在△ABD和△BED中， ， ∴△ABD∽△BED， ∴ ，即BD2=EDAD， ∴（ ）2=ED5， 解得DE= ． 故答案為： ． 【分析】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及圓周角定理，解答此題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造出△ABD∽△BED．連接BD，由勾股定理先求出BD的長，再判定△ABD∽△BED，根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出比例式，可求得DE的長． 【答案】2：3 【考點】相交弦定理 【解析】【解答】解：∵⊙O的弦AB、CD相交于點E， ∴AE?BE=CE?DE， ∴AE：DE=CE：BE=2：3， 故答案為：2：3． 【分析】根據(jù)相交弦定理得到AE?BE=CE?DE，于是得到結(jié)論．此題考查了相交弦定理，熟練掌握相交弦定理是解題的關(guān)鍵． 【答案】25 【考點】垂徑定理的應(yīng)用 【解析】【解答】解；如圖，設(shè)圓的圓心為O，連接OA，OC，OC與AB交于點D，設(shè)⊙O半徑為R， ∵OC⊥AB， ∴AD=DB= AB=20，∠ADO=90， 在RT△AOD中，∵OA2=OD2+AD2 ， ∴R2=202+（R﹣10）2 ， ∴R=25． 故答案為25． 【分析】設(shè)圓的圓心為O，連接OA，OC，OC與AB交于點D，設(shè)⊙O半徑為R，在RT△AOD中利用勾股定理即可解決問題．本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用勾股定理列方程解決問題，屬于中考?？碱}型． 三、解答題 【答案】解:如圖，分兩種情況： ①當(dāng)點P在圓內(nèi)時，最近點的距離為7，最大距離為11，則直徑是18，因而半徑是9； ②當(dāng)點P在圓外時，最近點的距離為7，最大距離為11，則直徑是4，因而半徑是2； 故答案：圓的半徑為2或9.圓 【考點】點與圓的位置關(guān)系 【解析】【分析】點P應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部或外部兩種情況討論.當(dāng)點P在圓內(nèi)時，點到圓的最大距離與最小距離的和是直徑；當(dāng)點P在圓外時，點到圓的最大距離與最小距離的差是直徑，由此得解. 【答案】解：過O作OC⊥AB垂足為C， ∵OC⊥AB ∴BC=8cm 在RT△OBC中，由勾股定理得， OC= = =6， 答：圓心O到水面的距離6． 【考點】垂徑定理的應(yīng)用 【解析】【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AB=2BC，再根據(jù)勾股定理求出BC的長，進(jìn)而可得出答案． 四、綜合題 【答案】 （1）證明：∵BD=BA， ∴∠BDA=∠BAD， ∵∠1=∠BDA， ∴∠1=∠BAD； （2）證明：連接BO， ∵∠ABC=90， 又∵∠BAD+∠BCD=180， ∴∠BCO+∠BCD=180， ∵OB=OC， ∴∠BCO=∠CBO， ∴∠CBO+∠BCD=180， ∴OB∥DE， ∵BE⊥DE， ∴EB⊥OB， ∵OB是⊙O的半徑， ∴BE是⊙O的切線． 【考點】圓周角定理，三角形的外接圓與外心，切線的判定 【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出即可；（2）連接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根據(jù)切線的判定得出即可；本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵． 【答案】 （1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O， ∴∠DCB+∠BAD=180， ∵∠BAD=105， ∴∠DCB=180﹣105=75， ∵∠DBC=75， ∴∠DCB=∠DBC=75， ∴BD=CD； （2）解：∵∠DCB=∠DBC=75， ∴∠BDC=30， 由圓周角定理，得， 的度數(shù)為：60， 故 = = =π， 答： 的長為π． 【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長的計算 【解析】【分析】此題主要考查了弧長公式應(yīng)用以及圓周角定理等知識，根據(jù)題意得出∠DCB的度數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）直接利用圓周角定理得出∠DCB的度數(shù)，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；（2）首先求出 的度數(shù)，再利用弧長公式直接求出答案． 【答案】 （1）證明：如圖1，∵△ABD和△ACE是等邊三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， 即∠DAC=∠BAE， ∴△ABE≌△ADC （2）證明：如圖2，∠BOC=90，理由是： ∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90， ∴∠BAE=∠DAC， ∴△ADC≌△ABE， ∴∠BEA=∠DCA， ∵∠EAC=90， ∴∠AMC+∠DCA=90， ∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA， ∴∠BOC=90 （3）72 （4） 【考點】全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì) 【解析】【解答】證明：（3）如圖3，同理得：△ADC≌△ABE， ∴∠BEM=∠DCA， ∵∠BOC=∠BEM+∠OME=∠DCA+∠AMC， ∵正五邊形ACIGE， ∴∠EAC=180﹣ =108， ∴∠DCA+∠AMC=72， ∴∠BOC=72； 故答案為：72； 4）如圖4，∠BOC的度數(shù)為 ，理由是： 同理得：△ADC≌△ABE， ∴∠BEA=∠DCA， ∵∠BOC=∠BEA+∠OME=∠DCA+∠AMC， ∵正n邊形AC…E， ∴∠EAC=180﹣ ， ∴∠DCA+∠AMC=180﹣（180﹣ ）， ∴∠BOC= ． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形證明AB=AD，AC=AE，再利用等式性質(zhì)得∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS得出△ABE≌△ADC；（2）根據(jù)正方形性質(zhì)證明△ABE≌△ADC，得∠BEA=∠DCA，再由正方形ACEG的內(nèi)角∠EAC=90和三角形外角和定理得∠BOC=90；（3）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)證明：△ADC≌△ABE，再計算五邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)為108，由三角形外角定理求出∠BOC=72；（4）根據(jù)正n邊形的性質(zhì)證明：△ADC≌△ABE，再計算n邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)為180﹣ ，由三角形外角定理求出∠BOC= ．本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形、等邊三角形、正四邊形等圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用正n邊形各邊相等證明兩三角形全等，運用了類比的方法，同時還要熟練掌握正n邊形每一個內(nèi)角的求法：可以利用外角和求，也可以利用內(nèi)角和求；根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和列式并綜合對頂角相等分別得出結(jié)論．