12、次數，且記
且對任意實數，有
此定理由定理1馬上就得出，也就是說定理2是定理1的推論．
例2 某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明,在索賠戶中被盜索賠戶占20％,以表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數．
(1)寫出的分布列;
(2)求被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值．
解:(1) 服從的二項分布,即
(2)利用隸莫弗---拉普拉斯中心極限定理,有
這表明被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值為0．9437．
2．3
13、獨立不同分布情形下的中心極限定理
對于獨立同分布隨機變量序列只要它們的方差有窮，中心極限定理就成立．而在實際問題中說諸具有獨立性是常見的，但是很難說諸是“同分布”的隨機變量，正如前面提到的測量誤差的產生是由大量“微小的”相互獨立的隨機因素疊加而成的，即則間具有獨立性，但不一定同分布，所以我們有必要討論獨立不同分布隨機變量和的極限分布問題，目的是給出極限分布為正態(tài)分布的條件．林德伯格(Lideberg)于1922年找到了獨立隨機變量服從中心極限定理的最一般的條件，通常稱做林德伯格條件．
2．3．1林德貝格中心極限定理
設獨立隨機變量序列 滿足林德貝格條件，則對任意的，有
14、
為證此，先證下列三個不等式：對任意實數，有
； (4)
(5)
(6)
實際上，對上三式明顯．設，則
；
；
利用，可見（4）（5）（6）方都是的偶函數，故他們對也成立．
定理三的證明，
15、先把記號簡化．令
（7）
以、分別表的特征函數與分布函數，因而
（8）
， （9）
（10）
在這些記號下，由（6）
故林德貝格條件可化為：對任意，
； （11）
而(2)式化為：對均勻的有
16、
（12）
如果在條件（11）下，能夠證明的特征函數
亦即
（13）
那么根據定理3．2．3[4]，（12）成立；再由定理3．1．3，（12）中收斂對還是均勻的，于是定理3得以證明．現在也就是只要證出（13）成立 則問題得證
為了證明（13），分兩步．
（甲）先證可展開為
17、
， （14）
其中函數在任意有窮區(qū)間內趨于
實際上，由（9）中前一式
（15）
根據（5）
． （16）
其中任意．由（11），對一切充分大的有；從而關于
及任何有限區(qū)間中的，同時有
因而對任意，均勻的有
．
18、 （17）
特別，當時，對一切充分大的，下式成立：
（18）
因此，在中，有展開式
（19）
其中
由（18）
；
但由（16）中第一個不等式及（10）
19、
故
由（17）可見當時，關于任意有窮區(qū)間中的均勻的有
（20）
（乙）令
由（15）得
． （21）
如果能夠證明：對任意有窮區(qū)間中的均勻的有
． (22)
那么以（21）代入（14）并聯(lián)合（甲）中的
20、結論即得證(13),而且（13）中的收斂對任意有窮區(qū)間內的均勻，從而定理得以完全證明．
今證（22），由（10）
對任意，
由（4）（5）得
由（10）可見：對，有
（23）
對任意，可選使
又由（11），存在正整數，使對此及，有
21、 （24）
于是當時，對一切，有
2．3．2李雅普諾夫中心極限定理
如對獨立隨機變數列，存在常數，使當時有
（25）
則（2）對均勻的成立．
證．只要驗證林德貝格條件滿足，由（25）
例3 一份考卷由99個題目組成,并按由易到難順序排列．某學生答對第1題的概率為0．99
22、;答對第2題的概率為0．98;一般地，他答對第題的概率為．加入該學生回答各題目是相互獨立的，并且要正確回答其中60個題目以上（包括60個）才算通過考試．試計算該學生通過考試的可能性多大？
解 設
于是相互獨立，且服從不同的二點分布：
而我們要求的是
．
為使用中心極限定理，我們可以設想從開始的隨機變量都與同分布．且相互獨立．下面我們用來驗證隨機變量序列滿足李雅普諾夫條件（25），因為
，
，
于是
，
即滿足李雅普諾夫條件（25），所以可以使用中心極限定理．
23、 又因為
所以該學生通過考試的可能性為
．
由此看出：此學生通過考試的可能性很小，大約只有千分之五．
2．4本章小結
這一章從獨隨機變量之和的極限分布為正態(tài)分布的定理引入了中心極限定理的內容，可分為分獨立同分布和不同分布兩種情況下討論隨機變量的分布趨于正態(tài)分布的情況．由于極限定理的研究直接聯(lián)系到大n場合的二項分布的計算，所以我們也通過一些例子來討論二項分別的近似計算問題．最后通過舉出反例，以及在相同條件下比較大數定律與中心極限
24、定理，說明了中心極限定理在近似計算中更精確．至于中心極限定理名稱的得來是由于隨機變量和的分布收斂于正態(tài)分布的極限定理的研究在長達兩個世紀的時間內成了概率論研究的中心課題，因此也得到了中心極限定理的名稱．
3 中心極限定理在商業(yè)管理中的應用
3．1 水房擁擠問題
假設某高校有學生5000人，只有一個開水房，由于每天傍晚打開水的人較多，經常出現同學排長隊的現象，為此校學生會特向學校后勤集團公司提議增設水龍頭．假設后勤集團公司經過調查，發(fā)現每個學生在傍晚一般有1％的時間要占用一個水龍頭，現有水龍頭數量為45個，現在總務處遇到的問題是：
?。?）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？
25、?。?）需至少要裝多少個水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？
解：
（1）設同一時刻，5000個學生中占用水龍頭的人數為，則
～B（5000，0．01）
擁擠的概率是
直接計算相當麻煩，我們利用隸莫佛-拉普拉斯定理．已知n=5000,p=0．01，q=0．99，
故
從而 ．怪不得同學們有不少的抱怨．擁擠的概率竟達到76．11%．
（2）欲求m，使得
即
由于
即
查標準正態(tài)分布表，得
即
故需要裝62個水龍
26、頭．
問題的變形：
（3）需至少安裝多少個水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？
解：欲求m，使得
即
由于 ．76
即
查標準正態(tài)分布表，得
即
故需要裝67個水龍頭．
（4）若條件中已有水龍頭數量改為55個，其余的條件不變,1,2兩問題結果如何？
解：（1）．
（2） 同上．
（5）若條件中的每個學生占用由1%提高到1．5%，其余的條件不變，則（1），（2）兩問題結果如何?
