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2.3.1 圓的標準方程
1.以(-2,3)為圓心,與y軸相切的圓的標準方程為( A )
(A)(x+2)2+(y-3)2=4 (B)(x-2)2+(y+3)2=4
(C)(x+2)2+(y-3)2=9 (D)(x+2)2+(y-3)2=25
解析:因為圓心坐標(-2,3),圓與y軸相切,
所以r=|-2|=2,
所以圓的標準方程為(x+2)2+(y-3)2=4.
2.兩條直線y=x+2a,y=2x+a的交點P在圓(x-1)2+(y-1)2=4的內(nèi)部,則實數(shù)a的取值范圍是( A )
(A)(-,1) (B)(-∞,-)∪(1,+∞)
(C)[-,1) (D)(-∞,-)∪[1,+∞)
解析:聯(lián)立解得P(a,3a).
因為點P在圓(x-1)2+(y-1)2=4的內(nèi)部.
所以(a-1)2+(3a-1)2<4.解得-
0).若圓C上存在點P,使得∠APB=90,則m的最大值為( B )
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
解析:由題意知以AB為直徑的圓O與圓C有公共點,且|OC|=5,于是m-1≤5≤1+m即4≤m≤6.故選B.
4.若直線x+y-3=0始終平分圓(x-a)2+(y-b)2=2的周長,則a+b等于( A )
(A)3 (B)2 (C)5 (D)1
解析:由題可知,圓心(a,b)在直線x+y-3=0上,
所以a+b-3=0,即a+b=3.
5.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為,則圓C的方程為 .
解析:設圓C的方程為(x-a)2+y2=r2,
則a2+5=r2,
且=,
解得a=2或a=-2(舍去),
所以r2=9.
所以圓的方程為(x-2)2+y2=9.
答案:(x-2)2+y2=9
6.已知圓C:(x-1)2+(y+2)2=25上一點M(x0,y0),則(x0-6)2+(y0+4)2的最小值為 .
解析:因為(x0-6)2+(y0+4)2表示點A(6,-4)與圓上動點M(x0,y0)之間的距離的平方,
故|AM|最小,|AM|2也達到最小,
而|AM|的最小值為
|AC|-r=-5=-5,
所以|AM|2=54-10.
答案:54-10
7.(2017海口模擬)方程(x+y-1)=0所表示的曲線是圖中的 .
解析:原方程等價于或x2+y2=4.
所以,當x+y-1=0時,只有有意義,等式才成立,即x2+y2≥4,此時它表示直線x+y-1=0上不在圓x2+y2=4內(nèi)的部分,故選④.
答案:④
8.已知圓C經(jīng)過A(0,0),B(2,0),且圓心在第一象限,△ABC為直角三角形,則圓C的方程為( C )
(A)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)+=2
(C)(x-1)2+(y-1)2=2 (D)(x-1)2+(y-2)2=5
解析:因為圓心在弦的中垂線上,所有可設C(1,m),由于△ABC為等腰直角三角形,所以|AC|==,
因為m>0,所以m=1,所以圓心坐標為(1,1),圓的半徑為,所以圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=2,故選C.
9.過點P(1,2)的直線,將圓形區(qū)域{(x,y)|x2+y2≤9}分為兩部分,使這兩部分的面積之差最大,則該直線的方程為( A )
(A)x+2y-5=0 (B)y-2=0
(C)2x-y=0 (D)x-1=0
解析:要使面積之差最大,必須使過點P的弦最小,
所以該直線與直線OP垂直,又kOP=2,
所以所求直線的斜率為-,
由點斜式可求得直線方程為x+2y-5=0,故選A.
10.過點P(2,1)的直線l與圓C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點,當∠ACB最小時,直線l的方程為 .
解析:因為點P(2,1)在圓C的內(nèi)部,
所以當且僅當CP⊥l時,∠ACB最小,
又CP的斜率為1,所以直線l的斜率為-1,
故l的方程為x+y-3=0.
答案:x+y-3=0
11.圓心在直線y=-4x上,并且與直線l:x+y-1=0相切于點P(3,-2)的圓的方程為 .
解析:過點P且與直線l垂直的直線方程為y=x-5,
圓心為直線y=x-5與y=-4x的交點,
易知圓心坐標為(1,-4),故半徑r==2,
故所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.
答案:(x-1)2+(y+4)2=8
12.如圖,已知圓M過點P(10,4),且與直線4x+3y-20=0相切于點A(2,4).
(1)求圓M的標準方程;
(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且|BC|=|OA|,求直線l的方程.
解:(1)過點A(2,4)且與直線4x+3y-20=0垂直的直線方程為3x-4y+10=0, ①
AP的垂直平分線方程為x=6, ②
由①②聯(lián)立得圓心M(6,7),半徑r=|AM|==5,
圓M的方程為(x-6)2+(y-7)2=25.
(2)因為直線l∥OA,所以直線l的斜率為=2.
設直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,
則圓心M到直線l的距離d==.
因為|BC|=|OA|==2,
而|MC|2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=-15.
故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.
13.已知實數(shù)x,y滿足y=,試求k=的最值.
解:y=可化為x2+y2=3(y≥0),表示以原點O(0,0)為圓心,r=為半徑的上半圓,k=可看作半圓上的點M(x,y)與定點P(-3,-1)連線的斜率,如圖所示.當直線y+1=k(x+3)與半圓相切時,由圓心到直線的距離等于半徑,得=,
化簡得3k2-3k-1=0,k=,舍去負值,
得k=為所求k的最大值;當直線y+1=k(x+3)過點B時,k==為所求k的最小值.
綜上,k的最大值為,最小值為.
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