《高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第2課時(shí) 兩角和與差的正切公式學(xué)案 新人教A版必修4》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第2課時(shí) 兩角和與差的正切公式學(xué)案 新人教A版必修4(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第2課時(shí) 兩角和與差的正切公式
學(xué)習(xí)目標(biāo):1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明.(重點(diǎn))3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形,并能靈活應(yīng)用.(難點(diǎn))
[自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知]
兩角和與差的正切公式
名稱
簡(jiǎn)記符號(hào)
公式
使用條件
兩角和
的正切
T(α+β)
tan(α+β)=
α,β,α+β≠kπ+(k∈Z) 且tan αtan β≠1
兩角差
的正切
T(α-β)
tan(α-β)=
α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan αtan β≠-1
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1.思
2、考辨析
(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.( )
(2)對(duì)任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立.( )
(3)tan(α+β)=等價(jià)于tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β).( )
[解析] (1)√.當(dāng)α=0,β=時(shí),tan(α+β)=tan=tan 0+tan ,但一般情況下不成立.
(2).兩角和的正切公式的適用范圍是α,β,α+β≠kπ+(k∈Z).
(3)√.當(dāng)α≠kπ+(k∈Z),β≠kπ+(k∈Z),α+β≠kπ+(k∈Z)時(shí),由前一個(gè)式子兩邊同乘以1-tan αtan β可得后一個(gè)式子.
3、[答案] (1)√ (2) (3)√
2.已知tan α=2,則tan=________.
-3 [tan===-3.]
3.=________.
[原式=tan(75-15)=tan 60=.]
[合 作 探 究攻 重 難]
兩角和與差的正切公式的正用
(1)已知α,β均為銳角,tan α=,tan β=,則α+β=________.
(2)如圖312,在△ABC中,AD⊥BC,D為垂足,AD在△ABC的外部,且BD∶CD∶AD=2∶3∶6,則tan∠BAC=________.
圖312
[思路探究] (1)先用公式T(α+β)求tan(α+β),再求α+β.
4、
(2)先求∠CAD,∠BAD的正切值,再依據(jù)tan∠BAC=tan(∠CAD-∠BAD)求值.
(1) (2) [(1)∵tan α=,tan β=,
∴tan(α+β)=
==1.
∵α,β均為銳角,
∴α+β∈(0,π),
∴α+β=.
(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD=2∶3∶6,
∴tan∠BAD==,
tan∠CAD==,
tan∠BAC=tan(∠CAD-∠BAD)
=
=
=.]
[規(guī)律方法] 1.公式T(αβ)的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律:
(1)結(jié)構(gòu)特征:公式T(αβ)的右側(cè)為分式形式,其中分子為tan α與tan β的和或差,分母為1與tan
5、αtan β的差或和.
(2)符號(hào)規(guī)律:分子同,分母反.
2.利用公式T(α+β)求角的步驟:
(1)計(jì)算待求角的正切值.
(2)縮小待求角的范圍,特別注意隱含的信息.
(3)根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角.
[跟蹤訓(xùn)練]
1.(1)(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知tanα-=,則tan α=________.
(2)已知角α,β均為銳角,且cos α=,tan(α-β)=-,則tan β=________.
(1) (2)3 [(1)因?yàn)閠anα-=,
所以tan α=tanα-+
===.
(2)因?yàn)閏os α=,α為銳角,所以sin α=,tan α=,
所以tan β
6、=tan[α-(α-β)]===3.]
兩角和與差的正切公式的逆用
(1)=________.
(2)=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):84352318】
[思路探究] 注意特殊角的正切值和公式T(αβ)的結(jié)構(gòu),適當(dāng)變形后逆用公式求值.
(1) (2)-1 [(1)原式=
=tan(45+15)
=tan 60=.
(2)原式=
=
=tan(30-75)=-tan 45=-1.]
[規(guī)律方法] 公式T(αβ)的逆用
一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu),另一方面要注意常值代換.
如tan=1,tan=,tan=等.
要特別注意tan=,tan=.
