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二次根式 一、選擇題 1.下列計(jì)算正確的是（ ） A.B.C.D. 2.下列四個(gè)數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是( ) A.B.C.D. 3.函數(shù)y= 中自變量x的取值范圍是（ ） A.x≥-1且x≠1B.x≥-1C.x≠1D.-1≤x＜1 4.下列各式化簡后的結(jié)果為3 的是（ ） A.B.C.D. 5.下列計(jì)算正確的是（ ） A.a5＋a2＝a7B. ＝ C.2-2＝－4D.x2x3＝x6 6.計(jì)算|2﹣ |+|4﹣ |的值是（ ） A.﹣2B.2C.2 ﹣6D.6﹣2 7.計(jì)算 之值為何（ ） A.5 B.33 C.3 D.9 8.下列運(yùn)算正確的是（ ） A.B.C.D. 9.已知 ，則代數(shù)式 的值是（ ） A.0B.C.D. 10.如果 （0＜x＜150）是一個(gè)整數(shù)，那么整數(shù)x可取得的值共有（ ） A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè) 11.化簡 為（ ） A.5﹣4 B.4 ﹣lC.2 D.1 12.下列計(jì)算：① ；② ；③ ；④ ．其中正確的有（ ） A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 二、填空題 13.函數(shù)y＝ 的自變量x的取值范圍是________． 14.計(jì)算： ＝________． 15.計(jì)算： ________。 16.當(dāng)x=2時(shí)，二次根式 的值為________． 17.計(jì)算 的結(jié)果是________. 18.計(jì)算（ +1）xx（ ﹣1）xx=________． 19.已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡 的結(jié)果是 ________． 20.若實(shí)數(shù)a、b滿足|a+2|+ =0，則 =________． 21.計(jì)算： =________． 22.觀察下列等式： 第1個(gè)等式：a1= = ﹣1， 第2個(gè)等式：a2= = ﹣ ， 第3個(gè)等式：a3= =2﹣ ， 第4個(gè)等式：a4= = ﹣2， 按上述規(guī)律，回答以下問題： （1）請寫出第n個(gè)等式：an=________； （2）a1+a2+a3+…+an=________． 三、解答題 23. 24.計(jì)算：（ ）﹣1﹣6cos30﹣（ ）0+ ． 25.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（- ，-1）到原點(diǎn)的距離是多少？ 26.若b為實(shí)數(shù)，化簡|2b-1|- 。 27.17、閱讀下列解題過程，根據(jù)要求回答問題：化簡： 解：原式 、① ② ③ ④ （1）上面解答過程是否正確?若不正確，請指出是哪幾步出現(xiàn)了錯(cuò)誤? （2）請你寫出你認(rèn)為正確的解答過程． 28.觀察下列各式及其驗(yàn)算過程： =2 ，驗(yàn)證： = = =2 ； =3 ，驗(yàn)證： = = =3 （1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想 的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證． （2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．  答案解析 一、選擇題 1.【答案】A 【解析】 ：A、 ，符合題意； B、（a+b）2=a2+2ab+b2 ， 故不符合題意； C、2+ ，無法計(jì)算，故不符合題意； D、（a3）2=a6 ， 故不符合題意； 故答案為：A． 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減；完全平方公式得展開式是一個(gè)三項(xiàng)式，首平方，尾平方，積的2倍放中央；二次根式的加減就是合并同類二次根式，不是同類二次根式的不能合并；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；根據(jù)法則一一判斷即可。 2.【答案】C 【解析】 ：A．|﹣2|=2，是正數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意； B．（﹣2）2=4，是正數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意； C．