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二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題 知識(shí)點(diǎn) 二次函數(shù)綜合；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)； 教學(xué)目標(biāo) 1. 熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問題 2．靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 教學(xué)重點(diǎn) 巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題； 教學(xué)難點(diǎn) 靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問題； 教學(xué)過程 一、課堂導(dǎo)入 二次函數(shù)的綜合問題是中考?jí)狠S題?？碱}型之一，難度較大。主要考查形式為二次函數(shù)與一些簡(jiǎn)單幾何圖形的點(diǎn)存在性問題，既考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，又考查學(xué)生的計(jì)算能力。此類問題出現(xiàn)后，大多學(xué)生都無從下手，主要是學(xué)生的綜合能力、解題技巧及實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)不足所致。就本節(jié)二次函數(shù)與相似三角形的點(diǎn)存在性問題，主要考查了學(xué)生能否將相似三角形的性質(zhì)與判定融入到二次函數(shù)，在函數(shù)圖像中構(gòu)造相似圖形的能力。 二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí) 勾股定理及逆定理 1.定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2=c2） 2.勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用有： （1）已知直角三角形的兩邊求第三邊 （2）已知直角三角形的一邊和另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊 （3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題 3.逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)：a，b，c，則有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 4.用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形應(yīng)注意： （1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊為c。 （2）驗(yàn)證c2和a2+b2是否具有相等的關(guān)系，若a2+b2=c2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形。 三、知識(shí)講解 考點(diǎn)1 二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)． 當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)． 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的三種表達(dá)形式分別為： 一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式； 頂點(diǎn)式：y=a（x－h(huán)）2+k，通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式； 交點(diǎn)式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)x1，x2才能求出此解析式； 對(duì)于y=ax2+bx+c而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－，）．對(duì)于y=a（x－h(huán)）2+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)． 考點(diǎn)2 相似三角形的概念及其性質(zhì) 1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。 2.性質(zhì)定理： (1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等； (2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例； (3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比,對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比； (4)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比； (5)相似三角形的面積比等于相似比的平方. 考點(diǎn)3 探究三角形相似的一般思路 解答三角形相似的存在性問題時(shí)，要具備分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出三角形相似的分類標(biāo)準(zhǔn)，一般涉及到動(dòng)態(tài)問題要以靜制動(dòng)，動(dòng)中求靜，具體如下： （1）假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論。探究三角形相似時(shí)，往往沒有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角（尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證明兩個(gè)三角形相似的題目）或涉及到動(dòng)點(diǎn)問題，因動(dòng)點(diǎn)問題中點(diǎn)的位置不確定，此時(shí)應(yīng)考慮不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而分情況討論； （2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)：在分類時(shí)，先要找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，看兩個(gè)三角形是否有對(duì)應(yīng)相等的角，若有，找出對(duì)應(yīng)相等的角后，再根據(jù)其他角進(jìn)行分類討論來確定相似三角形成立的條件；若沒有，則分別按三種角來分類討論； （3）建立關(guān)系式并計(jì)算。由相似三角形列出相應(yīng)的比例式，將比例式中的線段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來（其長(zhǎng)度多借助勾股定理運(yùn)算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)； 四、例題精析 考點(diǎn)一 在函數(shù)中運(yùn)用“SAS”判定定理構(gòu)造相似三角形 例1 直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后得到△COD，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)． (1) 寫出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)； (2) 求經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)； (3) 在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 例2如圖，已知點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線上． （1）求m、n； （2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，若四邊形A A′B′B為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式； （3）記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AB′ 的交點(diǎn)為C，試在x軸上找一個(gè)點(diǎn)D，使得以點(diǎn)B′、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．  考點(diǎn)二 運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決二次函數(shù)綜合問題 例3如圖，已知直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)． （1）直線AB總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)C，請(qǐng)直接出點(diǎn)C坐標(biāo)； （2）當(dāng)k=﹣時(shí)，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P，使△ABP的面積等于5； （3）若在拋物線上存在定點(diǎn)D使∠ADB=90，求點(diǎn)D到直線AB的最大距離．  例4如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C作CA∥x軸交拋物線于點(diǎn)A，在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD． （1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，4） ①求b，c的值； ②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由； （2）是否存在這樣的點(diǎn)A，使得四邊形AOBD是矩形？ 若存在，請(qǐng)直接寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．  課程小結(jié) 有針對(duì)性的對(duì)勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題時(shí)，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出相似三角形，并能運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。 