《2020版高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用章末復(fù)習(xí)學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用章末復(fù)習(xí)學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用章末復(fù)習(xí)
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題．
1．函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)
在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是增加的；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是減少的．
(2)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
①極大值：在點(diǎn)x＝a附近，滿足f(a)≥f(x)，當(dāng)x
0，當(dāng)x>a時(shí)，f′(x)<0，則點(diǎn)a叫作函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(a)叫作函數(shù)的極大值；
②極小值：在點(diǎn)x＝a附近，滿足f(a)≤f(x)，當(dāng)xa時(shí)，f′(x)>0，則點(diǎn)a叫作函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫作函數(shù)的極小值．
2．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟
(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值．
(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．
題型一 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)
例1 已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率；
(2)試求f(x)的單調(diào)區(qū)間．
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
解 (1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.
即曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為3e，
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
①當(dāng)－2a＝a－2，即a＝時(shí)，
f′(x)≥0，∴f(x)在R上是增加的；
②當(dāng)－2a時(shí)，
則當(dāng)x∈(－∞，－2a)或x∈(a－2，＋∞)時(shí)，
f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上為增函數(shù)，
當(dāng)x∈(－2a，a－2)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(－2a，a－2)上為減函數(shù)；
②當(dāng)－2a>a－2，即a<時(shí)，
則當(dāng)x∈(－∞，a－2)或x∈(－2a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上為增函數(shù)．
當(dāng)x∈(a－2，－2a)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(a－2，－2a)上為減函數(shù)．
綜上所述，
當(dāng)a<時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)，減區(qū)間為(a－2，－2a)；
當(dāng)a＝時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(－∞，＋∞)；
當(dāng)a>時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，
減區(qū)間為(－2a，a－2)．
反思感悟 (1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間．
(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià)．
(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集．
(4)求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法．
跟蹤訓(xùn)練1 已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上是增加的，求a的取值范圍；
(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上是減少的，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn) 利用函數(shù)單調(diào)性求變量
題點(diǎn) 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
解 (1)求導(dǎo)得f′(x)＝3x2－a，
因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，
所以f′(x)≥0在R上恒成立．
即3x2－a≥0在R上恒成立．
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x3－1在R上是增加的，符合題意．
所以a的取值范圍是(－∞，0]．
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上是減少的，
則f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，
又因?yàn)樵?－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.
當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上是減少的，即a＝3符合題意．
所以存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上是減少的，且a的取值范圍是[3，＋∞)．
題型二 函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)
例2 已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的極值，并指出是極大值還是極小值；
(2)若a＝1，求函數(shù)f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求證：在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)＝x3的圖像的下方．
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
(1)解 由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
當(dāng)a＝－1時(shí)，f′(x)＝x－＝，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)是減少的，
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)是增加的，
所以f(x)在x＝1處取得極小值，且極小值為.
(2)解 當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2＋lnx，f′(x)＝x＋>0，
則函數(shù)f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，
所以f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1.
(3)證明 設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，則F′(x)＝x＋－2x2＝，
當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，
故F(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數(shù)，又F(1)＝－<0，
所以在區(qū)間[1，＋∞)上，F(xiàn)(x)<0恒成立．
即f(x)0，f(x)是增加的，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極小值，∴a＝－1.
∴f(x)在[－2,0]上是減少的，在(0,1]上是增加的，
且f(－2)＝＋3，f(1)＝e，f(－2)>f(1)，
∴f(x)在[－2,1]的最大值為＋3.
(2)f′(x)＝ex＋a，由于ex>0.
①當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)，
且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝ex＋a(x－1)>0.
當(dāng)x<0時(shí)，取x＝－，
則f<1＋a＝－a<0，
∴函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，不滿足題意．
②當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)＝ex＋a＝0，則x＝ln(－a)．
在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)是減少的，在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)是增加的，
∴當(dāng)x＝ln(－a)時(shí)，f(x)取最小值．
函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，
解得－e20，又由h>0可得00，
故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)．
當(dāng)r∈(5,5)時(shí)，V′(r)<0，
故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)．
由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時(shí)h＝8.