﹣ ＜0，是負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意； D． = =2，是正數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意． 故答案為：C． 【分析】先將各選項(xiàng)化簡，再根據(jù)負(fù)數(shù)的定義，對各選項(xiàng)逐一判斷即可。 3.【答案】A 【解析】 根據(jù)題意得到： ， 解得x≥-1且x≠1， 故答案為：A 【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)只能為非負(fù)數(shù)及分式的分母不能為0，列出不等式組，求解即可得出答案。 4.【答案】C 【解析】 A、 不能化簡,不符合題意； B、 =2 ,不符合題意； C、 =3 ,符合題意； D、 =6,不符合題意； 故答案為：C． 【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)逐一化簡即可。 5.【答案】B 【解析】 A. a5＋a2不是同類項(xiàng)，不能合并，不符合題意； B. ＝ ，符合題意； C. 2-2＝0，不等于-4，不符合題意； D. x2x3＝x5不等于x6 ， 不符合題意. 故答案為：B. 【分析】（1）a5與a2的指數(shù)不同，所以不是同類項(xiàng)，不能合并； （2）根據(jù)二次根式的乘法法則可得; （3）由有理數(shù)的減法法則可得2-2＝0； （4）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則可得x2x3＝x5。 6.【答案】B 【解析】 ：原式= ﹣2+4﹣ =2．故答案為：B． 【分析】由2-＜0，4-＞0，根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡，再合并同類二次根式即可. 7.【答案】A 【解析】 ：原式＝7 －5 ＋3 ＝5 ．故答案為：A．【分析】先把二次根式化簡為最簡二次根式，再合并同類二次根式. 8.【答案】C 【解析】 ：A． 與 不能合并，所以A選項(xiàng)不符合題意； B．原式=62=12，所以B選項(xiàng)不符合題意； C．原式= =2，所以C選項(xiàng)符合題意； D．原式=2 ，所以D選項(xiàng)不符合題意． 故答案為：C． 【分析】二次根式的加減法就是把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式，只有同類二次根式才能合并，和并的時(shí)候只把系數(shù)相加減，根號部分不變；二次根式的乘法，把系數(shù)相乘作積的系數(shù)，被開方數(shù)相乘作積的被開方數(shù)，根指數(shù)不變；二次根式的除法，就是把被開方數(shù)相除的商作為被開方數(shù)，根指數(shù)不變，運(yùn)算的結(jié)果需要化為最簡形式。 9.【答案】C 【解析】 ： = = = ．故答案為：C．【分析】直接把x的值代入，根據(jù)完全平方公式和平方差公式計(jì)算即可. 10.【答案】B 【解析】 ∵ ， 而 （0＜x＜150）是一個(gè)整數(shù)，且x為整數(shù)， ∴5523x一定可以寫成平方的形式， 所以可以是6，24，54，96共有4個(gè)． 故答案為：B． 【分析】先將150x可以開平方的部分放到二次根號外面，可以發(fā)現(xiàn)x為6的倍數(shù)，再結(jié)合x的取值范圍即可求得x的取值個(gè)數(shù). 11.【答案】C 【解析】 故答案為：C. 【分析】根據(jù)題意可知根號內(nèi)還有根號，因此先利用完全平方公式，將轉(zhuǎn)化為（）2,再代入化簡即可。 12.【答案】D 【解析】 ：（ ）2=2，所以①正確； =2，所以②正確； （﹣2 ）2=12，所以③正確； （ ）（ ）=2﹣3=﹣1，所以④正確． 故答案為：D． 【分析】一個(gè)正數(shù)的算數(shù)根的平方等于它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的平方的算數(shù)根等于它的相反數(shù)；積的乘方?jīng)]等于把積中的每一個(gè)因式都乘方，再把所得的冪相乘；兩個(gè)數(shù)的和與差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差；根據(jù)性質(zhì)一一計(jì)算即可。 二、填空題 13.【答案】 【解析】 由題意3-x≥0，解得：x≤3， 故答案為：x≤3. 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)不等于0，列出不等式求解即可。 14.【答案】2 【解析】 = 故答案為：2. 【分析】根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則和二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可求解。 15.