《九年級數(shù)學 第3講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題教案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《九年級數(shù)學 第3講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題教案.doc（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題 知識點 二次函數(shù)綜合；勾股定理；相似三角形的性質； 教學目標 1. 熟練運用所學知識解決二次函數(shù)綜合問題 2．靈活運用數(shù)形結合思想 教學重點 巧妙運用數(shù)形結合思想解決綜合問題； 教學難點 靈活運用技巧及方法解決綜合問題； 知識講解 考點1 二次函數(shù)的基礎知識 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關于自變量的二次式，二次項系數(shù)必須是非零實數(shù)時才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)．當b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)． 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的三種表達形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個點的坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a（x－h(huán)）2+k，通常要知道頂點坐標或對稱軸才能求出此解析式；交點式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道圖像與x軸的兩個交點坐標x1，x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標為（－，）．對于y=a（x－h(huán)）2+k而言其頂點坐標為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點． 考點2 勾股定理及逆定理 1.定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2=c2） 2.勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用有： （1）已知直角三角形的兩邊求第三邊 （2）已知直角三角形的一邊和另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊 （3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題 3.逆定理：如果三角形的三邊長：a，b，c，則有關系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。 4.用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形應注意： （1）首先確定最大邊，不妨設最長邊為c。 （2）驗證c2和a2+b2是否具有相等的關系，若a2+b2=c2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形。 考點3 探究直角三角形的一般思路 探究直角三角形的存在性問題時，具體方法如下： （1）先假設結論成立，根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論； （2）找點：當所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時，需分情況討論，具體方法如下： ①當定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一端點作定長的垂線，與數(shù)軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點； ②當定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所求點滿足條件的數(shù)軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點； （3）計算：把圖形中的點坐標用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形的各個邊（表示線段時，注意代數(shù)式的符號）。再利用相似三角形的性質得出比例式，或者利用勾股定理進行計算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點坐標。例題精析 例1 如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C(0，－3)，對稱軸是直線x＝1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D． （1）求拋物線的函數(shù)表達式； （2）求直線BC的函數(shù)表達式； （3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于 點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限． ①當線段時，求tan∠CED的值； ②當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請 直接寫出點P的坐標．  例2如圖，直線和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-2，0）． （1）試說明△ABC是等腰三角形； （2）動點M從A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發(fā)沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度．當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動．設M運動t秒時，△MON的面積為S． ① 求S與t的函數(shù)關系式； ② 設點M在線段OB上運動時，是否存在S＝4的情形？ 若存在，求出對應的t值；若不存在請說明理由； ③在運動過程中，當△MON為直角三角形時，求t的值． 例3如圖，矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與AB邊交于點D． （1）求拋物線的函數(shù)表達式； （2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m，△CPQ的面積為S． ①求S關于m的函數(shù)表達式，并求出m為何值時，S取得最大值； ②當S最大時，在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸l上若存在點F，使△FDQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的F的坐標；若不存在，請說明理由．  