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幾何問題探究——與中點相關(guān)問題 知識點 1.中點的定義 2.中點的表示方法：等量關(guān)系、倍的關(guān)系、分的關(guān)系 3.三角形中線的作用：等分線段 4.全等三角形的中線的作用：倍長中線（延長中線至*，連接**，證明三角形全等） 教學目標 熟練掌握有中點為背景的全等三角形證明的方法. 教學重點 在實際問題中能對中線倍長法模型的建立，利用中線倍長法解決問題. 教學難點 利用中線倍長法構(gòu)造全等三角形解決問題. 教學過程 一、課堂導入 幾何在初中數(shù)學中占有相當?shù)谋戎?，在全國各地的中考?shù)學試卷中圖形與幾何的探究問題占到20%到30%的比重。主要考查了圖形的一些基本性質(zhì)，借助圖形的變換（平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸對稱變換、相似變換）進行線段和角的一些相關(guān)問題的探討，主要考查了學生的觀察能力、空間想象能力、動手操作能力以及所學幾何基礎知識的靈活運用能力。 解決幾何綜合問題，是需要厚積而薄發(fā)，所謂的“幾何感覺”，是建立在足夠的知識積累的基礎上的，熟悉基本圖形及常用的輔助線，在遇到特定條件時能夠及時聯(lián)想到對應的模型，找到“新”問題與“舊“模型間的關(guān)聯(lián)，明確努力方向，才能進一步探究綜合問題。注重對基本模型及輔助線的積累是非常必要的。 二、復習預習 三角形中線的定義：三角形頂點和對邊中點的連線。 三角形中線的相關(guān)定理： 1. 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。 2. 等腰三角形底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）。 中線中位線相關(guān)問題（涉及中點的問題） 見到中線（中點），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時，倍長中線的應用更是較為常見。 三、知識講解 考點1 三角形的中位線 1. 三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 2. 三角形中位線的定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半。 3. 中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊。 考點2 全等三角形的概念及其性質(zhì) 1.定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。 2.性質(zhì)定理： （1）全等三角形的對應角相等。 （2）全等三角形的對應邊相等。 （3）能夠完全重合的頂點叫對應頂點。 （4）全等三角形的對應邊上的高對應相等。 （5）全等三角形的對應角的角平分線相等。（6）全等三角形的對應邊上的中線相等。 （7）全等三角形面積和周長相等。 （8）全等三角形的對應角的三角函數(shù)值相等。 考點3 全等三角形的解題技巧 一般來說考試中線段和角相等需要證明全等。因此我們可以來采用逆向思維的方式，要想證明全等，需要什么條件。 例如：要想證明某某邊等于某某邊，那么首先要證明含有那兩個邊的三角形全等，然后把所得到的等式運用（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）證明三角形全等，有時還需要輔助線。 分析完畢后要注意書寫格式，在全等三角形中，如果格式不寫好那么就容易出現(xiàn)看漏的現(xiàn)象，同時注意隱含的條件。 四、例題精析 考點一 倍長中線問題 例1 如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，延長BE交AC于F，AF=EF，求證：AC=BE．  例2 如圖所示， △OAB，△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90. (1) 如圖1，點C在OA邊上，點D在OB邊上，連接AD，BC，M為線段AD的中點，求證：OM⊥BC. (2) 如圖2，在圖1的基礎上，將△OCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α（α為銳角），M為線段AD的中點. ①線段OM與線段BC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？寫出并證明你的結(jié)論； ②OM⊥BC是否仍然成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由.  考點二 構(gòu)造中位線問題 例3如圖，在△ABC和△PQD中，AC = kBC，DP = kDQ，∠C =∠PDQ，D、E分別是AB、AC的中點，點P在直線BC上，連結(jié)EQ交PC于點H．猜想線段EH與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．  