高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教師用書(shū) 理
《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教師用書(shū) 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教師用書(shū) 理(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.了解平面向量的基本定理及其意義; 2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示; 3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算; 4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。 2015,北京卷,13,5分(平面向量基本定理) 2015,江蘇卷,6,5分(平面向量坐標(biāo)運(yùn)算) 2013,北京卷,13,5分(平面向量基本定理) 1.以考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算為主,平面向量基本定理的應(yīng)用也是考查的熱點(diǎn); 2.題型以選擇題、填空題為主,要求相對(duì)較低,主要與平面向量的數(shù)量積結(jié)合考查。
2、 微知識(shí) 小題練 自|主|排|查 1.平面向量基本定理 (1)基底:不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。 (2)定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2。 2.平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a=x i+yj,由于a與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的,把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中a在x軸上的坐標(biāo)是x,a在y軸上的坐標(biāo)是y。 3.平面向量
3、的坐標(biāo)運(yùn)算 向量的加法、減法 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2) 向量的 數(shù)乘 設(shè)a=(x,y),λ∈R,則λa=(λx,λy) 向量坐標(biāo)的求法 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1) 4.向量共線的坐標(biāo)表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0。 微點(diǎn)提醒 1.能作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的。 2.向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)不同,向量平移后,其起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)都變了,但由于向量的坐標(biāo)均為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),故平移后坐標(biāo)
4、不變。 3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成=,因?yàn)閤2,y2有可能等于0,應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0。 小|題|快|練 一 、走進(jìn)教材 1.(必修4P99例8改編)設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn),若P1(1,3),P2(4,0)且P是P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ) A.(2,2) B.(3,-1) C.(2,2)或(3,-1) D.(2,2)或(3,1) 【解析】 由題意得=或=,=(3,-3)。 設(shè)P(x,y),則=(x-1,y-3), 當(dāng)=時(shí),(x-1,y-3)=(3,-3), 所以x=2,y=2時(shí),即P(
5、2,2)。 當(dāng)=時(shí),(x-1,y-3)=(3,-3), 所以x=3,y=1,即P(3,1)。故選D。 【答案】 D 2.(必修4P108A組T7改編)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與a-2b共線,則=( ) A.- B. C.-2 D.2 【解析】 由向量a=(2,3),b=(-1,2),得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1)。由ma+nb與a-2b共線,得=,所以=-。故選A。 【答案】 A 二、雙基查驗(yàn) 1.若向量=(1,2),=(3,4),則=( ) A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-
6、2) D.(2,2) 【解析】 ∵=+, ∴=(1,2)+(3,4)=(4,6)。故選A。 【答案】 A 2.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,則a+b等于( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1) 【解析】 由a∥b可得2(-2)-1x=0, 故x=-4,所以a+b=(-2,-1)。故選A。 【答案】 A 3.已知兩點(diǎn)A(4,1),B(7,-3),則與同向的單位向量是( ) A. B. C. D. 【解析】 ∵A(4,1),B(7,-3),∴=(3,-4)。 ∴與同向的單位向量為=。故選
7、A。 【答案】 A 4.梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分別是CD,AB的中點(diǎn),設(shè)=a,=b。若=ma+nb,則=________。 【解析】 ∵=++=-a-b+a=a-b, ∴m=,n=-1?!啵剑?。 【答案】 -4 5.在?ABCD中,AC為一條對(duì)角線,=(2,4),=(1,3),則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______。 【解析】 設(shè)=(x,y),因?yàn)椋剑? 所以(1,3)=(2,4)+(x,y), 所以即所以=(-1,-1), 所以=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5)。 【答案】 (-3,-5) 微考點(diǎn) 大課堂 考點(diǎn)一 平