【答案】 【解析】 原式 故答案為： 【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將二次根式化為最簡二次根式，再按同類二次根式的合并方法進(jìn)行合并即可。 16.【答案】3 【解析】 ：當(dāng)x=2時(shí)，原式= 故答案為：3 【分析】將x=2代入計(jì)算即可。 17.【答案】 【解析】 故答案為： 【分析】先將二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式即可求解。 18.【答案】+1 【解析】 ：原式=[（ +1）?（ ﹣1）]xx?（ +1） =（2﹣1）xx?（ +1） = +1．故答案為 +1． 【分析】根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算，求出二次根式的值. 19.【答案】1-2a 【解析】 故答案為：A.【分析】從數(shù)軸上可以看出，a＜0＜1，所以1-a＞0，進(jìn)一步根據(jù)絕對值的意義和二次根式的運(yùn)算化簡即可。 20.【答案】1 【解析】 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得： ，解得： ，則原式= =1． 【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性和絕對值的非負(fù)性可得：a+2=0，b?4= 0；解得a=?2，b=4，所以原式=1. 21.【答案】5 【解析】 ： = （ ﹣1）+ （ ）+ （ ）+…+ （ ） = （ ﹣1） = 10 =5． 故答案為：5. 【分析】先將各式分母有理化，在計(jì)算即可。即原式=+++=()+（）++（）=10=5. 22.【答案】（1） （2）﹣1 【解析】 ：（1）∵第1個(gè)等式：a1= = ﹣1， 第2個(gè)等式：a2= = ﹣ ， 第3個(gè)等式：a3= =2﹣ ， 第4個(gè)等式：a4= = ﹣2， ∴第n個(gè)等式：an= = ﹣ ； （ 2 ）a1+a2+a3+…+an =（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（2﹣ ）+（ ﹣2）+…+（ ﹣ ） = ﹣1． 故答案為 = ； ﹣1． 【分析】根據(jù)分母有理化的意義求出有規(guī)律的根式；再根據(jù)結(jié)果求出a1+a2+a3+的值. 三、解答題 23.【答案】解：原式= = = 【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將括號里的各個(gè)二次根式化簡，再合并同類二次根式，去掉括號，再根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算出結(jié)果。 24.【答案】解：=2﹣6 ﹣1+3 =2﹣3 ﹣1+3 =1 【解析】【分析】先算乘方、開方運(yùn)算，代入特殊角的三角函數(shù)值，再算乘除法，然后合并即可。 25.【答案】解：根據(jù)題意得：d= =2，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（- ，-1）到原點(diǎn)的距離是2. 【解析】【分析】根據(jù)題意，用勾股定理可得點(diǎn)P（-，-1）到原點(diǎn)的距離= 26.【答案】解:原式=|2b-1|-|b-1|，當(dāng)b≤ 時(shí)，原式=-2b+1+b-1=-b， 當(dāng) ≤b≤1時(shí)，原式=2b-1+b-1=3b-2， 當(dāng)b≥1時(shí)，原式=2b-1-b+1=b。 【解析】【分析】先將二次根式化簡，即， 則原式=+；分3種情況討論：（1）當(dāng)b時(shí)，原式=-2b+1+b-1=-b；（2）當(dāng)≤b≤1時(shí)，原式=2b-1+b-1=3b-2；（3）當(dāng)b≥1時(shí)，原式=2b-1-b+1=b。 27.【答案】（1）解：不正確，第②③步出現(xiàn)了錯(cuò)誤 （2）解：原式 【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知解答過程不正確，第②③步出現(xiàn)了錯(cuò)誤； （2）由題意可得ba0,則a-b0,所以正確的解答過程是：原式====. 28.【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ， ∴ =4 =4 = ， 驗(yàn)證： = = ，正確 （2）解：由（1）中的規(guī)律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1， ∴ = ， 驗(yàn)證： = = ；正確。 【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和化簡，由分母有理化得出結(jié)論.