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高中數(shù)學(xué) 第二章 參數(shù)方程 四 漸開線與擺線高效演練 新人教A版選修44

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1、我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 進(jìn) 入 新 常 態(tài) , 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 方 式 , 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 , 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟(jì) 結(jié) 構(gòu) , 實(shí) 現(xiàn) 經(jīng) 濟(jì) 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進(jìn) 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 , 推 進(jìn) 新 型 城 鎮(zhèn) 化 , 推 動(dòng) 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 : 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實(shí) 挑 戰(zhàn) 。 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 進(jìn) 入 新 常 態(tài) , 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 方 式 , 改 變 粗 放 式 增

2、長 模 式 , 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟(jì) 結(jié) 構(gòu) , 實(shí) 現(xiàn) 經(jīng) 濟(jì) 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進(jìn) 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 , 推 進(jìn) 新 型 城 鎮(zhèn) 化 , 推 動(dòng) 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 : 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實(shí) 挑 戰(zhàn) 。 四、漸開線與擺線四、漸開線與擺線 A 級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1關(guān)于漸開線和擺線的敘述,正確的是( ) A只有圓才有漸開線 B漸開線和擺線的定義是一樣的,只是繪圖的方法不一樣,所以才能得到不同的圖形 C正方形也可以有漸開線 D對(duì)于

3、同一個(gè)圓,如果建立的直角坐標(biāo)系的位置不同,那么畫出的漸開線形狀就不同 解析:本題容易錯(cuò)選 A.漸開線不是圓獨(dú)有的,其他圖形,例如橢圓、正方形也有漸開線和擺線的定義雖然在字面上有相似之處, 但是它們的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的, 因此得出的圖形也不相同對(duì)于同一個(gè)圓,不論在什么地方建立直角坐標(biāo)系,畫出的漸開線的大小和形狀都是一樣的,只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同 答案:C 2直徑為 12 的圓的擺線的參數(shù)方程是( ) A.x66sin ,y66cos (為參數(shù)) B.x6sin ,y6cos (為參數(shù)) C.x66cos ,y66sin (為參數(shù)) D.x6cos ,y6sin (為參數(shù))

4、解析:因?yàn)?2r12.所以r6.所以該圓的擺線的參數(shù)方程為x66sin ,y66cos (為參數(shù))故選 A. 答案:A 3下列各點(diǎn)中,在圓的擺線xsin ,y1cos (為參數(shù))上的是( ) A(,0) B(,1) C(2,2) D(2,0) 答案:B 4圓x3cos ,y3sin (為參數(shù))的平擺線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0,那么其橫坐標(biāo)可能是我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 進(jìn) 入 新 常 態(tài) , 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 方 式 , 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 , 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟(jì) 結(jié) 構(gòu) , 實(shí) 現(xiàn) 經(jīng) 濟(jì) 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進(jìn) 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 , 推 進(jìn) 新 型

5、 城 鎮(zhèn) 化 , 推 動(dòng) 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 : 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實(shí) 挑 戰(zhàn) 。 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 進(jìn) 入 新 常 態(tài) , 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 方 式 , 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 , 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟(jì) 結(jié) 構(gòu) , 實(shí) 現(xiàn) 經(jīng) 濟(jì) 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進(jìn) 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 , 推 進(jìn) 新 型 城 鎮(zhèn) 化 , 推 動(dòng) 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 : 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不

6、 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實(shí) 挑 戰(zhàn) 。 ( ) A B3 C6 D10 解析:根據(jù)條件可知圓的平擺線的參數(shù)方程為 x33sin ,y33cos (為參數(shù)),把y0 代入,得 cos 1,所以2k(kZ),故x33sin 6k(kZ) 答案:C 5已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為x3cos ,y3sin (為參數(shù)),那么圓的擺線方程中與參數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B32,2 之間的距離為( ) A.21 B. 2 C. 10 D. 321 解析:根據(jù)圓的參數(shù)方程可知,圓的半徑為 3,那么它的擺線的參數(shù)方程為x3(sin ),y3(1cos )(

7、為參數(shù)),把2代入?yún)?shù)方程中可得x321 ,y3, 即A321 ,3 , 所以|AB| 321 322(32)2 10. 答案:C 二、填空題 6已知一個(gè)圓的擺線的參數(shù)方程是x33sin ,y33cos (為參數(shù)),則該擺線一個(gè)拱的高度是_;一個(gè)拱的跨度為_ 解析:當(dāng)時(shí),y33cos 6 為拱高;當(dāng)2時(shí),x323sin 26為跨度 答案:6 6 7已知圓的漸開線的參數(shù)方程是xcos sin ,ysin cos (為參數(shù)),則此漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是_,當(dāng)參數(shù)4時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為_ 解析:圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定,從方程不難看出基圓的半徑為 1,故直徑為 2.把4代入曲線