8、面向量基本定理及其應(yīng)用…………母題發(fā)散 【典例1】 (1)如果e1,e2是平面內(nèi)一組不共線的向量,那么下列四組向量中,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是( ) A.e1與e1+e2 B.e1-2e2與e1+2e2 C.e1+e2與e1-e2 D.e1-2e2與-e1+2e2 (2)(2017福州模擬)在△ABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且=+,Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP的交點(diǎn)為M,又=t,則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______。 【解析】 (1)選項(xiàng)A中,設(shè)e1+e2=λe1,則無(wú)解; 選項(xiàng)B中,設(shè)e1-2e2=λ(e1+2e2),則無(wú)解; 選項(xiàng)C中,設(shè)e1+e2=λ(e1-e2),
9、則無(wú)解; 選項(xiàng)D中,e1-2e2=-(-e1+2e2),所以兩向量是共線向量。故選D。 (2)因?yàn)椋剑? 所以3=2+, 即2-2=-, 所以2=。 即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn)), 又因?yàn)锳,M,Q三點(diǎn)共線,設(shè)=λ。 所以=-=λ-= λ-=+, 又=t=t(-)= t=-t。 故解得故t的值是。 【答案】 (1)D (2) 【母題變式】 在本典例(2)中,試問(wèn)點(diǎn)M在AQ的什么位置? 【解析】 由(2)的解析=+及λ=,=2知,=λ(-)+ =+(1-λ) =λ+(1-λ)=。 因此點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn)。 【答案】 點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn) 反思?xì)w納 應(yīng)用平
10、面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算,基本方法有兩種: (1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)所求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn),直至用基底表示為止; (2)將向量用含參數(shù)的基底表示,然后列方程或方程組,利用基底表示向量的唯一性求解。 考點(diǎn)二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【典例2】 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)。設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-2b。 (1)求3a+b-3c; (2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n; (3)求M,N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。 【解析】 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=
11、(1,8)。 (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42)。 (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), ∴解得 (3)∵=-=3c, ∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20)。 ∴M(0,20)。 又∵=-=-2b, ∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2)。 ∴N(9,2)。∴=(9,-18)。 【答案】 (1)(6,-42) (2)m=-1,n=-1 (3)M(0,20) N(9,2)?。?9,-18) 反思?xì)w納 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)
12、算法則進(jìn)行。若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則。 【變式訓(xùn)練】 (1)在平行四邊形ABCD中,AC為一條對(duì)角線,若=(2,4),=(1,3),則=________。 (2)設(shè)向量a,b滿足|a|=2,b=(2,1),且a與b的方向相反,則a的坐標(biāo)為_(kāi)_______。 【解析】 (1)==-=(-1,-1),=+=(-2,-4)+(-1,-1)=(-3,-5)。 (2)設(shè)a=(x,y),x<0,y<0,則x-2y=0且x2+y2=20,解得x=4,y=2(舍去),或者x=-4,y=-2,即a=(-4,-2)。 【答案】 (
13、1)(-3,-5) (2)(-4,-2) 考點(diǎn)三 向量共線的坐標(biāo)表示…………多維探究 角度一:利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)值 【典例3】 設(shè)0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,則tanθ=________。 【解析】 由a∥b得sin2θ-cos2θ=0,即2sinθcosθ=cos2θ,又0<θ<,cosθ≠0,所以2sinθ=cosθ可得tanθ=。 【答案】 角度二:利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo) 【典例4】 (1)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2),B(2,1),C(4,2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)
14、為_(kāi)_______。 (2)已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______。 【解析】 (1)∵在梯形ABCD中,AB∥CD,DC=2AB, ∴=2。 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y), 則=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), =(2,1)-(1,2)=(1,-1), ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2), ∴解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)。 (2)解法一:由O,P,B三點(diǎn)共線,可設(shè)=λ=(4λ,4λ),則=-=(4λ-4,4λ)。 又=-=(-2,6),由與共線,得(4λ-4)6-4λ(-2
