《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第四節(jié) 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入教師用書 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第四節(jié) 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入教師用書 理(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第四節(jié) 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入
☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆
考綱要求
真題舉例
命題角度
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念;
2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件;
3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義;
4.會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算;
5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義。
2016,全國卷Ⅰ,2,5分(復(fù)數(shù)的四則運算)
2016,全國卷Ⅱ,1,5分(復(fù)數(shù)的幾何意義)
2016,全國卷Ⅲ,2,5分(復(fù)數(shù)的四則運算)
2015,全國卷Ⅰ,1,5分(復(fù)數(shù)的乘除,模)
2015,全國卷Ⅱ,2,5分(復(fù)數(shù)的乘法,相等)
每年平均有一個小題,難度較低,重點考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形
2、式的四則運算(特別是乘、除法),也涉及復(fù)數(shù)的概念及幾何意義等知識。
微知識 小題練
自|主|排|查
1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的概念:
形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的實部和虛部。若b=0,則a+bi為實數(shù);若b≠0,則a+bi為虛數(shù);若a=0,且b≠0,則a+bi為純虛數(shù)。
(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
(3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R)。
(4)復(fù)平面:建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面,叫做復(fù)平面。x軸叫做實軸,y軸除去原點叫做虛軸。實軸上的點都表
3、示實數(shù);除原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù);各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù)。
(5)復(fù)數(shù)的模:向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=。
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)z=a+bi 復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)(a,b∈R)。
(2)復(fù)數(shù)z=a+bi 平面向量(a,b∈R)。
3.復(fù)數(shù)的運算
(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則
設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)則:
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
②減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-
4、d)i;
③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
④除法:==(c+di≠0)。
(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律
復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
微點提醒
1.i的乘方具有周期性
in=(k∈Z)。
2.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系:
z=|z|2=||2。
3.兩個注意點:
(1)兩個虛數(shù)不能比較大小。
(2)利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時,注意a,b,c,d∈R的前提條件。
小|題|快|練
一 、走進教材
1.(選修2-
5、2P106A組T2改編)若復(fù)數(shù)(a2-3a+2)+(a-1)i是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為( )
A.1 B.2
C.1或2 D.-1
【解析】 依題意,有解得a=2。故選B。
【答案】 B
2.(選修2-2P112A組T5(3)改編)復(fù)數(shù)2的共軛復(fù)數(shù)是( )
A.2-i B.2+i
C.3-4i D.3+4i
【解析】 2=2=(2+i)2=3+4i所以其共軛復(fù)數(shù)是3-4i。故選C。
【答案】 C
二、雙基查驗
1.(2016全國卷Ⅱ)已知z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-3,1)
6、 B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
【解析】 由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(m+3,m-1),所以解得-3
7、=1,b=-1
【解析】 由(a+i)i=b+i,得-1+ai=b+i,根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得a=1,b=-1。故選D。
【答案】 D
4.若復(fù)數(shù)z滿足=2i,則z對應(yīng)的點位于第______象限。
【解析】 z=2i(1+i)=-2+2i,因此z對應(yīng)的點為(-2,2),在第二象限內(nèi)。
【答案】 二
5.若復(fù)數(shù)z滿足z+i=,則|z|=________。
【解析】 因為z=-i=1-3i-i=1-4i,則|z|=。
【答案】
微考點 大課堂
考點一
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
【典例1】 (1)設(shè)x∈R,則“x=1”是“復(fù)數(shù)z=(x2-1)+(x+1)i為純虛數(shù)”的(
8、 )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