即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大．
反思感悟 利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大(小)值的一般方法
(1)分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大或最小值的變量y與自變量x，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即列出函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，根據(jù)實(shí)際問題確定y＝f(x)的定義域．
(2)求方程f′(x)＝0的所有實(shí)數(shù)根．
(3)比較導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)根和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，根據(jù)實(shí)際問題的意義確定函數(shù)的最大值或最小值．
跟蹤訓(xùn)練3 一家公司計(jì)劃生產(chǎn)某種小型產(chǎn)品，該產(chǎn)品的月固定成本為1萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件需要再投入2萬(wàn)元，設(shè)該公司一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)該小型產(chǎn)品x萬(wàn)件并全部銷售完，每銷售1萬(wàn)件該產(chǎn)品的收入為4－x萬(wàn)元，且每生產(chǎn)1萬(wàn)件國(guó)家給予補(bǔ)助萬(wàn)元(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．
(1)寫出月利潤(rùn)f(x)(萬(wàn)元)關(guān)于月產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)月生產(chǎn)量在[1,2e]萬(wàn)件時(shí)，求該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤(rùn)的最大值(萬(wàn)元)及此時(shí)的月生產(chǎn)量(萬(wàn)件)．(注：月利潤(rùn)＝月銷售收入＋月國(guó)家補(bǔ)助－月總成本)
考點(diǎn)
題點(diǎn)
解 (1)∵月利潤(rùn)＝月銷售收入＋月國(guó)家補(bǔ)助－月總成本，
∴f(x)＝x－1
＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2(x>0)．
(2)f′(x)＝－2x＋2(e＋1)－
＝－(x>0)，
當(dāng)x∈[1,2e]時(shí)，f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表所示：
x
[1，e)
e
(e,2e]
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
極大值
↘
由上表得f(x)＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2在[1,2e]上的最大值為f(e)，且f(e)＝e2－2.
即月生產(chǎn)量在[1,2e]萬(wàn)件時(shí)，該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤(rùn)最大值為e2－2(萬(wàn)元)，此時(shí)的月生產(chǎn)量為e萬(wàn)件．
導(dǎo)數(shù)中不等式證明問題
典例 已知函數(shù)f(x)＝x－ax2－lnx(a>0)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.
考點(diǎn)
題點(diǎn)
(1)解 ∵f′(x)＝－(x>0，a>0)，
不妨設(shè)φ(x)＝2ax2－x＋1(x>0，a>0)，(*)
則關(guān)于x的方程2ax2－x＋1＝0的判別式Δ＝1－8a.
①當(dāng)a≥時(shí)，Δ≤0，φ(x)≥0，
故f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減少的；
②當(dāng)00，
方程f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的正根x1，x2，
不妨設(shè)x10，
∴f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上是減少的，在(x1，x2)上是增加的．
(2)證明 由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)a∈時(shí)，
f(x)有極小值點(diǎn)x1和極大值點(diǎn)x2，
且x1，x2是方程(*)的兩個(gè)正根，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
∴f(x1)＋f(x2)＝(x1＋x2)－a[(x1＋x2)2－2x1x2]－(lnx1＋lnx2)
＝ln(2a)＋＋1＝lna＋＋ln2＋1，
令g(a)＝lna＋＋ln2＋1，
當(dāng)a∈時(shí)，g′(a)＝<0，
∴g(a)在內(nèi)是減少的，
故g(a)>g＝3－2ln2，
∴f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.
[素養(yǎng)評(píng)析] (1)不等式證明中，常構(gòu)造函數(shù)把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值解決．
(2)通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，探索論證思路，選擇合適的論證方法給予證明，這正是邏輯推理素養(yǎng)的充分體現(xiàn).
1．已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0，對(duì)任意的正數(shù)a，b，若a0；當(dāng)12f(1)
C．f(0)＋f(2)≤2f(1)
D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 比較函數(shù)值的大小
答案 D
解析 ①若f′(x)不恒為0，則當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)≥0，當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)≤0，
所以f(x)在(1，＋∞)上是增加的，在(－∞，1)上是減少的．
所以f(2)>f(1)，f(1)2f(1)．
②若f′(x)＝0恒成立，則f(2)＝f(0)＝f(1)．
綜合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1)．
4．若函數(shù)y＝－x3＋ax有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是________．
考點(diǎn) 利用函數(shù)單調(diào)性求變量
題點(diǎn) 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
答案 (0，＋∞)
解析 由題意知，y′＝－4x2＋a的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝16a>0，∴a>0.
5．已知函數(shù)f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．
考點(diǎn) 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
題點(diǎn) 不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題
解 (1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝－－，
由f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x知，f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－(x>0)，
則f′(x)＝(x>0)．
令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍)或x＝5.
當(dāng)x∈(0,5)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)x∈(5，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．
所以函數(shù)f(x)在x＝5時(shí)取得極小值f(5)＝－ln5.
1．導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具，在研究函數(shù)中具有重要的作用，例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問題，都可以通過導(dǎo)數(shù)得以解決．不但如此，利用導(dǎo)數(shù)研究得到函數(shù)的性質(zhì)后，還可以進(jìn)一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問題，所以一定要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的各種方法．
2．利用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問題．
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