例4 如圖，在△ABC和△DAE中，AB=k AC，AD=k AE（k>1）且∠BAC=∠DAE=α，H為BC的中點，G為ED的中點，F(xiàn)為CD的中點，連結(jié)FG，F(xiàn)H，請?zhí)骄縁H與FG的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。 說明：如果你經(jīng)過反復探索沒有解決問題，可以選取（1）（2）中的一個條件完成你的探究（1）k=1；（2）點D在BA上，點E在AC 上。  考點三 證明中點問題 例5如圖，△ABC≌△BDE，M、M′分別為AB、DB中點，直線MM′交CE于K． 試探索CK與EK的數(shù)量關(guān)系．  考點四 與直角三角形斜邊中點相關(guān)問題 例6如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90，點E在AB上，F(xiàn)是線段BD的中點，連接CE、FE． （1）請你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）； （2）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使△AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連接BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由； （3）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3），連接BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由。  課程小結(jié) 本節(jié)課主要研究了與中點相關(guān)的問題，如若遇到一個中點，可先考慮倍長中線，注意二次全等問題；如若遇到多個中點，可先考慮嘗試中位線，當然倍長中線也可以嘗試考慮；如若遇到直角三角形和中點同時出現(xiàn)，那么一定要記得“直角三角形斜邊的中線是等于斜邊一半“的這條性質(zhì)。幾何問題的探究，是一個長期積累的過程，注重幾何知識的綜合運用，積累基本型是重中之重。 例1【規(guī)范解答】延長到，使，連結(jié) ∵，， ∴ ∴． 又∵，∴ ∴ ∴，∴． 【總結(jié)與反思】作倍長AD，得到，可以把AC轉(zhuǎn)移到△BDG中，利用等腰的性質(zhì)得到兩邊相等。 例2【規(guī)范解答】1、證明：∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝90 ∴△AOD ≌△BOC，∴∠OAD＝∠OBC，∵M是AD中點，∴OM＝AM，∴∠OAD＝∠MOA， ∴∠OBC＝∠MOA ∵∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝90，∴∠OBC+∠MOB＝90 ∴∠BMO＝180-90＝90，∴OM⊥BC。 2、結(jié)論：BC＝2OM,OM⊥BC。 延長OM至E，使OM＝EM，連接AE，又AM＝DM，∠AME＝∠DMO ∴△AME ≌△DMO，∴AE＝DO，∠EAM＝∠ODM ∵△AOB和△COD是等腰直角三角形， ∴OA＝OB，① OD＝OC，∠AOB＝∠DOC＝90 ∴AE＝OC。② ∵∠OAE＝∠OAD+∠EAM＝＝∠OAD+∠ODM＝180-∠AOD ∠BOC＝∠AOB+∠COD-∠AOD＝90+90-∠AOD＝180-∠AOD ∴∠OAE＝∠BOC，③ 由①②③可得，△OAE≌△BOC，∴OE＝BC，∠AOE＝∠OBC， ∵OE＝2OM，∴BC＝2OM。 延長BC交OE于F，∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝90，∴ ∠OBC+∠BOE＝90 ∴∠BFO＝180-90＝90，∴OE⊥BF 即OM⊥BC。 【總結(jié)與反思】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可證△AOD≌△BOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可證明OM⊥BC;（2）延長OM至E，使OM＝EM，連接AE，先證明△AME ≌△DMO ，再證明△OAE≌△BOC 即可證明BC＝2OM，延長BC交OE于F，推導出∠BFO=90，即可證明OM⊥BC. 例3【規(guī)范解答】證明： 取BC中點M，連接DE，DM∵ D、E分別是AB、AC的中點 ∴DM=AC 且 DM∥AC, DE=BC 且 DE∥BC，∴∠C=∠MDE 又∵∠PDQ=∠C，∴∠PDQ=∠C ，又∵ ∠PDQ+∠QDM =∠MDE+∠QDM，∴∠PDM=∠QDE 又∵AC = kBC，∴DM = kDE，又∵DP= kDQ，∴△PDM∽△DQE，∴∠DEQ=∠DMP， 又∵DE∥BC，DM∥AC，∴∠DEQ=∠EHC, ∠DMP=∠C，∴∠EHC=∠C， ∴EH=EC=AC 【總結(jié)與反思】本題中出現(xiàn)了兩個中點，由所給信息，運用中位線的知識我們可以構(gòu)造出△PDM∽△DQE ，從而得到角的關(guān)系，便可以證明EH與AC的數(shù)量關(guān)系了。 