(2)若a+bi=(i是虛數(shù)單位,a,b∈R),則ab=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
(3)設(shè)復(fù)數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為,則|(1-z)|=( )
A. B.2
C. D.1
【解析】 (1)由純虛數(shù)的定義知:
?x=1,故選C。
(2)a+bi==1-2i,所以a=1,b=-2,ab=-2。
故選A。
(3)依題意得(1-z)=(2+i)(-1+i)=-3+i,則|(1-z)|=|-3+i|==。故選
9、A。
【答案】 (1)C (2)A (3)A
反思?xì)w納 1.復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可。
2.解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實部和虛部。
【變式訓(xùn)練】 (1)設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a-(a∈R)是純虛數(shù),則a的值為( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
(2)若復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位),是z的共軛復(fù)數(shù),則z2+2的虛部為( )
A.0 B.-1
C.1 D.-2
【解析】 (1)∵a-=a-=
10、(a-3)-i為純虛數(shù),∴a-3=0,即a=3。故選D。
(2)∵z2+2=(1+i)2+(1-i)2=0,∴z2+2的虛部為0。故選A。
【答案】 (1)D (2)A
考點二
復(fù)數(shù)的幾何意義
【典例2】 (1)(2016太原模擬)復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2015陜西高考)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為( )
A.+ B.+
C.- D.-
【解析】 (1)因為z=====+i,所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象
11、限。故選A。
(2)由|z|≤1知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點構(gòu)成的區(qū)域是以(1,0)為圓心,以1為半徑的圓及其內(nèi)部,右圖中陰影部分表示在圓內(nèi)(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域,該區(qū)域的面積為π-11=π-,故滿足y≥x的概率為=-。故選D。
【答案】 (1)A (2)D
反思?xì)w納 1.復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量一一對應(yīng),即z=a+bi,(a,b∈R)?Z(a,b)?。
2.由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解決更加直觀。
【變式訓(xùn)練】 (1)如圖,若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則z+表示的復(fù)數(shù)為( )
12、
A.1+3i B.-3-i
C.3-i D.3+i
(2)已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R,x≠0)且|z-2|=,則的取值范圍為________。
【解析】 (1)由圖可得Z(1,-1),即z=1-i,所以z+=1-i+=1-i+=1-i+=1-i+2+2i=3+i。故選D。
(2)因為|z-2|=|x-2+yi|,|z-2|=,
所以(x-2)2+y2=3。
設(shè)=k,則y=kx。聯(lián)立
化簡為(1+k2)x2-4x+1=0。
因為直線y=kx與圓有公共點,所以Δ=16-4(1+k2)≥0,解得-≤k≤,所以的取值范圍為[-,]。
【答案】 (1)D
13、(2)[-,]
考點三
復(fù)數(shù)的運算
【典例3】 (1)(2016全國卷Ⅲ)若z=4+3i,則=( )
A.1 B.-1
C.+i D.-i
(2)(2016全國卷Ⅲ)若z=1+2i,則=( )
A.1 B.-1
C.i D.-i
(3)(2016全國卷Ⅰ)設(shè)(1+i)x=1+yi,其中x,y是實數(shù),則|x+yi|=( )
A.1 B.
C. D.2
【解析】 (1)==-i。故選D。
(2)==i。
(3)因為(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y(tǒng)=1,
|x+yi|=|1+i|==,故選B。
【答案】 (1)D (
14、2)C (3)B
反思?xì)w納 (1)復(fù)數(shù)的乘法。復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可。
(2)復(fù)數(shù)的除法。除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式。
(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)。a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R)。
【變式訓(xùn)練】 (1)=( )
A.1+i B.-1+i
C.1-i D.-1-i
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z-2i)(2-i)=5,則z=( )
A.2+3i B.2-3i
C.3+2i D.3-2i
【解析】 (1)===
15、-1-i,故選D。
(2)z=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i。
故選A。
【答案】 (1)D (2)A
微考場 新提升
1.(2016山東高考)若復(fù)數(shù)z=,其中i為虛數(shù)單位,則=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
解析 易知z=1+i,所以=1-i。故選B。
答案 B
2.(2016全國卷Ⅱ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則=( )
A.-1+2i B.1-2i
C.3+2i D.3-2i
解析 易知z=3-2i,所以=3+2i。故選C。
答案 C
3.設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是( )
A.
16、若|z1-z2|=0,則1=2
B.若z1=2,則1=z2
C.若|z1|=|z2|,則z11=z22
D.若|z1|=|z2|,則z=z
解析 對于A,|z1-z2|=0?z1=z2?1=2,是真命題;對于B,C易判斷是真命題;對于D,若z1=2,z2=1+i,則|z1|=|z2|,但z=4,z=-2+2i,是假命題。故選D。
答案 D
4.(2017浙江模擬)已知i是虛數(shù)單位,若=b+i(a,b∈R),則ab的值為________。
解析 由=b+i,得==3-ai=b+i,所以b=3,a=-1,則ab=-3。
答案?。?
5.已知a∈R,若為實數(shù),則a=________。
解析?。剑剑剑玦,
∵為實數(shù),∴=0,∴a=-。
答案?。?
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375