解：(1) 設同一時刻，5000個學生中占用水龍頭
27、的人數為，則
～B（5000，0．015），
已知n=5000,p=0．015，q=0．985，
擁擠的概率是
擁擠的概率竟達到100%．
(2) 欲求m，使得
即
由于
即
查標準正態(tài)分布表，得
即
故需要裝90個水龍頭．
3．2設座問題
甲、乙兩戲院在競爭500名觀眾，假設每個觀眾完全隨意地選擇一個戲院，且觀眾之間選擇戲院是彼此獨立的，問每個戲院至少應該設多少個座位才能保證觀眾因缺少座位而離開的概率小于5%．
解： 由
28、于兩個戲院的情況相同，故只需考慮甲戲院即可．設甲戲院需設m個座位，設
則
若用X表示選擇甲戲院的觀眾總數，則
問題化為求m使
即
因為
由隸莫佛-拉普拉斯中心極限定理
查標準正態(tài)分布表知 ，
從而解得，
即每個戲院至少應該設269個座位．
3．3盈利問題
盈利問題[5]：假設一家保險公司有10000個人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年內一個人死亡的概率為0．006，死亡時，家屬可向保險公司領得1000元，問
（1）保險公司虧本的概率有多少？
（2）保險公司一年的利潤不少于400
29、00元，60000元，80000元的概率各為多少？
解： 設為一年內死亡的人數，則，即
由德莫佛－拉普拉斯中心極限定理
(1)
≈7809
（2）設分別表示一年的利潤不少于40000元，60000元，80000元的事件，則
3．4抽樣檢驗問題
抽樣檢驗問題[6]：某藥廠斷言，該廠生產的某藥品對醫(yī)治一種疑難的血液病治愈率為0．8．醫(yī)院檢驗員任取100個服用此藥的病人，如果其中多于75個治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言．（1）若實際上此藥對這種病的治愈是0．8，問接受這一斷言的概率是多少？（2）若實際上此藥對這種病的治愈率是0．
30、7，問接受這一斷言的概率是多少？
解： 引入隨機變量
表示抽查的100個人中被治愈的人數，則
（1）
實際治愈率為0．8時，接受這一斷言的概率為0．8944．
（2）
實際治愈率為0．7時，接受這一斷言的概率為0．1379．
3．5供應問題
假設某車間有200臺車床獨立地工作著，開工率各為0．6，開工時耗電各
31、為1000瓦，問供電所至少要給該車間多少電力，才能使99．9％的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產？
解: 設任一時刻工作著的機床數為，則服從參數為，的二項分布，該時刻的耗電量為千瓦，如果用表示供電所給該車間的最少電力，則此題所求即為：取何值時，有
查表得
解之得
即只要給該車間141千瓦的電力，就能以99．9％的概率保證該車間不會因電力不足而影響生產．
結 語
概率論中討論隨機變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理．概率論中最重要的一類定理，有廣泛的實際應用背景．在自然界與生產中，一些現象受到許多相互獨立的隨機因素的影響，如果每個因素所產生的
32、影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的．中心極限定理就是從數學上證明了這一現象．本文主要問題和研究方向，即系統(tǒng)的闡明兩種分布的極限定理及進行詳盡的證明，及對中心極限定理的簡單應用，可以使讀者輕松牢固的掌握中心極限定理．中心極限定理，是概率論中討論隨機變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理．這組定理是數理統(tǒng)計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量近似服從正態(tài)分布的條件．中心極限定理是刻畫有些即使原來并不服從正態(tài)分布的一些獨立的隨機變量，但它們的總和漸進地服從正態(tài)分布．本文通過實例介紹了中心極限定理在商業(yè)管理中的應用，化抽象的理論概念為身邊的實際例子．利于大家對這一定理的理解及對數理
33、統(tǒng)計方法的掌握．這是我們數理統(tǒng)計教學中要重視與探索的問題之一．
第 23 頁 共 23頁
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附錄
林德貝格條件：
設是一個相互獨立隨機變量序列，它們具有有限的數學期望和方差：
，，．，
其中是獨立隨機變量序列和．
則只要對任意的，有
．
中心極限定理探討及應用數學與應用數學畢業(yè)論文