例4【規(guī)范解答】證明：連接BD、CE ∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE 即 ∠BAD=∠CAE 又∵AB=kAC , AD=kAE，∴ △ACE∽△ABD，∴BD= kCE 又∵H為BC的中點，G為ED的中點，F(xiàn)為CD的中點， ∴HF=BD, FG=CE ∴HF= kFG 【總結(jié)與反思】本題要我們探究FH與FG的關(guān)系，觀察圖形及所給的已知信息，我們可以首先考慮嘗試運用中位線，連接BD，CE，要探究FH與FG的關(guān)系便可以轉(zhuǎn)化為探究BD及CE的關(guān)系，我們可以通過證明△ACE∽△ABD便可以得到BD及CE的關(guān)系，同樣就可以得知FH與FG的關(guān)系了。 例5【規(guī)范解答】CK與EK的數(shù)量關(guān)系為相等，理由如下： 延長MK到N，使得NK=MM′，連接EM′、CM、EN，如圖， 可得NK+KM′=MM′+M′K，即NM′=MK，∵△ABC≌△BDE，M、M′分別為AB、DB中點， ∴EM′=CM，BM′=BM，∠EM′D=∠CMB，由BM′=BM得：∠BM′M=∠BMM′=∠KM′D， ∴∠NM′E=∠CMK，在△EM′N和△CMK中，NM′=MK，∠NM′E=∠CMK，EM′=CM， ∴△EM′N≌△CMK，（SAS）∴CK=EN，∠N=∠CKM=∠NKE，∴EK=EN，∴CK=EK． 【總結(jié)與反思】由已知條件不能得到相關(guān)條件，可作輔助線，延長MK到N，使得NK=MM′，連接EM′、CM、EN，再根據(jù)輔助條件證明△EM′N≌△CMK即可． 例6【規(guī)范解答】（1）如圖1，連接CF，線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=FE； （2）（1）中的結(jié)論仍然成立．如圖2，連接CF，延長EF交CB于點G， ∵∠ACB=∠AED=90，∴DE∥BC，∴∠EDF=∠GBF，又∵∠EFD=∠GFB，DF=BF， ∴△EDF≌△GBF，∴EF=GF，BG=DE=AE，∵AC=BC，∴CE=CG，∴∠EFC=90，CF=EF，∴△CEF為等腰直角三角形，∴∠CEF=45度，∴CE=FE； （3）（1）中的結(jié)論仍然成立． 如圖3，取AD的中點M，連接EM，MF，取AB的中點N，連接FN、CN、CF， ∵DF=BF，∴FM∥AB，且FM=AB，∵AE=DE，∠AED=90，∴AM=EM，∠AME=90， ∵CA=CB，∠ACB=90∴CN=AN=AB，∠ANC=90，∴MF∥AN，F(xiàn)M=AN=CN，∴四邊形MFNA為平行四邊形， ∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA，∴∠EMF=∠FNC，∴△EMF≌△FNC，∴FE=CF，∠EFM=∠FCN， 由MF∥AN，∠ANC=90，可得∠CPF=90，∴∠FCN+∠PFC=90，∴∠EFM+∠PFC=90，∴∠EFC=90， ∴△CEF為等腰直角三角形，∴∠CEF=45，∴CE=FE．  【總結(jié)與反思】（1）連接CF，直角△DEB中，EF是斜邊BD上的中線，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF； （2）思路同（1）也要通過證明△EFC是等腰直角三角形來求解．連接CF，延長EF交CB于點G，先證△EFC是等腰三角形，可通過證明CF是斜邊上的中線來得出此結(jié)論，那么就要證明EF=FG，就需要證明△DEF和△FGB全等．這兩個三角形中，已知的條件有一組對頂角，DF=FB，只要再得出一組對應角相等即可，我們發(fā)現(xiàn)DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此構(gòu)成了兩三角形全等的條件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是個等腰三角形了，下面證明△CFE是個直角三角形就能得出（1）中的結(jié)論了； （3）思路同（2）通過證明△CFE來得出結(jié)論，通過全等三角形來證得CF=FE，取AD的中點M，連接EM，MF，取AB的中點N，連接FN、CN、CF．那么關(guān)鍵就是證明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位線和直角三角形斜邊上的中線，我們不難得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我們只要再證得兩對應邊的夾角相等即可得出全等的結(jié)論．我們知道PN是△ABD的中位線，那么我們不難得出四邊形AMPN為平行四邊形，那么對角就相等，于是90+∠CNF=90+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么兩三角形就全等了．證明∠CFE是直角的過程與（1）完全相同．那么就能得出△CEF是個等腰直角三角形，于是得出的結(jié)論與（1）也相同．