解析 例1（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)． （2）因?yàn)閽佄锞€y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三點(diǎn)，所以 解得 所以拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，4)． （3）如圖2，直線BG的解析式為y＝3x＋1，直線CD的解析式為y＝3x＋3，因此CD//BG． 因?yàn)閳D形在旋轉(zhuǎn)過程中，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90． 因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線BG上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，3x＋1)，那么． Rt△COD的兩條直角邊的比為1∶3，如果Rt△ABQ與Rt△COD相似，存在兩種情況： ①當(dāng)時(shí)，．解得．所以，． ②當(dāng)時(shí)，．解得．所以，． 【總結(jié)與反思】1．圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角． 2．用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)． 3．第（3）題判斷∠ABQ＝90是解題的前提． 4．△ABQ與△COD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點(diǎn)Q與點(diǎn)B的位置關(guān)系分上下兩種情形，點(diǎn)Q共有4個(gè)． 例2【規(guī)范解答】(1) 因?yàn)辄c(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線上，所以 解得，． (2)如圖2，由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)，可得AB＝5．因?yàn)樗倪呅蜛 A′B′B為菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因?yàn)?，所以原拋物線的對(duì)稱軸x＝－1向右平移5個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)的直線為x＝4． 因此平移后的拋物線的解析式為． 圖2 (3) 由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B′ (6，0)，可得A B′＝． 如圖2，由AM//CN，可得，即．解得．所以．根據(jù)菱形的性質(zhì)，在△ABC與△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D． ①如圖3，當(dāng)時(shí)，，解得．此時(shí)OD＝3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）． ②如圖4，當(dāng)時(shí)，，解得．此時(shí)OD＝，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）． 【總結(jié)與反思】1．點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)在3個(gè)題目中處處用到，各具特色．第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計(jì)算平移的距離；第（3）題用來求點(diǎn)B′ 的坐標(biāo)、AC和B′C的長(zhǎng)． 2．拋物線左右平移，變化的是對(duì)稱軸，開口和形狀都不變． 3．探求△ABC與△B′CD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夾角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況討論． 例3【規(guī)范解答】解：（1）∵當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=（﹣2）k+2k+4=4． ∴直線AB：y=kx+2k+4必經(jīng)過定點(diǎn)（﹣2，4）．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，4）． （2）∵k=﹣，∴直線的解析式為y=﹣x+3．聯(lián)立，解得：或． ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）． 過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AB于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AM⊥PQ，垂足為M，過點(diǎn)B作BN⊥PQ，垂足為N，如圖1所示． 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為A．∴yP=a2，yQ=﹣a+3．∵點(diǎn)P在直線AB下方， ∴PQ=yQ﹣yP =﹣a+3﹣a2∵AM+NB=a﹣（﹣3）+2﹣a=5． ∴S△APB=S△APQ+S△BPQ=PQ?AM+PQ?BN=PQ?（AM+BN）=（﹣a+3﹣a2）?5=5． 整理得：a2+a﹣2=0．解得：a1=﹣2，a2=1．當(dāng)a=﹣2時(shí)，yP=（﹣2）2=2．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）． 當(dāng)a=1時(shí)，yP=12=．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）． ∴符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（1，）． （3）過點(diǎn)D作x軸的平行線EF，作AE⊥EF，垂足為E，作BF⊥EF，垂足為F，如圖2． ∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90．∵∠ADB=90，∴∠ADE=90﹣∠BDF=∠DBF． ∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF， ∴△AED∽△DFB．∴． 設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，則點(diǎn)A、B、D的縱坐標(biāo)分別為m2、n2、t2． AE=yA﹣yE=m2﹣t2．BF=yB﹣yF=n2﹣t2．ED=xD﹣xE=t﹣m，DF=xF﹣xD=n﹣t． ∵，∴=．化簡(jiǎn)得：mn+（m+n）t+t2+4=0． ∵點(diǎn)A、B是直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交點(diǎn)，∴m、n是方程kx+2k+4=x2即x2﹣2kx﹣4k﹣8=0兩根． ∴m+n=2k，mn=﹣4k﹣8．∴﹣4k﹣8+2kt+t2+4=0， 即t2+2kt﹣4k﹣4=0．即（t﹣2）（t+2k+2）=0．∴t1=2，t2=﹣2k﹣2（舍）．∴定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）． 過點(diǎn)D作x軸的平行線DG，過點(diǎn)C作CG⊥DG，垂足為G，如圖3所示． ∵點(diǎn)C（﹣2，4），點(diǎn)D（2，2），∴CG=4﹣2=2，DG=2﹣（﹣2）=4．∵CG⊥DG， ∴DC====2． 過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，如圖3所示，∴DH≤DC．∴DH≤2．∴當(dāng)DH與DC重合即DC⊥AB時(shí)， 點(diǎn)D到直線AB的距離最大，最大值為2．∴點(diǎn)D到直線AB的最大距離為2． 【總結(jié)與反思】（1）要求定點(diǎn)的坐標(biāo)，只需尋找一個(gè)合適x，使得y的值與k無關(guān)即可． （2）只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，運(yùn)用割補(bǔ)法用a的代數(shù)式表示△APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)． （3）設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，從條件∠ADB=90出發(fā)，可構(gòu)造k型相似，從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．由于直線AB上有一個(gè)定點(diǎn)C，容易得到DC長(zhǎng)就是點(diǎn)D到AB的最大距離，只需構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可解決問題． 例4【規(guī)范解答】（1）①∵AC∥x軸，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，4）．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4） 把A、C代入y═﹣x2+bx+c得， 得，解得； ②四邊形AOBD是平行四邊形；理由如下： 由①得拋物線的解析式為y═﹣x2﹣4x+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，8），過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE=OC=4，AE=2，∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x軸，∴∠AED=∠BCO=90，∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠BCO，∴AD∥BO，∴四邊形AOBD是平行四邊形． （2）存在，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（﹣2，2）或（2，2）要使四邊形AOBD是矩形；則需∠AOB=∠BCO=90， ∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC， ∴在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，∵C點(diǎn)是拋物線與y軸交點(diǎn)，∴OC=c， ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，c），∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)=c，b=c，∵將A點(diǎn)代入可得c=﹣+c?c+c， ∴橫坐標(biāo)為c，縱坐標(biāo)為c即可，令c=2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)可以為（2，2）或者（﹣2，2）． 【總結(jié)與反思】 （1）①將拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線即可求出b、c的值； ②求證AD=BO和AD∥BO即可判定四邊形為平行四邊形； （2）根據(jù)矩形的各角為90可以求得△ABO∽△OBC即=，再根據(jù)勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得橫坐標(biāo)為c，縱坐標(biāo)為C．