8、的參數(shù)方程,得x2228,y2228,由此可得對(duì)我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 進(jìn) 入 新 常 態(tài) , 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 方 式 , 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 , 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟(jì) 結(jié) 構(gòu) , 實(shí) 現(xiàn) 經(jīng) 濟(jì) 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進(jìn) 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 進(jìn) 入 新 常 態(tài) , 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 方 式 , 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 , 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟(jì) 結(jié) 構(gòu) , 實(shí) 現(xiàn) 經(jīng) 濟(jì) 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進(jìn) 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 , 推 進(jìn) 新 型 城 鎮(zhèn) 化 , 推 動(dòng) 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化

9、因 : 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實(shí) 挑 戰(zhàn) 。 , 推 進(jìn) 新 型 城 鎮(zhèn) 化 , 推 動(dòng) 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 : 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實(shí) 挑 戰(zhàn) 。 應(yīng)的坐標(biāo)為2228,2228. 答案:2 2228,2228 8已知圓的方程為x2y24,點(diǎn)P為其漸開線上的一點(diǎn),對(duì)應(yīng)的參數(shù)2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_ 解析:由題意,圓的半徑r2,其漸開線的

10、參數(shù)方程為x2(cos sin ),y2(sin cos )(為參數(shù)) 當(dāng)2時(shí),x,y2,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,2) 答案:(,2) 三、解答題 9已知漸開線的參數(shù)方程是x2(cos sin ),y2(sin cos )(為參數(shù)),求當(dāng)參數(shù)為2和時(shí)對(duì)應(yīng)的漸開線上的兩點(diǎn)A、B之間的距離 解:當(dāng)2時(shí),x,y2,當(dāng)時(shí),x2,y2, 所以A(,2),B(2,2), 所以|AB| (2)2(22)2 5248. 10漸開線方程為x6(cos sin ),y6(sin cos )(為參數(shù))的基圓的圓心在原點(diǎn),把基圓的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍得到曲線C,求曲線C的方程,及焦點(diǎn)坐標(biāo) 解:由漸開線方程可知,基圓

11、的半徑為 6,則圓的方程為x2y236. 把橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍,得到橢圓方程x24y236,即x2144y2361, 對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6 3,0)和(6 3,0) B 級(jí) 能力提升 1.如圖,ABCD是邊長為 1 的正方形,曲線AEFGH叫作“正方形的漸開線”,其中AE、EF、FG、GH的圓心依次按B、C、D、A循環(huán),它們依次相連接,則曲線AEFGH長是( ) 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 進(jìn) 入 新 常 態(tài) , 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 方 式 , 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 , 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟(jì) 結(jié) 構(gòu) , 實(shí) 現(xiàn) 經(jīng) 濟(jì) 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進(jìn) 區(qū) 域 協(xié)

12、 調(diào) 發(fā) 展 , 推 進(jìn) 新 型 城 鎮(zhèn) 化 , 推 動(dòng) 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 : 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實(shí) 挑 戰(zhàn) 。 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 進(jìn) 入 新 常 態(tài) , 需 要 轉(zhuǎn) 變 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 方 式 , 改 變 粗 放 式 增 長 模 式 , 不 斷 優(yōu) 化 經(jīng) 濟(jì) 結(jié) 構(gòu) , 實(shí) 現(xiàn) 經(jīng) 濟(jì) 健 康 可 持 續(xù) 發(fā) 展 進(jìn) 區(qū) 域 協(xié) 調(diào) 發(fā) 展 , 推 進(jìn) 新 型 城 鎮(zhèn) 化 , 推 動(dòng) 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 一 體 化 因 : 我 國 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展

13、 還 面 臨 區(qū) 域 發(fā) 展 不 平 衡 、 城 鎮(zhèn) 化 水 平 不 高 、 城 鄉(xiāng) 發(fā) 展 不 平 衡 不 協(xié) 調(diào) 等 現(xiàn) 實(shí) 挑 戰(zhàn) 。 A3 B4 C5 D6 解析: 根據(jù)漸開線的定義可知,AE是半徑為 1 的14圓周長, 長度為2, 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得EF是半徑為 2 的14圓周長,長度為 ;FG是半徑為 3 的14圓周長,長度為32;GH是半徑為 4 的14圓周長,長度為 2.所以曲線AEFGH的長是 5. 答案:C 2擺線x4(tsin t),y4(1cos t)(t為參數(shù),0t2)與直線y4 的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_ 解析:由題設(shè)得 44(1cos t)得 cos t0. 因?yàn)閠0,2),所以t12,t232,代入?yún)?shù)方程得到對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(24,4),(64,4) 答案:(24,4),(64,4) 3已知圓C的參數(shù)方程x16cos ,y26sin (為參數(shù))和直線l的普通方程xy6 20. (1)如果把圓心平移到原點(diǎn)O,那么平移后圓和直線滿足什么關(guān)系? (2)根據(jù)(1)中的條件,寫出平移后的圓的擺線方程 解:(1)圓C平移后圓心為O(0,0),它到直線xy6 20 的距離d6 226,恰好等于圓的半徑,所以直線和圓是相切的 (2)由于圓的半徑是 6,所以可得擺線的方程是 x6(sin ),y6(1cos )(為參數(shù))

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