例4如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上． （1）求拋物線的解析式； （2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由； （3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．  課程小結 有針對性的對勾股定理、相似三角形的性質及二次函數(shù)的基礎知識進行復習，有助于為研究二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題時，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構造出直角三角形，并能運用直角三角形的性質解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關鍵。 例1【規(guī)范解答】 （1）設拋物線的函數(shù)表達式為，代入點C(0，－3)，得．所以拋物線的函數(shù)表達式為． （2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．設直線BC的函數(shù)表達式為，代入點B(3，0)和點C(0，－3)，得 解得，．所以直線BC的函數(shù)表達式為． （3）①因為AB＝4，所以．因為P、Q關于直線x＝1對稱，所以點P的橫坐標為．于是得到點P的坐標為，點F的坐標為．所以，． 進而得到，點E的坐標為． 直線BC:與拋物線的對稱軸x＝1的交點D的坐標為（1，－2）． 過點D作DH⊥y軸，垂足為H． 在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED． ②，． 【總結與反思】 1．第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結果直接影響后續(xù)的解題． 2．第（3）題的關鍵是求點E的坐標，反復用到數(shù)形結合，注意y軸負半軸上的點的縱坐標的符號與線段長的關系． 3．根據(jù)C、D的坐標，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點E的坐標就簡單了． 例2【規(guī)范解答】（1）直線與x軸的交點為B（3，0）、與y軸的交點C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．點A的坐標是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形． （2）①如圖2，圖3，過點N作NH⊥AB，垂足為H．在Rt△BNH中，BN＝t，，所以． 如圖2，當M在AO上時，OM＝2－t，此時．此時0＜t≤2． 如圖3，當M在OB上時，OM＝t－2，此時．此時2＜t≤5． 圖2 圖3 ②把S＝4代入，得．解得，（舍去負值）．因此，當點M在線段OB上運動時，存在S＝4的情形，此時． ③如圖4，當∠OMN＝90時，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，所以．解得． 如圖5，當∠MON＝90時，N與C重合，．不存在∠ONM＝90的可能． 所以，當或者時，△MON為直角三角形． 圖4 圖5 【總結與反思】1．第（1）題說明△ABC是等腰三角形，暗示了兩個動點M、N同時出發(fā)，同時到達終點． 2．不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含t的式子表示OM要分類討論． 3．將S＝4代入對應的函數(shù)解析式，解關于t的方程． 4．分類討論△MON為直角三角形，不存在∠ONM＝90的可能． 例3【規(guī)范解答】（1）將A、C兩點坐標代入拋物線 c＝8，， 解得 b＝， c＝8 ，∴拋物線的解析式為 （2）①∵OA=8，OC=6∴過點Q作QE⊥BC與E點，則 ∴∴∴ ∴當m=5時，S取最大值； ②在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，∵拋物線的解析式為的對稱軸為， D的坐標為（3，8），Q（3，4）， 當∠FDQ=90時，F(xiàn)1（ ，8），當∠FQD=90時，則F2（ ，4）， 當∠DFQ=90時，設F（，n），則FD2+FQ2=DQ2，即，解得：， ∴F3（ ，），F(xiàn)4（，）， 滿足條件的點F共有四個，坐標分別為 F1（ ，8），F(xiàn)2（，4），F(xiàn)3（，），F(xiàn)4（，）． 【總結與反思】 1. 將A、C兩點坐標代入拋物線即可求得拋物線的解析式； 2. ①先用m 表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關于m的函數(shù)，化簡為頂點式，便可求出S的最大值； ②直接寫出滿足條件的F點的坐標即可，注意不要漏寫． 例4【規(guī)范解答】解：（1）由A（4，0），可知OA=4，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1， ∴C（0，4），B（﹣1，0）．設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，則，解得：， 則拋物線的解析式是：y=﹣x2+3x+4； （2）存在．第一種情況，當以C為直角頂點時，過點C作CP1⊥AC，交拋物線于點P1．過點P1作y軸的垂線，垂足是M．∵∠ACP1=90，∴∠MCP1+∠ACO=90．∵∠ACO+∠OAC=90，∴∠MCP1=∠OAC． ∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1， 設P（m，﹣m2+3m+4），則m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：m1=0（舍去），m2=2． ∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）． 第二種情況，當點A為直角頂點時，過A作AP2，AC交拋物線于點P2，過點P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F．∴P2N∥x軸，由∠CAO=45，∴∠OAP=45，∴∠FP2N=45，AO=OF．∴P2N=NF， 設P2（n，﹣n2+3n+4），則n=（﹣n2+3n+4）﹣1，解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），∴﹣n2+3n+4=﹣6， 則P2的坐標是（﹣2，﹣6）． 綜上所述，P的坐標是（2，6）或（﹣2，﹣6）； （3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．根據(jù)垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，則AC==4，根據(jù)等腰三角形的性質，D是AC的中點．又∵DF∥OC，∴DF=OC=2，∴點P的縱坐標是2．則﹣x2+3x+1=2，解得：x=， ∴當EF最短時，點P的坐標是：（，0）或（，0）． 【總結與反思】 （1）根據(jù)A的坐標，即可求得OA的長，則B、C的坐標即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式； （2）分點A為直角頂點時，和C的直角頂點兩種情況討論，根據(jù)OA=OC，即可列方程求解； （3）據(jù)垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短，根據(jù)等腰三角形的性質，D是AC的中點，則DF=OC，即可求得P的縱坐標，代入二次函數(shù)的解析式，即可求得橫坐標，得到P的坐標．