[跟蹤訓(xùn)練]
2.已知
7、α、β均為銳角,且sin 2α=2sin 2β,則( )
A.tan(α+β)=3tan(α-β)
B.tan(α+β)=2tan(α-β)
C.3tan(α+β)=tan(α-β)
D.3tan(α+β)=2tan(α-β)
A [∵sin 2α=2sin 2β,
∴sin[(α+β)+(α-β)]=2sin[(α+β)-(α-β)],
∴sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)
=2sin(α+β)cos(α-β)-2cos(α+β)sin(α-β),
∴sin(α+β)cos(α-β)=3cos(α+β)sin(α-β),
兩邊同除以cos
8、(α-β)cos(α+β)得
tan(α+β)=3tan(α-β).]
兩角和與差的正切公式的變形運(yùn)用
[探究問題]
1.兩角和與差的正切公式揭示了tan αtan β與哪些式子的關(guān)系?
提示:揭示了tan αtan β與tan α+tan β,tan αtan β與tan α-tan β之間的關(guān)系.
2.若tan α、tan β是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的兩個(gè)根,則如何用a、b、c表示tan(α+β)?
提示:tan(α+β)===-.
(1)tan 67-tan 22-tan 67tan 22=________.
(2)已知△AB
9、C中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B=tan Atan B-1,試判斷△ABC的形狀.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):84352319】
[思路探究] (1)看到tan 67-tan 22與tan 67tan 22想到將tan(67-22)展開變形,尋找解題思路.
(2)先由關(guān)于角A,B的等式求出tan(A+B)得角A+B,然后求角C并代入關(guān)于角B,C的等式求角B,最后求角A,判斷△ABC的形狀.
(1)1 [∵tan 67-tan 22
=tan(67-22)(1+tan 67tan 22)
=tan 45(1+tan 67tan 22)
=1+tan 6
10、7tan 22,
∴tan 67-tan 22-tan 67tan 22
=1+tan 67tan 22-tan 67tan 22=1.]
(2)解:∵tan A+tan B
=tan Atan B-1,
∴(tan A+tan B)=tan Atan B-1,
∴=-,
∴tan(A+B)=-.
又0<A+B<π,∴A+B=,
∴C=.
∵tan B+tan C+tan Btan C=,
tan C=,
∴tan B++tan B=,tan B=,
∴B=,∴A=,
∴△ABC為等腰鈍角三角形.
母題探究:1.將例3(1)中的角同時(shí)增加1結(jié)果又如何?
[解]
11、∵tan 45=tan(68-23)=,
∴1+tan 68tan 23=tan 68-tan 23,
即tan 68-tan 23-tan 68tan 23=1.
2.能否為例3(1)和探究1歸納出一個(gè)一般結(jié)論?若能,試證明.
[解] 一般結(jié)論:若α-β=45(α,β≠k180+90,k∈Z),則tan α-tan β-tan αtan β=1.
證明:∵tan 45=tan(α-β)=,
∴1+tan αtan β=tan α-tan β,
即tan α-tan β-tan αtan β=1.
[規(guī)律方法] 1.整體意識(shí):若化簡(jiǎn)的式子中出現(xiàn)了“tan αtan β”及“ta
12、n αtan β”兩個(gè)整體,??紤]tan(αβ)的變形公式.
2.熟知變形:兩角和的正切公式的常見四種變形:
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
(2)1-tan αtan β=;
(3)tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β);
(4)tan αtan β=1-.
提醒:當(dāng)一個(gè)式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時(shí),??紤]使用兩角和或差的正切公式.
[當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基]
1.若tan β=3,tan(α-β)=-2,則tan α=( )
A. B.-
C.1 D.-1
13、
A [tan α=tan[(α-β)+β]===.]
2.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,則tan αtan β等于( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):84352320】
A.2 B.1
C. D.4
C [∵tan(α+β)==4,且tan α+tan β=2,
∴=4,解得tan αtan β=.]
3.求值:tan=________.
-2+ [tan=-tan=-tan
=-=-
=-2+.]
4.若tan=3,則tan α的值為________.
[tan α=tan
==
===.]
5.已知cos α=,cos β=,
14、其中α,β都是銳角,求tan(α+β)的值.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):84352321】
[解] 因?yàn)棣?,β都是銳角,所以sin α==,sin β==,
tan α==2,tan β==,
所以tan(α+β)==-2.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375