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1、
課時分層作業(yè)(十八) 平面向量基本定理
(建議用時:40分鐘)
[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練]
一、選擇題
1.若e1,e2是平面內(nèi)的一組基底,則下列四組向量能作為平面向量的基底的是( )
A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-e2
C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2
D [e1+e2與e1-e2不共線,可以作為平面向量的基底,另外三組向量都共線,不能作為基底.]
2.已知向量a與b的夾角為,則向量2a與-3b的夾角為( )
【導(dǎo)學(xué)號:84352214】
A. B.
C.π D.π
C [向量2a與-3b的夾角與向量
2、a與b的夾角互補,其大小為π-=.]
3.如圖238,向量a-b等于( )
圖238
A.-4e1-2e2
B.-2e1-4e2
C.e1-3e2
D.3e1-e2
C [不妨令a=,b=,
則a-b=-=,
由平行四邊形法則可知
=e1-3e2.]
4.銳角三角形ABC中,關(guān)于向量夾角的說法正確的是( )
【導(dǎo)學(xué)號:84352215】
A.與的夾角是銳角
B.與的夾角是銳角
C.與的夾角是鈍角
D.與的夾角是銳角
B [因為△ABC是銳角三角形,所以∠A,∠B,∠C都是銳角.由兩個向量夾角的定義知:與的夾角等于180-∠B,是鈍角;與的夾角是∠A,
3、是銳角;與的夾角等于∠C,是銳角;與的夾角等于180-∠C,是鈍角,所以選項B說法正確.]
5.在△ABC中,點P是AB上一點,且=+,又=t,則t的值為( )
A. B.
C. D.
A [因為=t,所以-=t(-),
=(1-t)+t.
又=+且與不共線,
所以t=.]
二、填空題
6.如圖239,在平行四邊形ABCD中,點O為AC的中點,點N為OB的中點,設(shè)=a,=b,若用a,b表示向量,則=________.
圖239
a+b [以=a,=b作為以A點為公共起點的一組基底,則=+
=+=+(-)
=+=a+b.]
7.若
4、向量a=4e1+2e2與b=ke1+e2共線,其中e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,則k的值為________.
【導(dǎo)學(xué)號:84352216】
2 [∵向量a與b共線,
∴存在實數(shù)λ,使得b=λa,
即ke1+e2=λ(4e1+2e2)=4λe1+2λe2.
∵e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,
∴∴k=2.]
8.設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2為實數(shù)),則λ1+λ2的值為________.
[如圖,由題意知,D為AB的中點,
=,
所以=+
=+
=+(-)=-+,
所以λ1=-,λ
5、2=,
所以λ1+λ2=-+=.]
三、解答題
9.如圖2310,平行四邊形ABCD中,=a,=b,H,M分別是AD,DC的中點,BF=BC,以a,b為基底表示向量與.
【導(dǎo)學(xué)號:84352217】
圖2310
[解] 在平行四邊形ABCD中,=a,=b,H,M分別是AD,DC的中點,BF=BC,
∴=+=+=+=b+a,
=-=+-=a+b-b=a-b.
10.如圖2311,在矩形OACB中,E和F分別是邊AC和BC上的點,滿足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.
圖2311
[解] 在矩形OACB中,=+,
又=λ+μ
6、=λ(+)+μ(+)
=λ+μ
=+,
所以=1,=1,
所以λ=μ=.
[沖A挑戰(zhàn)練]
1.如圖2312所示,兩射線OA與OB交于O,則下列選項中哪些向量的終點落在陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)( )
圖2312
①+2;②+;
③+;④+.
A.①② B.①②④
C.①②③ D.③④
A [①向量+2的終點顯然在陰影區(qū)域內(nèi);
②如圖所示=,
=,
四邊形OCMD為平行四邊形,
+=,
由三角形相似易得DE=OB<DM=,
故M在陰影區(qū)域內(nèi).
同理分析③④中向量的終點不在陰影區(qū)域內(nèi).]
2.已知O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點
7、P滿足=+λ(λ∈[0,+∞)),則點P的軌跡一定通過△ABC的
( )
A.外心 B.內(nèi)心
C.重心 D.垂心
B [為上的單位向量,
為上的單位向量,則+的方向為∠BAC的角平分線的方向.又λ∈[0,+∞),
∴λ的方向與+的方向相同.
而=+λ,
∴點P在上移動,
∴點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.]
3.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基底a,b的線性組合,即e1+e2=________.
【導(dǎo)學(xué)號:84352218】
a-b [因為a=e1+2e2①,b=-e1+e2②,
顯然a與
8、b不共線,①+②得a+b=3e2,
所以e2=代入②得
e1=e2-b=-b=a-b,
故有e1+e2=a-b+a+b=a-b.]
4.如圖2313,在平面內(nèi)有三個向量,,,||=||=1,與的夾角為120,與的夾角為30,||=5,設(shè)=m+n(m,n∈R),則m+n=________.
圖2313
15 [作以O(shè)C為一條對角線的平行四邊形OPCQ,如圖,
則∠COQ=∠OCP=90,在Rt△QOC中,2OQ=QC,||=5.
則||=5,||=10,所以||=10,又||=||=1,所以=10,=5,所以=+=10+5,所以m+n=10+5=15.]
5.設(shè)e1,e2是
9、不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)證明:a,b可以作為一組基底;
(2)以a,b為基底,求向量c=3e1-e2的分解式;
(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
【導(dǎo)學(xué)號:84352219】
[解] (1)證明:若a,b共線,則存在λ∈R,使a=λb,則e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共線,得?所以λ不存在,故a與b不共線,可以作為一組基底.
(2)設(shè)c=ma+nb(m,n∈R),
則3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,
所以?
所以c=2a+b.
(3)由4e1-3e2=λa+μb,
得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)
=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2,
所以?
故所求λ,μ的值分別為3和1.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375