15、)=0,解得λ=,所以==(3,3),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)。 解法二:設(shè)點(diǎn)P(x,y),則=(x,y),因?yàn)椋?4,4),且與共線,所以=,即x=y(tǒng)。 又=(x-4,y),=(-2,6),且與共線, 所以(x-4)6-y(-2)=0,解得x=y(tǒng)=3, 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)。 【答案】 (1)(2,4) (2)(3,3) 反思?xì)w納 平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)利用兩向量共線求參數(shù)。如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時(shí),利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便。 (2)利用兩向量共線
16、的條件求向量坐標(biāo)。一般地,在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí),可設(shè)所求向量為λa(λ∈R),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量。 (3)三點(diǎn)共線問(wèn)題。A,B,C三點(diǎn)共線等價(jià)于與共線。 【變式訓(xùn)練】 (1)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b與a-2b共線,則m的值為_(kāi)_______。 (2)設(shè)=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A,B,C三點(diǎn)共線,則+的最小值為_(kāi)_______。 【解析】 (1)ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1), 由于ma+4b與a-2b共線,
17、 ∴-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2。 (2)由題意得=(-a+2,-2),=(b+2,-4),又∥,所以(-a+2,-2)=λ(b+2,-4), 即整理得2a+b=2, 所以+=(2a+b)=≥=(當(dāng)且僅當(dāng)b=a時(shí),等號(hào)成立)。 【答案】 (1)-2 (2) 微考場(chǎng) 新提升 1.在平行四邊形ABCD中,E為DC邊的中點(diǎn),且=a,=b,則=( ) A.b-a B.b+a C.a(chǎn)+b D.a(chǎn)-b 解析?。剑剑璦+b+a=b-a。故選A。 答案 A 2.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于( ) A.-a+
18、b B.a-b C.-a-b D.-a+b 解析 設(shè)c=λa+μb,∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1), ∴∴ ∴c=a-b。故選B。 答案 B 3.設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形,則向量d=( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 解析 設(shè)d=(x,y),由題意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),又4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-
19、6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6)。故選D。 答案 D 4.P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是兩個(gè)向量集合,則P∩Q等于________。 解析 P中,a=(-1+m,1+2m), Q中,b=(1+2n,-2+3n)。 則得 此時(shí)a=b=(-13,-23)。 答案 {(-13,-23)} 5.若三點(diǎn)A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共線,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______。 解析?。?a-1,3),=(-3,4), 據(jù)題意知∥,∴4(
20、a-1)=3(-3),即4a=-5, ∴a=-。 答案?。? 微專題 巧突破 向量問(wèn)題坐標(biāo)化 向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征,比如向量運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則、平面向量基本定理等都可以認(rèn)為是從幾何的角度來(lái)研究向量的特征;而引入坐標(biāo)后,就可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)研究向量,凸顯出了向量的代數(shù)特征,為用代數(shù)的方法研究向量問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。在處理很多與向量有關(guān)的問(wèn)題時(shí),坐標(biāo)化是一種常見(jiàn)的思路,利用坐標(biāo)可以使許多問(wèn)題的解決變得更加簡(jiǎn)捷。 【典例】 (2016四川高考)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P,M滿足||=1,=,則||2的最大值是( ) A.
21、 B. C. D. 【解析】 建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,則B(-,0),C(,0),A(0,3),則點(diǎn)P的軌跡方程為x2+(y-3)2=1。設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則x=2x0-,y=2y0, 代入圓的方程得2+2=,所以點(diǎn)M的軌跡方程為2+2=,它表示以為圓心,以為半徑的圓,所以||max=+=,所以||2max=。故選B。 【答案】 B 【變式訓(xùn)練】 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和,它們的夾角為。如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)。若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值。 【解析】 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、所在的直線
22、為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(1,0),B。 設(shè)∠AOC=α,則C(cosα,sinα)。 由=x+y, 得 所以x=cosα+sinα,y=sinα,所以x+y=cosα+sinα=2sin,又α∈,所以當(dāng)α=時(shí),x+y取得最大值2。 【答案】 2 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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